Interacción fotones—partículas cargadas. Desintegración de niveles

19-1
Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena
19. Interacción de fotones con partı́culas cargadas. Desintegración
de niveles atómicos.
[Ynd 20.5, Gre 2.1-2]
Interacción radiación–materia no relativista
Acoplamiento mı́nimo
Hemos construido una teorı́a de la radiación electromagnética libre con hamiltoniano
y relación de dispersión
Z
X
â†η (k)âη (k) ;
ω(k) = ck , E(k) = ~ω(k) , (19.1)
Hrad = d3 k ~ω(k)
η=±
con operadores de creación y destrucción de estados de un fotón que cumplen
[âη (k), âη0 (k0 )] = 0 ∀k, k0 , η, η 0 ,
[âη (k), â†η0 (k0 )] = δηη0 δ (3) (k − k0 ) ,
(19.2)
y tenemos un operador potencial campo electromagnético
Z
n
o
~c
d3 k X
i[k·x−ω(k)t]
−i[k·x−ω(k)t] †
p
Â(x, t) =
εη (k) e
âη (k) + e
âη (k) .
2π
E(k) η=±
(19.3)
Nótese que, implı́citamente, este operador está en la imagen de Heisenberg (¡depende
del tiempo!). Para obtener el operador en la imagen de Schrödinger basta aplicar la
receta ÔS = ÔH (t = 0), i.e.
Z
n
o
d3 k X
~c
p
εη (k) eik·x âη (k) + e−ik·x â†η (k) .
(19.4)
ÂS (x) =
2π
E(k) η=±
Ahora nos planteamos cómo interactúan los fotones con una partı́cula cuántica
cargada (no relativista). Hemos argumentado que en el caso de campos electromagnéticos clásicos, bastaba prescribir que la dinámica del sistema está dada por el
hamiltoniano de acoplamiento mı́nimo, que se obtiene realizando la sustitución
q
p̂ → p̂ − A ,
(19.5)
c
donde q es la carga de la partı́cula.1 Es natural investigar qué ocurre si prescribimos
la misma sustitución en el caso puramente cuántico:
q
p̂ → p̂ − ÂS .
(19.6)
c
1
Nótese que, al estar trabajando en el gauge de Coulomb, no es necesario considerar la contribución del potencial escalar, que está fijado a cero.
19-2
Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena
2
p̂
Introduciendo esto en Ĥ = 2m
+ V̂ , se llega a un hamiltoniano para el sistema
materia cargada–radiación de la forma
Ĥtot = Ĥ0 + Ĥrad + Hint ,
(19.7)
donde Ĥrad , naturalmente, describe la dinámica de los fotones libres;
Ĥ0 =
1 2
p̂ + V̂ ,
2m
(19.8)
describe la dinámica de la partı́cula cargada en ausencia de interacciones electromagnéticas (pero con la presencia posible de otras interacciones contenidas en V̂ );
y el hamiltoniano Ĥint describe las interacciones electromagnéticas.
Hamiltoniano de interacción
La forma detallada de Ĥint es
(1)
(2)
(s)
Ĥint = Ĥint + Ĥint + Ĥint ,
i
q h
q
(1)
Ĥint = −
p̂ · ÂS + ÂS · p̂ = −
ÂS · p̂ ,
2mc
2mc
q2
(2)
Ĥint =
Â2 ,
2mc2 S
µ
(s)
Ĥint = − Ŝ · B .
s~
(19.9)
(1,2)
Las contribuciones Ĥint provienen de la sustitución mı́nima, mientras que la parte
(s)
de interacción con el spin Ĥint (en la que s es el spin total de la partı́cula) ha sido
añadida a mano por completitud. Su justificación sólo se obtendrá cuando se elimine
(1)
la restricción a materia no relativista. La eliminación del término p̂ · ÂS en Ĥint
es una consecuencia de la condición de gauge de Coulomb: para comprobarlo basta
aplicar el operador completo [p̂ · ÂS + ÂS · p̂] a una función de onda arbitraria
h
i
(−i~∇) · ÂS (x) + ·ÂS (x) · (−i~∇) Φ(x) = −i~∇ · ÂS (x)Φ(x)


(19.10)
= −i~ ∇ · ÂS (x) Φ(x) + ÂS (x) · [−i~∇Φ(x)] .
| {z }
=0
Sustituyendo la expresión expı́cita para ÂS :
Z
o
~ q
d3 k X n ik·x
(1)
p
Ĥint = −
e âη (k) + e−ik·x â†η (k) εη (k) · p̂ ,
2π m
E(k) η=±
(19.11)
19-3
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(2)
Ĥint =
~2 q 2
8π 2 m
Z
d3 k
p
E(k)
Z
X
d3 k 0
p
εη (k) · εη0 (k0 ) ×
0
E(k ) η,η0 =±
(19.12)
n
0
0
ei(k+k )·x âη (k)âη0 (k0 ) + ei(k−k )·x âη (k)â†η0 (k0 ) +
o
0
0
e−i(k−k )·x â†η (k)âη0 (k0 ) + e−i(k+k )·x â†η (k)â†η0 (k0 ) .
Discusión
(1)
El término Ĥint contiene interacciones entre una partı́cula cargada (descrita por su
momento p̂) y un fotón que se crea o se destruye, i.e. que es absorbido o emitido
(†)
por la partı́cula (operador correspondiente âη (k) y factor de onda plana estática
(2)
e±ik·x εη (k)). En cambio, el término Ĥint contiene las interacciones posibles entre
dos fotones (doble destrucción, doble creación, y creación+destrucción). Este último
resultado es un tanto sorprendente; de hecho, desde el punto de vista de la teorı́a
fundamental (electrodinámica cuántica, QED), se puede entender como un artefacto
del lı́mite no relativista.2
Es interesante observar que, si la partı́cula cargada bajo consideración es un
electrón (q = −|e|), entonces, en términos de la constante de estructura fina3
α=
e2
1
'
,
~c
137
(19.13)
(1)
que “mide la intensidad” de la interacción electromagnética, se tiene Ĥint ∝ e ∝
(2)
y Ĥint ∝ e2 ∝ α. Además, Ĥ0 ∝ e0 ∝ 1. Esto sugiere que
√
α
(i) el efecto de Ĥint se puede considerar una perturbación, controlada por el
parámetro sin dimensiones α 1, de la dinámica de electrones y fotones
libres, y
(1)
(ii) hay una jerarquı́a cuantitativa entre ambas contribuciones, “Ĥ0 > Ĥint >
(2)
Ĥint ”.
De nuevo, esta observación es mucho más transparente desde el punto de vista
de la QED. Por ahora, nos limitaremos a utilizarla como argumento para realizar
aproximaciones razonables en cálculos especı́ficos.
2
De hecho, este lı́mite es inevitablemente problemático, ya que se están mezclando partı́culas
intrı́nsecamente relativistas como los fotones con una restricción cinemática para las partı́culas
cargadas que se acoplan a ellos.
3
Esta expresión, por supuesto, vale en el sistema de unidades gaussiano que estamos utilizando.
19-4
Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena
Desintegración de niveles atómicos
La primera aplicación de Ĥint será el estudio
de la dinámica de desintegración de un nivel
ε+ (k)
atómico, i.e. de la relajación de un átomo
excitado a su estado fundamental a través de
la emisión de un fotón, Z ∗ → Zγ. Llamarek |ii := |ψi i y
mos los estados inicial y final
|f i := |ψf ; k, ηi, respectivamente, donde |ψi,f i
son los estados del átomo con energı́as E ∗ y E0 .
E∗
γ(k, η)
E0
E(k) = �ck = |E ∗ − E0 |
ε− (k)
Amplitud de transición
La probabilidad de transición por unidad de tiempo y de volumen del espacio de
fases está dada por la regla de oro de Fermi,
W (i → f )|Ef =Ei ,pf =pi =
1
|Tf i |2 ,
2π~
(19.14)
donde Tf i es la correspondiente amplitud de transición. Si aplicamos la aproximación de Born4
i
Tf i ≈ − hf |Ĥint |ii .
~
(19.15)
La justificación de que la aproximación de Born es razonable se basa en un razonamiento perturbativo: la expansión heurı́stica en potencias de la constante de
estructura fina discutida más arriba sugiere que la convergencia de la serie de Born
(2)
será buena, y que, además, la restricción a primer orden permitirá despreciar Ĥint ,
(1)
ya que su contribución O(α) serı́a del orden de la contribución de (Ĥint )2 que aparecerı́a a segundo orden en la expansión de Born. Si, además, despreciamos los efectos
de spin, el resultado final es
i
(1)
Tf i ≈ − hf |Ĥint |ii .
~
(19.16)
(1)
Esto es razonable, dado que, como hemos visto, Ĥint media interacciones directas
entre un fotón y una partı́cula cargada, e.g. la emisión de un solo fotón por un
electrón atómico.
4
Estrictamente, habrı́a que utilizar el hamiltoniano en imagen de interacción Ĥint,I . Pero esto es
equivalente a utilizar directamente el hamiltoniano en imagen de Schrödinger, i.e. sin dependencia
temporal, e imponer explı́citamente la conservación de la energı́a, como hemos hecho en (19.14), ya
que la dependencia temporal simplemente dará lugar a una delta de energı́as (ejercicio).
19-5
Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena
Introduciendo la forma explı́cita del hamiltoniano (nótese que los ı́ndices de
suma k0 , η 0 son distintos de los números cuánticos k, η del fotón emitido):
Z
n
X
|e|~
d3 k 0
0
(1)
p
hf |Ĥint |ii = −
εη0 (k0 ) · hψf ; k, η|eik ·x âη0 (k0 )p̂|ψi i +
0
2πm
E(k ) η0 =±
o
0
hψf ; k, η|e−ik ·x â†η0 (k0 )p̂|ψi i ,
(19.17)
0
y el problema se reduce a calcular los elementos de matriz hψf ; k, η|eik ·x âη0 (k0 )p̂|ψi i
0
y hψf ; k, η|e−ik ·x â†η0 (k0 )p̂|ψi i y efectuar la suma sobre k0 y η 0 .
Cálculo de la amplitud: parte fotónica
Las partes electrónica y fotónica de los estados externos se tratan de manera independiente. En concreto, el cálculo fotónico es sencillo:
0
hψf ; k, η|eik ·x âη0 (k0 )p̂|ψi i = 0
0
(el estado |ii no contiene fotones)
0
hψf ; k, η|e−ik ·x â†η0 (k0 )p̂|ψi i = hψf ; k, η|e−ik ·x p̂|ψi ; k0 , η 0 i
(19.18)
0
= δηη0 δ (3) (k − k0 ) hψf |e−ik ·x p̂|ψi i .
Si introducimos esto en (19.17) las sumas son triviales, y obtenemos
(1)
hf |Ĥint |ii = −
1
|e|~
p
εη (k) · hψf |e−ik·x p̂|ψi i ,
2πm E(k)
(19.19)
de manera que el problema se reduce a calcular el elemento de matriz atómico
hψf |e−ik·x p̂|ψi i. Para simplificar los tecnicismos asociados a las funciones de onda de
átomos multielectrónicos, el resto del cálculo se llevará a cabo en el caso simplificado
de un átomo hidrogenoideo (i.e. un núcleo con Z protones orbitado por un solo
electrón).
Cálculo de la amplitud: parte atómica. Regla de selección dipolar.
Las funciones de onda ψnllz (x) = ϕnl (r) Yllz (θ, φ) de un átomo hidrogenoideo en coordenadas esféricas son conocidas. Si suponemos que los estados inicial y final tienen
números cuánticos bien definidos n∗ l∗ lz∗ y nllz , entonces para calcular el elemento
de matriz atómico basta realizar la integral
Z
−ik·x
hψf |e
p̂|ψi i = d3 x e−ik·x ϕnl (r)∗ Yllz (θ, φ)∗ (−i~∇) ϕn∗ l∗ (r) Yl∗ lz∗ (θ, φ) .
(19.20)
19-6
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Este cálculo sigue siendo relativamente complicado, pero es fácil simplificarlo a través
de una aproximación consistente con las realizadas para reducir el cálculo de Tf i al
(1)
de un elemento de matriz de Ĥint . Supongamos que expandimos la onda plana del
integrando en serie de Taylor
e−ik·x ≈ 1 − ik · x + O (k · x)2 .
(19.21)
Es razonable esperar que la contribución del término de primer orden −ik · x sea del
orden de khri. Por otra parte, sabemos que
hri ∼
aB
~2
=
,
Z
me2 Z
~ck = |E ∗ − E0 | ∼
me4 Z 2
,
2~2
(19.22)
ası́ que
khri ∼ Z
e2
= Zα ,
~c
(19.23)
donde α ' 1/137 es de nuevo la constante de estructura fina. Esto significa que, a
menos que consideremos núcleos pesados Z ∼ O(102 ), los órdenes sucesivos de la
expansión de e−ik·x serán cada vez más pequeños, con una estructura de serie de
potencias de α similar a la asociada a la estructura de Ĥint .
Ahora podemos concluir que, al haber ya hecho la aproximación de Born, es
consistente despreciar los órdenes no triviales, y quedarnos con e−ik·x ≈ 1, i.e.
Z
−ik·x
p̂|ψi i ≈ hψf |p̂|ψi i = d3 x ϕnl (r)∗ Yllz (θ, φ)∗ (−i~∇) ϕn∗ l∗ (r) Yl∗ lz∗ (θ, φ) .
hψf |e
(19.24)
Por otra parte:
ˆ = im [ĤCoul , x̂] ,
p̂ = mẋ
~
(19.25)
donde ĤCoul es el hamiltoniano coulombiano del átomo. Ası́ que
hψf |p̂|ψi i =
im
im
hψf |[ĤCoul , x̂]|ψi i =
(E0 − E ∗ )hψf |x̂|ψi i .
~
~
(19.26)
Reuniendo todo
(1)
hf |Ĥint |ii ≈ −
i|e| (E0 − E ∗ )
p
εη (k) · hψf |x̂|ψi i .
2π
E(k)
| {z }
√
=−
(19.27)
E(k)
El elemento de matriz no trivial que queda por calcular, hψf |x̂|ψi i, es similar al del
hamiltoniano (energı́a) de un campo de dipolo eléctrico, Ĥdip = E · x. Este es el
19-7
Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena
motivo por el que la truncación e−ik·x ≈ 1 y sus consecuencias reciben el nombre de
aproximación dipolar.
Una de las consecuencias más útiles de la aproximación se sigue de las propiedades
de los armónicos esféricos:
Z ∞
dr r3 ϕnl (r)∗ ϕn∗ l∗ (r) ×
hψf |x̂|ψi i =
0


Z 2π
Z 1
(19.28)
 sin θ cos φ 
sin θ sin φ
dφ
Yllz (θ, φ)∗ Yl∗ lz∗ (θ, φ) ,
d(cos θ)


0
−1
cos θ
donde la expresión entre llaves es el vector director unitario de x. Es fácil ver
(ejercicio) que la integral angular es distinta de cero si y sólo si se cumple la regla
de selección dipolar:
∗
Z
|l − l| = 1, |lz∗ − lz | = 1 para las componentes x, y
dΩ 6= 0 ⇔
(19.29)
|l∗ − l| = 1, lz∗ = lz
para la componente z .
(1)
En particular, Ĥint , al orden dominante en potencias de α, sólo puede mediar transiciones atómicas con ∆l = 1. Cualquier transición que no cumpla esto tendrá una
probabilidad suprimida por al menos un factor α, i.e. será dos órdenes de magnitud
menos probable.
Vida media del primer estado excitado del átomo de hidrógeno
Para hacer contacto con el experimento, consideremos la desintegración más sencilla
posible: una transición 2p → 1s en el átomo de hidgrógeno.5 Los números cuánticos
de los estados atómicos son nllz = 100 y n∗ l∗ = 21; por ahora no especificaremos la
tercera componente de momento angular lz∗ del electrón 2p. Las funciones de onda
relevantes son
2 −r
1
ϕ10 (r) = 3/2 e aB ,
Y00 (θ, φ) = √ ,
4π
aB
r
(19.30)
1
3 1 X
− r
ϕ21 (r) = √ 5/2 re 2aB ,
Y1lz (θ, φ) =
Ulz λ rλ ,
4π r
2 6 aB
λ=0,±
donde
rλ =
3
X
j=1
5
− √12

U = 0

Uλj xj ,
√1
2
− √i2
0
− √i2

0

1 ,
0
U †U = 1 ,
(19.31)
Nótese que la transición 2s → 1s está prohibida por la regla de selección dipolar, de modo que
será mucho menos probable.
19-8
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y el orden de las filas en U es (+, 0, −). Introduciendo esto en la integral para el
elemento de matriz, y el resultado en (19.17), queda
2
X
8
3
2
3
2
e ~
1 ∗
(j)
.
∗j ε
W [2p, lz → 1s; γ(k, η)] := Wlz∗ =
(k)
U
l
η
z
2
3
πaB m2 c k j=1
(19.32)
Nótese que en esta transición todos los números cuánticos están bien definidos;
en particular, lz∗ y la polarización η del fotón emitido. Por otra parte, en un experimento sencillo dichos números cuánticos no resultan fáciles de medir. Por ello, a
la hora de comparar con un resultado experimental conviene definir una cantidad
directamente observable: la probabilidad de transición
W :=
1X
Wlz∗ .
3 ∗
(19.33)
lz ,η
Dicha probabilidad corresponde a mediar sobre los tres valores posibles de lz∗ , y
sumar sobre las dos polarizaciones posibles. Su cálculo es muy sencillo, ya que
(ejercicio)6
2
3
X X
X
(j)
(j)
Ulz∗ j εη (k) =
ε(j)
η (k)εη (k) = 2 ,
η,j
lz∗ ,η j=1
(19.34)
9
2
e2 ~3 1
W =
.
3
πa2B m2 c k
(19.35)
ergo
El último paso consiste en utilizar W para calcular la anchura del proceso.
Recuérdese que para ello hay que integrar sobre todas las variables cinemáticas
redundantes imponiendo explı́citamente las leyes de conservación. En este caso, el
cálculo es particularmente sencillo:
Z
Γ = d3 k δ(Ef − Ei )W ;
Ei = E2 , Ef = E1 + Eγ ,
(19.36)
y usando Eγ = ~ck y
En = −
6
me4
2~2 n2
(19.37)
Hay que usar la unitariedad de U en el primer paso, y las propiedades del vector de polarización
en el segundo.
19-9
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queda
9
Z
δ(Ef − Ei )
e2 ~3
2
Γ(2p) =
d3 k
2
2
3
k
πaB m c
|
{z
}
„
«
=4π
R∞
0
dk k2
4
δ − 3me2 +~ck
3~
k
4
= 3πme
4 2
2~ c
(19.38)
8 10
8
2
e m
2
=
=
α5 mc2 .
5
3
3
~ c
3
Esta anchura es muy pequeña comparada con las energı́as de los niveles,
Γ(2p)
' 1.2 × 10−7 ,
E2
(19.39)
lo que significa que el estado 2p es relativamente estable. La vida media se calcula
de manera trivial,
τ (2p) =
~
' 1.6 × 10−9 s .
Γ(2p)
(19.40)
El resultado experimental para esta vida media es τ (2p)exp = (1.60 ± 0.01) × 10−9 s:
en este caso, el arsenal de técnicas y aproximaciones que hemos empleado da lugar
a un cálculo muy preciso.
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