Algebra de Boole

Algebra de Boole
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Diseño
Lógico
Ing. José Alberto
Díaz García
Página 1
Algebra de Boole
Algebra de Boole
Simplificación de circuitos
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Lógico
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Página 2
• Como los circuitos lógicos son
representaciones de funciones lógicas, se
pueden utilizar los recursos disponibles
para simplificarlos y así reducir la
cantidad de componentes electrónicos en
un circuito:
–
–
–
–
Diagramas de Venn
Algebra de Boole
Mapas de Karnaugh
Quine McClouskey
Definiciones
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• Sistema axiomático
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– Un sistema formal o un sistema axiomático es un
artificio matemático compuesto de símbolos que se
unen entre sí formando cadenas que a su vez pueden ser
manipuladas según reglas para producir otras cadenas.
– En las ciencias formales de la lógica y las matemáticas,
así como en otras disciplinas relacionadas, como son la
informática, la teoría de la información, y la estadística,
un ‘’sistema formal’’ es una gramática formal usada
para modelar diferentes propósitos.
– Llamamos ‘’formalización’’ al acto de crear un sistema
formal, y se trata de una acción con la que pretendemos
capturar y abstraer la esencia de determinadas
características del mundo real, en un modelo conceptual
expresado en un determinado lenguaje formal.
Definiciones
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• Axioma
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– En epistemología un axioma es una
verdad evidente sobre la cual descansa
el resto del conocimiento o sobre la
cual se construyen otros conocimientos.
– En matemáticas un axioma no es
necesariamente una verdad evidente,
sino una expresión lógica utilizada en
una deducción para llegar a una
conclusión.
Definiciones
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• Teoremas
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– Un teorema es una afirmación que puede ser
demostrada como verdadera dentro de un marco lógico.
– Demostrar teoremas es una actividad central en
matemáticas.
– Un teorema generalmente posee un número de
condiciones que deben ser enumeradas o aclaradas de
antemano y que se denominan hipótesis.
– Luego existe una conclusión, una afirmación
matemática, la cual es verdadera bajo las condiciones
en las que se trabaja.
– El contenido informativo del teorema es la relación que
existe entre la hipótesis y la conclusión.
Definiciones
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• Postulados
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– Proposición que se toma como punto de
partida para la demostración de
teoremas dentro de un sistema
axiomático, sin que se trate de una
proposición deducible de otros
enunciados.
– Proposición que, teniendo apariencia de
ser evidente se admite como cierta sin
demostración matemática.
Definiciones
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• Hipótesis
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– En lógica y matemática, una hipótesis
es una proposición de la que se parte
para comprobar la veracidad de una
tesis mediante argumentos válidos. Es
decir, en la demostración de una tesis
las hipótesis son el conjunto de
afirmaciones adicionales que se añaden
al conjunto de axiomas, para ver si la
tesis es deducible del conjunto formado
por axiomas e hipótesis.
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Algebra de Conjuntos
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• De la teoría de conjuntos
se desprende su álgebra
• Sean A, B, y C conjuntos
cualesquiera, entonces:
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AXIOMAS DE COMPLEMENTO
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•
•
x x
= ?
x + x = ?
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AXIOMAS DE COMPLEMENTO
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Página 10
•
•
x x
=0
x + x =?
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AXIOMAS DE COMPLEMENTO
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•
•
x x
=0
x + x =1
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POSTULADO DE IDENTIDAD
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Página 12
•
0+x = ?
•
1×x = ?
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POSTULADO DE IDENTIDAD
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•
0+x =x
•
1×x =?
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POSTULADO DE IDENTIDAD
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•
0+x =x
•
1×x =x
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TEOREMA DE IDEMPOTENCIA
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•
•
xx
= ?
x + x = ?
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TEOREMA DE IDEMPOTENCIA
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•
•
xx
=x
x + x =?
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TEOREMA DE IDEMPOTENCIA
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•
•
xx
=x
x + x =x
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TEOREMA DE ELEMENTOS DOMINANTES
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•
x ×0 =?
•
x + 1=?
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TEOREMA DE ELEMENTOS DOMINANTES
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•
x ×0 =0
•
x + 1=?
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TEOREMA DE ELEMENTOS DOMINANTES
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•
x ×0 =0
•
x + 1=1
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TEOREMA DE ABSORCIÓN
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•
x +xy
= ?
•
x(x+y) = ?
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TEOREMA DE ABSORCIÓN
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•
x +xy
= x
•
x(x+y) = ?
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TEOREMA DE ABSORCIÓN
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•
x +xy
= x
•
x(x+y) = x
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TEOREMA DEL CONSENSO
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•
x +xy
= ?
•
x(x+y) = ?
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TEOREMA DEL CONSENSO
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•
x +xy
= x+y
•
x(x+y) =?
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TEOREMA DEL CONSENSO
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•
x +xy
= x+y
•
x(x+y) =xy
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PROPIEDAD ASOCIATIVA
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•
x +(y + z)= ?
•
x(yz)
= ?
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PROPIEDAD ASOCIATIVA
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•
x +(y + z)= (x+y)+z
•
x(yz)
= ?
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PROPIEDAD ASOCIATIVA
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•
x +(y + z)= (x+y)+z
•
x(yz)
= ( x y) z
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PROPIEDAD CONMUTATIVA
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Página 30
•
x + y
= ?
•
xy
= ?
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PROPIEDAD CONMUTATIVA
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Ing. José Alberto
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Página 31
•
x + y
=
y+x
•
xy
=
?
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PROPIEDAD CONMUTATIVA
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Ing. José Alberto
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Página 32
•
x + y
=
y+x
•
xy
=
yx
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PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
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x(y+ z) =
?
•
=
x +(yz)
?
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PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
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Ing. José Alberto
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Página 34
x(y+ z) = xy + xz
x +(yz)
= ?
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PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
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Ing. José Alberto
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Página 35
•
x(y+ z) = xy + xz
•
x +(yz)
=
(x+y)(x+z)
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LEY INVOLUTIVA
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Página 36
•
(x)= ?
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LEY INVOLUTIVA
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Página 37
•
(x)= x
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LEYES DE MORGAN
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Página 38
•
(x + y)= ?
•
(xy)
=
?
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LEYES DE MORGAN
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Página 39
•
(x + y)= xy
•
(xy)
=
?
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LEYES DE MORGAN
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Página 40
•
(x + y)= xy
•
(xy)
= x+y
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Formas canónicas
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• El uso más propio, se da en álgebra al hablar de
expresión canónica y que refiere a la expresión
algebraica completa, es decir aquella equivalente
que resulta de nominar todas las variables en
cada uno de sus términos
– Por ejemplo si decimos ac + ab + bc=3, para expresarlo
canónicamente, en cada término deben aparecer todas y
cada una de las variables, que participan en la
expresión. De la cual la presente es una simplificación
por reducción de equivalencia.
– Así su forma canónica sería: (acb + acb) + (abc + abc)
+ (bca + abc)=3.
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Formas canónicas
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• Problema: Dada una Tabla de
verdad, obtener la forma algebraica
Formas Canónicas
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• La forma algebraica queda:
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Página 43
• Para convertirla se observa la combinación de
entradas para las cual la salida toma el valor 1.
• La variable aparece sin complementar si vale 1
para la combinación en la cual la salida vale 1 y
aparece complementada si vale 0 para la
combinación en la cual la salida toma el valor 1
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Formas Canónicas: Mintérminos
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• Se denominan mintérminos a un factor de una
expresión booleana que está formado por la
intersección de todas sus variables.
• Una función lógica corresponde a la unión de
mintérminos.
• La función generada de esta manera se denomina
UNIÓN CANÓNICA DE INTERSECCIONES o
FORMA CANONICA DISYUNTIVA.
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Formas Canónicas: Maxtérminos
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• Una combinación alternativa de expresar la
función es examinando las combinaciones en las
cuales vale cero.
Formas Canónicas: Maxtérminos
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• La función queda ahora:
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• Para realizar el modelo lógico, se observa la
combinación de entradas para las cuales la salida
toma el valor de 0.
• La variable aparece sin complementar si vale 0
para la combinación en la cual la salida es 0 y
aparece complementada si vale 1 para la
combinación en la cual la salida vale 0.
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Formas Canónicas: Maxtérminos
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Ing. José Alberto
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• Se denomina maxtérmino a la expresión
booleana que está formada por la unión de todas
las variables.
• La función lógica corresponde a la intersección
de todos los maxtérminos.
• La función generada de esta manera se denomina
INTERSECCIÓN CANONICA DE UNIONES o
FORMA CANONICA CONJUNTIVA.
EJEMPLO
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• Simplificar:
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Ejemplo
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• Simplificar:
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Ejemplo
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• Simplificar:
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Ejemplo
Algebra de Boole
• Simplificar
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