Pauta auxiliar 5 - U

Pauta auxiliar 5
Profesor: Jorge San Martín
Auxiliares: Francisco Jiménez - Ramiro Villagra
P1
Z
a2
dx
+ x2
cambio de variable
x = au ⇒ dx = adu
1
=
a
Z
xdx
1 + x2
cambio de variable
x2 dx
=
1 + x2
Z
x
1
du
=
+C
arctan
1 + u2
a
a
u = x2 ⇒ du = 2xdx
1
2
=
Z
Z
Z
du
1 = ln 1 + x2 + C
1+u
2
Z
dx
= x − arctan(x) + C
1 + x2
Z
Z
Z
√
3
xdx
2
1+x
dx
√
√
√
=
dx −
= (1 + x) 2 − 2 1 + x + C
3
1+x
1+x
1+x
Z
x2 dx
√
cambio de variable u = 1 + x ⇒ du = dx, ademas x = u − 1
1+x
Z 2
Z
Z
Z
√
3
1
1
5
2
u − 2u + 1
2
4
2
2
√
du = u du − 2 u du + u− 2 du = (1 + x) 2 − (1 + x) 3 + 2 1 + x + C
5
3
u
dx −
P2
Z
sen(x)cos(x)dx
p
1 + sen(x)
cambio de variable
u = sen(x) ⇒ du = cos(x)dx
Z
udu
√
1+u
=
cambio de variable
Z
=
v = 1 + u ⇒ dv = du
Z
Z
p
1
1
3
v−1
2
√ dv = v 2 dv − v − 2 dv = (1 + sen(x)) 2 − 2 1 + sen(x) + C
3
v
√
Z
p
x
√ dx
1+ x
cambio de variable
u=
√
x ⇒ du =
Z
=2
cambio de variable
dx
2x
u2
1+u
v = 1 + u ⇒ dv = du
Z 2
q
√ 5
√ 3
√
v − 2v + 1
4
8
√
=2
= (1 + x) 2 − (1 + x) 2 + 4 1 + x + C
5
3
v
1
P3
Z
cos(ln(x))
cambio de variable
y = ln(x) ⇒
dx
x
Z
I=
integracion por partes
integracion por partes
notar que
x = ey
cos(y)ey dy
u = cos(y) ⇒ du = −sen(y)dy, dv = ey dy ⇒ v = ey
Z
I = cos(y)ey + ey sen(y)dy
u = sen(y) ⇒ du = cos(y)dy, dv = ey dy ⇒ v = ey
I = cos(y)ey + sen(y)ey − I ⇒ 2I = ey (cos(y) + sen(y)) + C ⇒ I =
P4 I =
Z
sen2 (x)dx
integracion por partes
x(cos(ln(x)) + sen(ln(x)))
+C
2
u = sen(x) ⇒ du = cos(x)dx, dv = sen(x)dx ⇒ v = −cos(x)
Z
I = −sen(x)cos(x) +
⇒I=
Z
2
cos (x)dx = −sen(x)cos(x) +
dx − I
x − sen(x)cos(x)
+C
2
P5
Z
f (x)dx = f (x)/
Z
d f 0 (x)
f 0 (x)
⇒ f (x) = f 0 (x) ⇒
=1
=1⇒
dx
f (x)
f (x)
f 0 (x)dx
= x + C ⇒ ln(f (x)) = x + C ⇒ f (x) = ex+C
f (x)
2
Z
f 0 (x)
dx =
f (x)
Z
dx = x + C