Problema 0.1 Calcular la longitud de una vuelta de una hélice de radio R y paso de rosca a, parametrizada por γ(φ) = (R cos φ, R sin φ, aφ). Obtener la parametrización por longitud de arco de la hélice. Solución: Calculamos la velocidad de la parametrización, γ 0 (φ) = −R sin φ ux + R cos φ uy + a uz , kγ 0 (φ)k = p R 2 + a2 , para calcular la longitud de la hélice, L(Γ) = Z 0 2π kγ 0 (φ)k dφ = Z 0 2π p p R2 + a2 dφ = 2π R2 + a2 . 2 Figura 1: Hélice La ecuación de la parametrización por longitud de arco es ds = kγ 0 (φ)k dφ. Por tanto, Z φ p s= kγ 0 (φ)k dφ = R2 + a2 φ , 0 γ̃(s) = γ s √ 2 R + a2 s s s , R sin √ , a√ = R cos √ .2 R 2 + a2 R 2 + a2 R 2 + a2 Problema 0.2 Calcular el momento de inercia de un rectángulo homogéneo de lados a, b respecto a un eje que coincida con uno de los lados, respecto a un eje paralelo al anterior que pase por el centro y respecto a un eje perpendicular al rectángulo que pase por su centro. Solución: Podemos parametrizar de manera trivial el rectángulo por medio de g : (−a/2, a/2) × (−b/2, b/2) → R3 , (x, y) 7→ (x, y, 0) situando el rectángulo en el plano XY y el origen en el centro del rectángulo. 1 Figura 2: Rectángulo de lados a, b Calculamos el momento respecto a los ejes, teniendo en cuenta que la densidad es σ = M/ab, ya que el área del rectángulo es ab, 3 b/2 Z a/2 Z b/2 Z a/2 Z y dx dy y 2 = σ dx Ix = σ (y 2 + z 2 ) dS = σ 3 −b/2 S −a/2 −b/2 −a/2 Z b3 a/2 M b2 ab3 = σ = . dx = σ 12 −a/2 12 12 Por la simetrı́a de la figura, M a2 a2 + b 2 , Iz = Ix + Iy = M .2 12 12 Finalmente, para calcular el momento respecto al lado a, como está separado una distancia b/2 del centro de masa, Iy = b2 M b2 = , 4 3 usando el teorema de Steiner. Del mismo modo, Ia = Ix + M M a2 .2 3 Problema 0.3 Calcular por dos métodos el flujo del campo v(x, y, z) = 2y uy a través de la parte del cilindro de ecuación x2 + y 2 = R2 , R > 0, comprendida entre los planos z = −a, z = a. Ib = Solución: Parametrizamos el cilindro usando coordenadas cilı́ndricas, g: (0, 2π) × (−a, a) → R3 , (φ, z) 7→ (R cos φ, R sin φ, z) tomando como normal ∂φ × ∂z . Por tanto, el flujo x v vy Z 2π Z a ∂g1 ∂g2 Φv,S = dφ dz ∂φ ∂φ ∂g 0 −a ∂g2 1 ∂z ∂z 2 es vz ∂g3 ∂φ ∂g3 ∂z g(z,φ) ∂ ∂φ ∂φ×∂ Figura 3: Cilindro = = 0 2R sin φ 0 dz −R sin φ R cos φ 0 dφ −a 0 0 0 1 Z 2π Z a Z 2π 2R2 dφ dz sin2 φ = 4aR2 sin2 φ dφ Z 2π Z a 0 = 4aR2 0 −a φ sin 2φ − 2 4 2π = 4πaR2 . 2 0 ν Ζ+ ν Ζ− Figura 4: Cilindro cerrado Como la divergencia del campo v es div v(x, y, z) = ∂v x (x, y, z) ∂v y (x, y, z) ∂v z (x, y, z) + + =2, ∂x ∂y ∂z podemos aplicar el teorema de la divergencia para calcular el flujo pedido, usando el recinto comprendido dentro del cilindro, si le añadimos las dos tapas circulares que lo cierran, Z± , situadas en los planos z = −a, z = a, con normales exteriores respectivas νZ− = −uz , νZ+ = uz . Teniendo en cuenta que el flujo a través de las tapas Z± es nulo, ya que uz es perpendicular al campo v, Z Z div v dV = 2 dV = 2Vol(V ) = 4πaR2 . 2 Φv,S = Φv,S + Φv,Z− + Φv,Z+ = V V 3 Problema 0.4 Calcular por varios métodos la circulación del campo v(x, y, z) = y 2 ux a lo largo del triángulo definido por los ejes X, Y y la recta x + y = 1, z = 0. Solución: Parametrizamos el triángulo, descomponiéndolo en tres segmentos, X, Y , XY , γX : (0, 1) → R3 , x 7→ (x, 0, 0) γXY : γY : (0, 1) → R3 , y 7→ (0, y, 0) (0, 1) → R3 . x 7→ (x, 1 − x, 0) Figura 5: Triángulo Γ Si escogemos como orientación el sentido antihorario en el plano XY , resultará que estamos recorriendo X en sentido positivo, Y , XY en sentido negativo. Por tanto, Cv,Γ = Cv,X − Cv,Y − Cv,XY = 0 − 0 − Z Cv,X = Cv,Y = Cv,XY Z 0 Z 1 1 = Z 0 0 hv, τ iγX dx = Z 1 0 1 hv, τ iγY dx = Z Z 1 hv, τ iγXY dx = 1 0 = 1 0 0 h0, ux i dx = 0 , 2 y ux , uy dx = 0 , (1 − x)2 ux , ux − uy dx (x − 1)3 (1 − x) dx = 3 2 1 1 =− .2 3 3 1 0 = 1 . 3 Otro método para calcular la circulación consiste en aplicar el teorema de Stokes a una superficie que tenga por borde orientado la curva Γ, por ejemplo, el triángulo plano limitado por Γ, con normal ν = uz , que lo podemos ver como la 4 región D del plano comprendida entre las rectas y = 1 − x, y = 0 para x ∈ [0, 1]. Como ux uy uz rot v(x, y, z) = ∂x ∂y ∂z = −2y uz , y2 0 0 Cv,Γ = Φrot v,D = Z D = Z 0 1 hrot v, νi dS = 1−x dx −y 2 0 = − Z 0 Z 0 1 dx Z 1−x dy (−2y) 0 1 (1 − x)2 dx = 5 (1 − x)3 3 1 0 =− 1 .2 3