Lógica de Predicados

Lógica de Predicados
1. Traduce las siguientes formulas a frases en lenguaje natural asumiendo la interpretación con
dominio D=”los animales del bosque”, p(x)=”x es un insecto”, q(x)=”x es un mamífero”, r(x,y)=”x es
mas grande que y”, s(x,y)=”x es amigo de y”.
(a) ∀x (p(x) → ∃y (q(y) ∧ r(y,x))).
(b) ∀x∀y((p(x) ∧ q(y)) → s(x,y)).
Respuesta:
(a) para cualquier insecto existe un mamífero mas grande
(b) todos los insectos son amigos de todos los mamíferos
2. Traduce las siguientes frases a formulas de lógica de predicados:
(c) “hay alguien que es amigo de todo mundo”
(d) “todo mundo tiene (por lo menos) un amigo”
Respuesta:
(c) ∃x∀y (amigo(x,y))
(d) ∀x∃y (amigo(x,y))
3. Considera la siguiente fórmula en lógica de predicados:
∀x∀y (p(x,x) ∧ q(y,y)))
(a) da una interpretación I1 para la cual la formula es verdadera y rescribe la formula
usando la interpretación
(b) da una interpretación I2 para la cual la formula es falsa y rescribe la formula
usando la interpretación
Respuesta:
(a) D={1,2,3}, p(x,y) es x=y, q(x.y) es x=y
(b) D={1,2,3}, p(x,y) es x=y, q(x.y) es x<y
4. Usando tableaux semánticos determina si las siguientes fórmulas son validas o no. Si alguna no
lo es da una interpretación para la cual la formula es verdadera y una interpretación para la cual la
formula es falsa.
(a) ∀x p(a,x)
(b) ∀x ( p(x) ∨ q(x) ) → ( ∀x p(x) ∨ ∀x q(x) )
(c) ( ∀x p(x) ∨ ∀x q(x) ) → ∀x ( p(x) ∨ q(x) )
Respuesta:
(a)
¬∀x p(a,x)
|
p(a,b)
|
O
Formula es verdadera si I1:D={1,2}, p(x,y) es x≤y, a=1
Formula es falsa si I2: D={1,2}, p(x,y) es x=y, a=1
(b)
¬(∀x ( p(x) ∨ q(x) ) → ( ∀x p(x) ∨ ∀x q(x) ))
|
∀x ( p(x) ∨ q(x) ) , ¬ ( ∀x p(x) ∨ ∀x q(x) )
|
∀x ( p(x) ∨ q(x) ) , ¬∀x p(x) , ¬∀x q(x)
|
∀x ( p(x) ∨ q(x) ) , ¬∀x p(x) , ¬q(a)
|
∀x ( p(x) ∨ q(x) ) , ¬p(b) , ¬q(a)
|
p(a) ∨ q(a), p(b) ∨ q(b), ¬p(b) , ¬q(a)
/
\
p(a), p(b) ∨ q(b), ¬p(b) , ¬q(a)
q(a), p(b) ∨ q(b), ¬p(b) , ¬q(a)
/
\
/
\
p(a), p(b),¬p(b),¬q(a) p(a), q(b), ¬p(b), ¬q(a) q(a), p(b), ¬p(b), ¬q(a) q(a), q(b), ¬p(b) , ¬q(a)
|
|
|
|
X
O
X
X
I1: D=personas en Barcelona, p(x)= x es hombre, q(x)=x es mujer
I2: D=personas en Barcelona, p(x)= x es hombre, q(x)=x es hombre
(c)
¬ (( ∀x p(x) ∨ ∀x q(x) ) → ∀x ( p(x) ∨ q(x) ))
|
∀x p(x) ∨ ∀x q(x) , ¬∀x ( p(x) ∨ q(x) )
|
∀x p(x) ∨ ∀x q(x) , ¬ (p(a) ∨ q(a))
|
∀x p(x) ∨ ∀x q(x) , ¬p(a), ¬q(a)
/
\
∀x p(x), ¬p(a), ¬q(a)
∀x q(x), ¬p(a), ¬q(a)
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p(a), ¬p(a), ¬q(a)
a(a), ¬p(a), ¬q(a)
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X
X