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RADIACIÓN TÉRMICA
Emisión y absorción de la radiación térmica - Ley de Steffan - Radiación
de un cuerpo negro - Ley de Wien - Teorı́a de Rayleigh-Jeans - Teorı́a
cuántica de Planck.
En la Fı́sica Clásica se distinguı́an dos categorı́as de objetos: la materia y la rediación. La materia estaba formada por partı́culas perfectamente localizadas y que
obedecı́an la Mecánica newtoniana. La radiación, en cambio mostraba un comportamiento ondulatorio que se manisfestaba especialmente en los fenómenos de interferencia y difracción de la luz.
Se sabı́a que las partı́culas cargadas producen campos eléctricos; cuando están en
movimiento producen campos magnéticos y si están aceleradas emiten radiación. James
Clerk Maxwell (1831-1879) identificó a la luz como una forma de radiación y la radiación
como una onda electromagnética donde los campos eléctrico y magnético oscilan juntos,
uno perpendicular al otro y la onda se mueve en una dirección perpendicular a ambos
campos y a la velocidad c.
c = λν
λ = longitud de onda (distancia entre crestas de la onda)
1Å(angstrom) = 10−8 cm = 10−10 m
1 µ = 104 Å
1 nm (nanometro) = 10−7 cm = 10−9 m
ν = frecuencia (ciclos/s)
1Hz (Hertz) = 1 ciclo/s
KHz (kilo-Hertz) = 1000 ciclos/s
MHz (mega-Hertz) = 106 ciclos/s
El espectro electromagnético abarca la luz visible (rango óptico) y hacia las mayores
longitudes de onda el infrarrojo, microondas y radio. Para las menores longitudes de
onda el ultravioleta, rayos X y rayos γ.
La luz blanca está formada por distintos colores (rango de long. de onda). Cuando
se la hace pasar por un prisma o red de difracción, se descompone en sus distintos
colores (arco iris).
No toda la radiación llega a la superficie de la tierra, algunos rangos de long. de onda
son absorbidos por la atmósfera. las ”ventanas” que dejan pasar la radiación son:
1
Figure 1: Radiación electromagnética
3300 ≤ λ ≤ 9000 Å
Región VISIBLE
λ ∼ 12000 Å
INFRARROJO
λ ∼ 22000 Å
λ ∼ 34000 Å
1 ≤ λ ≤ 1500 cm
RADIOFRECUENCIAS
Afortunadamente para la vida humana, la atmósfera nos protege de la radiación UV,
X y γ que es mucho mas energética.
Emisión y absorción de radiación por superficies
Todo cuerpo, cuya temperatura es mayor que el cero absoluto, emite radiación
térmica. Clásicamente el origen estarı́a en la aceleración de cargas eléctricas del cuerpo,
debido a la agitación térmica. De este modo, la intensidad total irradiada es función
de la temperatura del cuerpo. A temperaturas mas altas, mayor movimiento al azar (o
energı́a mayor). Una escala natural de temperatura deberı́a indicar movimiento cero en
cero grados (cero absoluto). Esta es la escala Kelvin que difiere 273◦ de la Celcius.
Sobre la superficie de un cuerpo incide constantemente energı́a radiante, tanto desde
el interior como desde el exterior, la que incide desde el exterior procede de los objetos
que rodean al cuerpo. Cuando la energı́a radiante incide sobre la superficie, una parte
se refleja y la otra parte se transmite.
Consideremos la energı́a radiante que incide desde el exterior sobre la superficie del
cuerpo. Si la superficie es lisa y pulida, como la de un espejo, la mayor parte de la
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Table 1: temperatura absoluta
◦
C
-273
-173
0
37
100
5567
K(Kelvin)
0
100
273
310
373
5840
cero absoluto
congelamiento del agua
temperatura del cuerpo humano
ebullición del agua
temperatura efectiva del sol
energı́a incidente se refleja, el resto atraviesa la superficie del cuerpo y es absorbido por
sus átomos o moléculas.
Si r es la proporción de energı́a radiante que se refleja, y a la proporción que se
absorbe, se debe de cumplir que r + a = 1.
La misma proporción r de la energı́a radiante que incide desde el interior se refleja hacia
dentro, y se transmite la proporcin a = 1 − r que se propaga hacia afuera y es la energı́a
radiante emitida por la superficie.
Un buen absorbedor de radiación es un buen emisor, y un mal absorbedor es un mal
emisor. También podemos decir, que un buen reflector es un mal emisor, y un mal
reflector es un buen emisor.
La superficie de un cuerpo negro es un caso lı́mite, en el que toda la energı́a incidente
desde el exterior es absorbida, y toda la energı́a incidente desde el interior es emitida.
No existe en la naturaleza un cuerpo negro, sin embargo se puede sustituir con gran
aproximación por una cavidad con una pequeña abertura. La energı́a radiante incidente
a través de la abertura, es absorbida por las paredes en múltiples reflexiones y solamente
una mı́nima proporción escapa (se refleja) a través de la abertura. Podemos por tanto
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decir, que toda la energı́a incidente es absorbida.
Leyes de cuerpo negro:
En 1879 Stefan obtuvo una expresión empı́rica para la intensidad total emitida por
un cuerpo en general:
IT = σeT 4
IT
= energı́a total emitida por unidad de tiempo y por unidad de superficie a la
temperatura T (erg s−1 cm−2 ). Se llama también potencia radiada total por cm2 .
e = constante de emisividad. Depende de la naturaleza emisora de la superficie y vale
entre 0 y 1.
σ = constante de Stefan-Boltzmann: 0.567×10−4 erg s−1cm−2K−4 = 5.669×10−8 J s−1
cm−2 K−4
Consideremos el proceso inverso, es decir, cuando la radiación incide sobre la superficie y parte de ella es absorbida transformándose en agitación térmica. En este caso se
define un coeficiente de absorción a como la relación entre la energı́a absorbida por la
superficie y la energı́a incidente. Vale también entre 0 y 1.
Si consideramos varias superficies de distinta naturaleza que intercambian energı́a
por emisión y absorción, en caso de estar en equilibrio térmico, se encuentra que:
e=a
Ley de Kirchhoff (1895)
Para el caso idealizado de un cuerpo negro, en el cual la superficie absorbe toda
la energı́a que incide sobre él, tenemos el absorbente y emisor mas eficiente:
e=a=1
4
La ley de Stefan queda:
IT = σT 4
Figure 2: Curvas experimentales de la distribución espectral de la energı́a radiada por
un cuerpo negro, I(λ) en función de λ para distintas temperaturas.
La distribución espectral de esta energı́a radiada por un cuerpo negro está dada por:
I(λ)dλ, definida como la energı́a emitida por unidad de tiempo y de superficie, a una
temperatura T y en el intervalo λ, λ + dλ. La integral de I(λ) sobre todas las longitudes
de onda nos dá el área bajo las curvas y es igual a la IT definida por la ley de Stefan,
proporcional a T 4 .
Ley de desplazamiento de Wien:
En la figura se muestra que para una dada longitud de onda, I(λ) aumenta al
aumentar T y el máximo de cada curva se desplaza al azul cuando aumenta T
λmax ∝ 1/T
T λmax = cte = 2.8978 cmK
Dijimos que podemos representar un cuerpo negro como una cavidad en la que existe
un pequeño agujero. La radiación que penetra se refleja múltiples veces en las paredes
antes de salir, de modo que es prácticamente absorbida en forma total por las paredes.
En el caso de equilibrio térmico la radiación emitida por las paredes interiores, que están
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a cierta temperatura, es igual a la absorbida y la densidad de energı́a electromagnética
dentro de la cavidad es constante. Esta densidad de energı́a depende de la longitud de
onda (o frecuencia) y la llamamos ²λ (o ²ν ).
²λ es la densidad de energı́a entre λ y λ + dλ
²ν es la densidad de energı́a entre ν y ν + dν
Basándose en la termodinámica clásica, Wien obtiene:
f (λT )
λ5
donde la función f (λT ) no fue especificada, pero la ecuación concuerda con lo observado. Los datos experimentales referidos a distintas temperaturas se ubican sobre la
misma curva, confirmando que λ5 ²λ es una función universal de la variable (λT )
²λ =
λ1 T1 = λ2 T2 = b = 2.8978 10−3 mK
b
λmax =
T
Para el caso de una estrella, se define la temperatura efectiva como su temperatura superficial si la estrella se comportara como un cuerpo negro. Conocida la Tef
podemos decir en qué región del espectro electromagético radiará principalmente esa
estrella. Por ejemplo:
Betelgeuse: Tef = 3400K y de acuerdo a la ley de Wien:
λmax =
0.290cmK
= 8530 Å
3400K
Es decir, cae en la región roja del espectro.
Rigel: Tef = 10100K =⇒ λmax =
0.290cm◦ K
= 2870 Å; región UV.
10100K
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Sol:, Tef = 5770K =⇒ λmax =
0.290cmK
= 5030Å; región amarilla del espectro.
5770K
Ley de Rayleigh-Jeans:
A principios del siglo XX se intentó formular una teorı́a que evaluara la f (λT ).
Para ello se consideró el comportamiento de cargas aceleradas de las paredes de una
cavidad. Las cargas son la fuente de la radiación del cuerpo negro y cada una de ellas
efectuaban una oscilación armónica simple, con una frecuencia definida alrededor de
su posición equilibrio. Según la teorı́a electromagnética clásica, cada carga radı́a a la
misma frecuencia de oscilación. En equilibrio térmico, la energı́a de radiación a una
frecuencia determinada debe ser proporcional a la energı́a promedio del oscilador, ya
que el oscilador y la radiación están intercambiando constantemente energı́a. Usando
además de la teorı́a electromagnética, la Mecánica estadı́stica, se llegó al siguiente resultado:
N (λ)dλ = número de osciladores por unidad de volumen en el intervalo λ + dλ
²λ dλ = N (λ)Ēdλ
(1)
donde Ē es la energı́a promedio de los osciladores y según la Mecánica Estadı́stica se
puede hallar conociendo P (E)dE, la probabilidad de hallar un oscilador con energı́a
entre E y E + dE:
R∞
EP (E)dE
Ē = R0 ∞
(2)
P (E)dE
0
La probabilidad es:
P (E) = Ae−E/kT
Ley de distribución de Maxwell-Boltzmann
donde k = cte de Boltzmann = 1.38 10−16 erg(K)−1 = 8.62 10−5 eV (K)−1 y T temperatura absoluta del sistema en equilibrio. Resolviendo las integrales en (2), obtenemos
el valor medio:
Ē = kT
Reemplazando en (1):
²λ dλ = kT N (λ)dλ
N (λ)dλ = 8π
λdλ representa el número de ondas estacionarias por unidad de volumen
λ5
en la cavidad.
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²λ dλ =
8πλkT
dλ
λ5
siendo f (λT ) = 8πkλT
La ley de Rayleigh-Jeans concordaba con las observaciones para largas λ pero para
λ cortas la discrepancia era muy grande. Esto se denominó ”catástrofe ultravioleta”
(curva discontı́nua del gráfico).
Ley de Planck:
En 1901 Max Planck obtuvo una expresión para la densidad de energı́a en un cuerpo
negro, que se ajustaba a los experimentos. Contrariamente a lo establecido por la fı́sica
clásica, establece que los osciladores en la cavidad, sólo pueden absorber o emitir radiación, no en forma contı́nua, sino en forma discreta, en una cantidad proporcional a
la frecuencia. Planck introduce el postulado:
Cualquier entidad fı́sica cuya coordenada efectúa oscilaciones armónicas simples (es una función sinusoidal del tiempo), solo puede tener una energı́a
total:
E = nhν
con n = 0, 1, 2, 3...∞ (número cuántico); h = 6.63 10−27 erg seg, constante universal que
se conoce como la constante de Planck y ν la frecuencia de oscilación.
La energı́a de un oscilador que radı́a con una frecuencia propia ν, puede adquirir sólo
determinados valores discretos (cuantificados) que se diferencian en un número entero
de porciones de energı́a hν, llamados CUANTOS.
Para hallar la expresión de ²ν dν, de acuerdo al postulado de Planck, usamos la
misma cavidad como en el caso Rayleigh-Jeans, pero ahora la diferencia está en la
forma que obtenemos la energı́a promedio Ē, debemos reemplazar las integrales por
sumas:
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Pn=∞
P∞
nhν
E P (E)
nhν e− kT
hν
n=0
0
Ē = P∞
= P∞ nhν = hν
− kT
e kT − 1
0 P (E)
0 e
²ν dν = N (ν)dν Ē
8πν 2
dν
c3
N (ν)dν =
²ν =
8πν 3 h
c3
²λ =
8π hc
λ5
1
e
hν
kT
−1
1
e
hc
λ kT
−1
(3)
(4)
La idea de Planck de que los átomos pueden absorber o emitir energı́a en cantidades
discretas o cuantos, es ampliada unos años más tarde por Albert Einstein, quien descubre que los cuantos de energı́a no están asociados solamente a los átomos, sino que
es una propiedad de la radiación misma. Se puede considerar a la luz como portadora
de paquetes de energı́a hν a los que llama fotones.
La hipótesis de Planck tuvo una gran trascendencia, ya que introduce por primera vez
la idea de cuantificación de la energı́a. Aunque debemos hacer notar que si bien se llega
a una expresión correcta, pues tiene en cuenta sólo consideraciones energéticas y no
mecánicas, la deducción hecha por Planck no es fı́sicamente correcta. Veremos hacia el
final del curso que la ley de Planck se deduce adecuadamente mediante la Mecánica Estadı́stica Cuántica, considerando la cavidad con radiación como con un gas de fotones.
A partir de la ley de Planck se pueden obtener las demás leyes de radiación de
cuerpo negro que vimos:
• Integrando la expresión de Planck (3) sobre todas las frecuencias obtenemos la
ley de Stefan-Boltzmann, con la constante σ que toma el valor:
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σ=
2π 5 k 4
erg cm−2 (K)−4 seg −1
15h3 c2
• La ley de desplazamiento de Wien se puede obtener de (4) hallando λmax para la
hc
cual la función tiene un máximo. Hacemos x = kT
λ
²(x) =
8πk 5 T 5 x5
h4 c4 ex − 1
·
¸
d²(x)
8πk 5 T 5 5x4 (ex − 1) − x5 ex
=
=0
dx
h4 c4
(ex − 1)2
1
1 − e−x − x = 0
5
Se llega a una ecuación trascendente que se resuelve por aproximaciones sucesivas,
resultando: xmax = kT λhcmax = 4.9651 =⇒ λmax T = cte
• La ley de Rayleigh-Jeans se obtiene para frecuencias menores (hν ¿ kT ). Hahν
ciendo en (3)
¿ 1 se obtiene:
kT
²ν =
10
8πν 2 kT
c3