Soluciones del segundo parcial

Matemática Discreta I
Solución del segundo parcial
Jueves 1 de diciembre de 2011
1. Sea N la cantidad de relaciones de equivalencia R en el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} tales que
a. 2R6
b. #[1] = #[2] + 1
(donde [i] denota la clase de equivalencia del elemento i). Hallar N .
Solución. La condición (a) implica que la clase de equivalencia del 2 tiene al menos 2 elementos. Usando la
condición (b) resulta que la única posibilidad es que #[2] = 2 y #[1] = 3, pues si la clase del 2 tuviera 3 o más
elementos, la clase del 1 tendrı́a 4 o más elementos, y entre ambas serı́an más de 6 elementos (observe que la clase
del 1 y la clase del 2 son distintas por b, y por lo tanto disjuntas).
Ahora sabemos que la clase del 2 es {2, 6} y la clase del 1 es {1, x, y} donde x y y son dos elementos elegidos
arbitrariamente entre los números 3, 4, 5. La cantidad de formas de hacer esta elección es 32 = 3. Una vez que
las clases del 2 y del 1 están determinadas, sobra un elemento que no tiene otra opción que estar en una clase de
equivalencia de un solo elemento.
Por lo tanto, la solución es N = 3. Entre las opciones ofrecidas, la correcta es:
N <5
2. Se consideran los grafos
G1 = K10,10
y
G2 = G1 − e1 − e2
donde e1 y e2 son aristas incidentes. Determinar si G1 y G2 poseen circuitos o recorridos eulerianos.
Solución. El grafo G1 tiene 20 vértices, todos de grado 10. Como todos los vértices de G1 tienen grado par,
existe un circuito euleriano en G1 .
Al eliminar las aristas e1 y e2 , se modifica el grado de tres vérties. El vértice que tiene ambas aristas incidentes,
pasa a tener grado 8, mientras que los otros dos vértices tienen grado 9. En conclusión, 18 de los vértices de G2
tienen grado par, y los 2 restantes tienen grado impar, y por lo tanto existe un recorrido euleriano en G2 , pero no
un circuito euleriano.
Entre las opciones ofrecidas, la correcta es:
G1 posee circuito euleriano, pero G2 no
3. Sea G un grafo plano y conexo. Se sabe que G tiene 15 aristas, dos vértices de grado 5 y los demás vértices de
grado 4. Llamamos e = #E, v = #V y r = #R. Hallar v y r, y decidir si G tiene recorrido euleriano.
Solución. Como G tiene dos vértices de grado 5 y v − 2 vértices de grado 4, la fórmula para la suma de los grados
de los vértices nos dice que
5 · 2 + 4 · (v − 2) = 2 e = 2 · 15 = 30.
Resolviendo esta ecuación hallamos v = 7. Por la fórmula de Euler, v − e + r = 2, y sustituyendo v = 7 y e = 15
despejamos r = 10. Finalmente, como G tiene exactamente dos vértices de grado impar, se sigue que tiene un
recorrido Euleriano.
Entre las opciones ofrecidas, la correcta es:
G tiene recorrido euleriano, v = 7 y r = 10
4. Consideramos los grafos G = (V, E) que cumplen con la condición #E = #V + 1 (no necesariamente conexos).
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
(A) Todo grafo G con esa condición es necesariamente plano y con número cromático 2
(B) Todo grafo G con esa condición es necesariamente plano y con número cromático menor o igual a 3, además
existen casos donde el número cromático es distinto de 2
(C) Todo grafo G con esa condición es necesariamente plano y existe al menos uno con número cromático mayor
estricto que 3
(D) Existen grafos que cumplen la condición y que no son planos, pero todos ellos tienen número cromático
menor o igual a 5
(E) Existen grafos que cumplen la condición y que no son planos, algunos de ellos con número cromático mayor
estricto que 5
Solución. La clave para resolver el ejercicio es observar que como los grafos considerados no necesariamente son
conexos, podemos tomar un grafo con muchas aristas y agregar vértices aislados hasta que se cumpla la condición.
Entonces, si usamos cualquier grafo no plano, al agregar vértices aislados no deja de ser plano. Y si usamos
cualquier grafo con número cromático grande, al agregar vértices no disminuye el número cromático.
Por ejemplo, podemos considerar
K6 , que no es plano (contiene K5 como subgrafo) y tiene número cromático
6
6. Como K6 tiene 6 vértices y 2 = 15 aristas, basta con agregar 8 vértices aislados para cumplir la condición
#E = #V + 1 en un grafo que no es plano y tiene número cromático mayor estricto que 5.
Entre las opciones ofrecidas, la correcta es la (E).
5. Se considera el grafo G de la figura.
D1
C1
B3
D3
A
C3 B2
B1
C2
D2
Considerar la validez de las siguientes afirmaciones:
I) G posee circuito euleriano pero no posee ciclo hamiltoniano
II) El polinomio cromático de G es
P (G, λ) = λ(λ − 1)3 (λ − 2)6
III) El número cromático de G es χ(G) = 2
Solución. Como G tiene 6 vértices de grado 3 (impar) no existe ni circuito ni recorrido euleriano, por lo cual la
afirmación I es falsa (aunque es cierto que G no posee ciclo Hamiltoniano).
El polinomio cromático puede calcularse descomponiendo el grafo en tres partes que se intersectan en el
vértice A y aplicando dos veces el teorema de descomposición (con intersección K1 ). También puede analizarse
directamente del siguiente modo: existen λ posibilidades para el color del vértice A. Una vez fijado el color de
A, existen λ − 1 maneras diferentes de pintar B1 . Ahora, el vértice C1 es adyacente a dos vértices ya pintados
(A y B1 , necesariamente con colores diferentes) por lo que puede pintarse de λ − 2 formas diferentes. El vértice
D1 siendo adyacente a B1 y C1 tiene de nuevo λ − 2 posibles colores. El mismo razonamiento se repite para los
vértices B2 (λ − 1 posibilidades), C2 (λ − 2 posibilidades) y D2 (λ − 2 posibilidades), y similarmente para B3 , C3
y D3 . Por la regla del producto, multiplicamos todos los factores obteniendo P (G, λ) = λ(λ − 1)3 (λ − 2)6 , es decir
que la afirmación II es cierta.
El número cromático es el primer entero positivo que no es raiz del polinomio cromático, es decir χ(G) = 3,
de modo que la afirmación III es falsa.
6. ¿Existe un árbol que cumpla con las siguientes caracterı́sticas?
a. Tiene 33 vértices, donde cada uno tiene grado 1, 2, o 3.
b. Tiene 12 vértices de grado 3.
c. La cantidad de hojas es el doble de la cantidad de vértices de grado 2.
Justifique la respuesta e indique la cantidad de hojas del árbol en caso que sea afirmativa.
Solución. En cualquier grafo que cumpla con las caracterı́sticas requeridas, la cantidad de vértices de grado 1 o
2 es 33 − 12 = 21. Como las hojas son el doble que los vértices de grado 2, resulta que hay 14 hojas y 7 vértices
de grado 2. La suma de los grados de los vértices es
X
grado(vi ) = 14 · 1 + 7 · 2 + 12 · 3 = 64 = 2 e,
de donde concluimos que la cantidad de aristas en un tal grafo es e = 32. Como la cantidad de aristas es uno
menos que la cantidad de vértices, el grafo será un árbol siempre que sea conexo.
Para probar la existencia, mostramos un ejemplo:
Y
A1
A2
A12
X1
X2
X12
B1
B2
B7
Z
en el que los 12 vértices {A1 , A2 , . . . , A12 } tienen grado 3, los 7 vértices {B1 , B2 , . . . , B7 } tienen grado 2, y los 14
vértices {X1 , X2 , . . . , X12 , Y, Z} tienen grado 1. La cantidad de hojas de cualquier árbol que cumpla las condiciones
será 14 como se mostro más arriba.
7. Decimos que un grafo G es balanceado si posee tantos vértices de grado par como vértices de grado impar.
1. Probar que si G es un grafo balanceado con n vértices entonces n es múltiplo de 4.
2. Para cada valor de n entero positivo y múltiplo de 4 hallar un grafo G de n vértices que sea balanceado y
que además posea ciclo hamiltoniano.
Sugerencia: Utilizar este último dato como ayuda para dibujar el grafo.
Solución. Un grafo de n vértices que sea balanceado tendrá n/2 vértices de grado impar. Por un resultado visto
en clase, la cantidad de vértices de grado impar de un grafo cualquiera es par. Entonces, n/2 es par, y se concluye
que n es múltiplo de 4.
Para construir un grafo como se pide en la segunda parte, podemos proceder del siguiente modo: comenzamos
con un ciclo de n vértices, donde n es múltiplo de 4. Todos los vértices del ciclo tienen grado 2. Agregamos n/4
aristas al ciclo cuidando de no conectar más de una arista al mismo vértice, de tal manera que ningún vértice
resulte con grado mayor que 3 (compruebe que esto siempre es posible). Entonces nos quedan n/2 vértices de
grado 3 (aquellos donde conectamos las n/4 aristas) y los otros n/2 vértices de grado 2, de modo que el grafo es
balanceado. Además tiene un ciclo hamiltoniano, por ejemplo el ciclo con el que comenzamos la construcción.
A modo de ejemplo, en el dibujo se muestra un ciclo de largo n = 24 (aristas sólidas) al que se han agregado
6 aristas (a rayas) de manera que resultan 12 vértices de grado 2 y 12 vértices de grado 3.