Tensiones y esfuerzos

CAPÍTULOS 9, 10 Y 11
DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES
ORIGINADAS POR LOS
DIFERENTES ESFUERZOS
¿Qué pretendemos en esta lección?
y
Esfuerzos:
z
Equivalencia mecánica de los
sistemas de esfuerzos, por un lado,
y de las tensiones generadas, por
otro:
N
M
Q
y
N=
Tensiones originadas:
x
τzy
y
∫ σ dA
z
Area
dA
Q=
σz
∫τ
zy
dA
Area
z
M=−
∫ yσ dA
z
Area
ESFUERZO AXIL:
TRACCIÓN O COMPRESIÓN PURA
y
B
x
G
N
z
Consideremos una barra prismática de sección arbitraria sometida a un
esfuerzo axil N cuya recta de acción pasa por el centro de gravedad de
la sección de la barra.
Las tensiones normales, σ, producidas por el esfuerzo axil son
constantes en cualquier punto de la sección.
y
x
N
N
G
z
y
x
EQUIVALENCIA ENTRE N Y LA
DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES:
Momentos en G:
dA
M x = 0 = ∫ σ ydA
y
x
G
M y = 0 = − ∫ σ xdA
N pasa por G
Igualdad de resultantes:
N
N = ∫ σ dA = σ ∫ dA = σA ⇒ σ =
A
ESTADO DE DEFORMACIONES EN LA PIEZA PRISMÁTICA:
εz =
σz
E
ε y = ε x = −νε z γ xy = γ xz = γ yz = 0
TRACCIÓN PURA
COMPRESIÓN PURA
En ambos casos, el esfuerzo axil pasa por el c.d.g de la sección
FLEXIÓN
FLEXIÓN PURA, FLEXIÓN COMPUESTA Y
FLEXIÓN SIMPLE
y
B
y
B
My
G
x
P
x
r
Mx
G
N
z
z
y (EJE DE SIMETRÍA)
B
Qy
x
G
Mx
z
y
P
x
z
P
dz
a
Q
a
Q=0
P
-P
Zona de flexión simple
M
P.a
Zona de flexión pura
FLEXIÓN PURA
σ x = σ y = τ xy = τ xz = τ yz = 0
y
B
σ z = σ z (x , y )
My
x
G
σz ≠ 0
σ z = Ax + By + C
Mx
z
EQUIVALENCIA ENTRE Mx y My Y
LA DISTRIBUCIÓN DE
TENSIONES:
Igualdad de resultantes:
∫∫ σ
Ω
z
dΩ =0 ⇒ C = 0
Igualdad de momentos en G:
r
r
r r
∫∫ Ω r ∧ σ z dΩ = M x i + M y j
A=−
B=
σ z = Ax + By
M x Pxy + M y I x
I x I y − Pxy2
M x I y + M y Pxy
I x I y − Pxy2
y
B
My
x
G
Mx
σz
z
⎡ yPxy − xI x ⎤
⎡ yI y − xPxy ⎤
= Mx⎢
⎥
⎥ + My⎢
2
2
⎢⎣ I x I y − Pxy ⎥⎦
⎢⎣ I x I y − Pxy ⎥⎦
⎡ yI y − xPxy ⎤
⎡ yPxy − xI x ⎤
= Mx⎢
⎥
⎥ + My⎢
2
2
⎢⎣ I x I y − Pxy ⎥⎦
⎢⎣ I x I y − Pxy ⎥⎦
σz
Si los ejes {x,y} fueran principales de inercia de la sección, Pxy=0, por lo que la
expresión anterior se reduciría a:
M y M x
σz =
y si
My = 0
, se obtendría:
x
Ix
y
−
Iy
Mxy
σz =
Ix
σ2=
y
y
Μx h2
Ιx
h2
G
Canto
Mx
x
x
h1
G
σ1=
Sección rectangular
SECCION
Μx h1
Ιx
ALZADO LATERAL
NOMENCLATURA EN PERFILES LAMINADOS:
ALA
ALMA
ALA
EJEMPLO: CALCULO DE LAS MÁXIMAS TENSIONES
NORMALES EN LA VIGA DE LA FIGURA
P=50kN
RA
2.5m
q=20kN/m
3.5m
h=0.7m
b=0.22m
RB
h = canto
b = ancho
P=50kN
q=20kN/m
Q=89,2kN
Q
39,2kN
-10,8kN
M=160,4kNm
M
-80,8kN
1
3
Ix = b⋅h
12
y
h
σ máx.
0
G
x
h
Mx ⋅
Mx
2
=
=
Ix
W
Módulo resistente
de la sección
b. 2 0,22 x0,7 2
W= h =
= 0,018m 3
6
6
TENSIONES NORMALES MÁXIMAS:
M max
160,4kNm
σC = −
=−
= −8,9 MPa
3
W
0,018m
b
σ T = +8,9 MPa
TENSIONES Y DEFORMACIONES EN FLEXIÓN PURA
Curva tensión-deformación
Tensiones σz
σ
y
ε
directriz
Las deformaciones εz también varían linealmente
Deformaciones εz
FLEXIÓN PURA:
M
M
Las caras que eran planas….
ρ
…siguen siendo
planas
FIBRA O EJE NEUTRO EN FLEXIÓN PURA
Se denomina fibra o eje neutro al lugar geométrico de los puntos de la sección
en los que σz es nula
σz
M x Pxy + M y I x
y
=
x M x I y + M y Pxy
⎡ yI y − xPxy ⎤
⎡ yPxy − xI x ⎤
= Mx⎢
⎥ + My⎢
⎥=0
2
2
⎢⎣ I x I y − Pxy ⎥⎦
⎢⎣ I x I y − Pxy ⎥⎦
Si los ejes {x,y} fueran principales de inercia:
y M yIx
=
x M xIy
que corresponde a una recta que pasa por el c.d.g de la sección. Si, además,
My=0, la fibra neutra coincide con el eje x: y
x
G
Fibra neutra
FLEXIÓN COMPUESTA
Reduciendo N al c.d.g.:
y
B
x
P
G
y
B
r
N
x
z
G
N
esfuerzo axil N en un punto P de
coordenadas (a,b)
M
z
v
i
r
v
M = rv ∧ N = a
v
j
b
0 0
r
k
r
r
r
r
0 = bNi − aNj = M x i + M y j
N
Aplicando el Principio de superposición:
σz
⎡ yPxy − xI x ⎤
⎡ yI y − xPxy ⎤
=
+ b N⎢
⎥
⎥ − a N⎢
2
2
Ω
⎢⎣ I x I y − Pxy ⎥⎦
⎢⎣ I x I y − Pxy ⎥⎦
N
FIBRA O EJE NEUTRO EN FLEXIÓN COMPUESTA
σz =
I x I y − Pxy2
Ω
(
)
(
)
+ x aI x − bPxy + y bI y − aPxy = 0
En el caso de flexión compuesta, la fibra neutra no pasa por el c.d.g de la sección.
NUCLEO CENTRAL DE UNA SECCION TRABAJANDO A
FLEXIÓN COMPUESTA
Región de la sección en la que puede actuar un esfuerzo axil de compresión N sin
que se produzcan tensiones de tracción en ningún punto de la sección. El centro
de gravedad de la sección G debe pertenecer al núcleo central pues, si en él se
aplicara un esfuerzo axil de compresión toda la sección se encontraría trabajando
a compresión.
Si el esfuerzo axil de compresión actuase en el punto A de la sección, la recta (a)
sería la correspondiente fibra neutra. Supongamos ahora que el esfuerzo axil actuase
en el punto B y que (b) es la correspondiente fibra neutra. Si C es el punto de corte
de las rectas (a) y (b), se puede demostrar que si el esfuerzo axil actuase en C la
correspondiente fibra neutra (c) pasaría por los puntos A y B.
y
A
B
x
(c)
C
(a)
(b)
EJEMPLO: NÚCLEO CENTRAL DE UNA SECCIÓN RECTANGULAR
y
D
C
P
e
h
G
x
Supongamos actuando un esfuerzo axil N de compresión
en el punto P de la sección, que se encuentra situado sobre
el eje y a una distancia e del eje x.
Reduciendo el esfuerzo N al centro de gravedad G,
obtendríamos un esfuerzo axil del mismo valor y un momento
flector de eje x de valor N.e
B
A
c
Si aplicásemos N en G (e=0), toda la sección estaría sometida a compresión
uniforme. Si va creciendo e, las tensiones de compresión van creciendo en el
lado DC y disminuyendo en el AB. Cabría preguntarse: ¿Para qué valor de la
distancia e la fibra neutra coincidiría con al lado AB?
e=h/6
y
Núcleo Central
R
h
3
S
x
A
c
3
FLEXIÓN SIMPLE
y
(Eje de simetría)
y (EJE DE SIMETRÍA)
B
Qy
Qy
x
G
G
Mx
x
Mx
z
Las tensiones normales producidas por el momento flector ya han sido estudiadas
con anterioridad, pero: ¿cuáles serán las tensiones tangenciales (contenidas en el
plano de la sección) a que da lugar el esfuerzo cortante que estamos aplicando?
Supondremos que dichas tensiones tangenciales sólo dependen de la ordenada “y”:
τ = τ (y)
REBANADA DE UNA PIEZA PRISMÁTICA
rebanada
B
D
directriz
A
B
C
ds
B
D
Mx
A
Mx+d Mx
Mx
Qy
D
C
Qy
c
A
ds
Mx+d Mx
C
Qy+d Qy
Qy+d Qy
EQUILIBRIO DE LA REBANADA
B
D
Mx+d Mx
Mx
C
Qy
C Qy+d Qy
A
ds
M x − ( M x + dM x ) + Q y ds + dQ y ds = −dM x + Q y ds = 0
dM x
Qy =
ds
TENSIONES TANGENCIALES INDUCIDAS
POR EL ESFUERZO CORTANTE
Q
τ
a(y)
σ
y
y yh
Mxy
σz =
Ix
τ
yc
G
σ+dσ
x
dM x y
dσ =
Ix
ds
a0
EQUILIBRIO HORIZONTAL:
σ+dσ
σ
τ
∫
y = yh
y = yc
dσ (a( y ).dy ) = τ (ds ⋅ a0 )
∫
yh
yc
dM x
dM x
y (ady ) =
Ix
Ix
dM x M e Qy M e
τ=
=
ds I x a0
I x a0
∫
yh
yc
y (ady ) = τ ⋅ ds ⋅ a0
Ejemplo: Distribución de tensiones cortantes sobre
una sección rectangular sometida a Qy
y
y
τ(y)
(h/2-y)/2
y
h
0
G
x
0
x
G
τ=
Qy M e
I x a0
b
⎞
⎛h
⎞ ⎛1⎛h
⎞
M e = ⎜ − y ⎟ ⋅ b ⋅ ⎜⎜ ⎜ − y ⎟ + y ⎟⎟
⎝2
⎠ ⎝2⎝2
⎠
⎠
1
I x = b ⋅ h3
12
a0 = b
y
y
y
h
fibra x
neutra
b
τ media
σmax
z
τmax
σ
Tensiones de
flexión
⎛ bh ⎞⎛ h ⎞ bh
(M e )max = ⎜ ⎟⎜ ⎟ =
8
⎝ 2 ⎠⎝ 4 ⎠
3 ⎛ Qy ⎞
τ max = ⎜⎜ ⎟⎟ = 1,5 τ media
2 ⎝ bh ⎠
Tensiones
cortantes
2
τ