Parámetros Redundantes para Rotación y Traslación en Cinemática

Motivación
Parámetros de Euler-Rodrigues y Cuaterniones
Proyección Cinemática de Study
Aplicaciones
Parámetros Redundantes para Rotación y
Traslación en Cinemática
O. Altuzarra, A. Hernández, E. Amezua, V. Petuya
Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea
Departamento de Ingeniería Mecánica, Bilbao
Oscar Altuzarra et al.
CNIM, Castellón, Noviembre 2012
Motivación
Parámetros de Euler-Rodrigues y Cuaterniones
Proyección Cinemática de Study
Aplicaciones
Índice
1
Motivación
2
Parámetros de Euler-Rodrigues y Cuaterniones
3
Proyección Cinemática de Study
4
Aplicaciones
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Parámetros de Euler-Rodrigues y Cuaterniones
Proyección Cinemática de Study
Aplicaciones
Motivación
Simplificar la Resolución del Problema de Posición
Un desplazamiento euclídeo D se puede expresar
como la proyección de puntos del sólido pB en R3
sobre el espacio fijo cartesiano R3 (función de 6
variables α).
pF = R · pB + d
En coordenadas proyectivas:
h Fi
p
1
=
h
R
0T
d
1
i h Bi
p
1
Las ecuaciones de lazo en mecanismos serie resultan
de matrices de transformación:
j
TFB = TF1 T12 T2i . . . TB
Sistemas de ecuaciones no lineales: f (α) = 0
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Representación Convencional de las Rotaciones:
Ángulos de Euler
La forma matemática de la matriz de rotación es la
que más afecta a la complejidad del sistema de
ecuaciones resultante.
El uso de Ángulos de Euler o similares genera
sistemas de ecuaciones con funciones trascendentes.
La resolución numérica es posible, no así la
algebraica.
Ángulos de Euler
RFB = Rw,ψ Ru,θ Rw,ϕ
"
=
cϕcψ − cθsϕsψ
cϕsψ + cθsϕcψ
sθsϕ
−sϕcψ − cθcϕsψ
−sϕsψ + cθcϕcψ
sθcϕ
sθsψ
−sθcψ
cθ
#
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Parámetros de Euler-Rodrigues (1840)
A partir del Teorema de Euler.
Los Parámetros de Euler-Rodrigues (1840) se
definen como:
- e0 = cos
- e=
e1
φ
2
e2
e3
T
= u sin
φ
2
Siendo u la dirección de una recta en el sólido y
φ el ángulo de rotación alrededor de esa línea.
Y deben verificar esta ecuación de
normalización:
e02 + e12 + e22 + e32 = 1
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Matriz de Rotación usando los Parámetros de
Euler-Rodrigues
La fórmula de rotación de Rodrigues proporciona la matriz de rotación:
R = e02 − eT e I + 2eeT + 2e0 E
donde:
"
E=
0
e3
−e2
−e3
0
e1
e2
−e1
0
#
Matriz de rotación
"
R=
e02 + e12 − e22 − e32
2(e1 e2 + e0 e3 )
2(−e0 e2 + e1 e3 )
2(e1 e2 − e0 e3 )
e02 − e12 + e22 − e32
2(e2 e3 + e0 e1 )
2(e0 e2 + e1 e3 )
2(e2 e3 − e0 e1 )
e02 − e12 − e22 + e32
#
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Cuaterniones para representar rotaciones (1843)
Hamilton descubrió los cuaterniones al tratar de
extender los números complejos a dimensiones
superiores.
Se emplean en control de orientación en
robótica, en astronomía, en aplicaciones
informáticas...
Un cuaternión q es una magnitud formada por
un escalar q0 y un vector q:
q=
q0
q1
q2
q3
= q0 + q
Si q es un cuaternión unitario, los cuatro
escalares qi corresponden a los parámetros de
Euler-Rodrigues ei cumpliendo:
e02 + e12 + e22 + e32 = 1
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Rotaciones usando Cuaterniones
La rotación de un vector rP se realiza mediante la multiplicación de
cuaterniones:
r F = e · r P · e∗
donde:
e=
e0
rP =
0
e∗ =
e0
e1
r1
e2
r2
−e1
e3
r3
−e2
−e3
Requieren menos números y operaciones, menor necesidad de
almacenamiento en memoria, se evita la propagación de errores
numéricos.
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Cuaterniones Duales (1873)
La extensión de los trabajos de Hamilton la
realizó Clifford al proponer los bicuaterniones
(1873).
Un tipo de bicuaterniones son los cuaterniones
duales t:
t = x + y
donde x e y son cuaterniones:
x=
x0
x1
x2
x3
y=
y0
y1
y2
y3
y 2 = 0 es el número dual.
Los ocho parámetros reales xi e yi permiten
definir movimientos espaciales pero requieren
dos ecuaciones de normalización.
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Bicuaterniones de Study (1901)
Study propone un espacio 7-dimensional a partir
de los cuaterniones duales de Clifford (1891).
Se trata de la proyección κ de un elemento D del
grupo de los desplazamientos Euclídeos SE(3)
sobre un espacio proyectivo 7-dimensional P7 .
Esta función asocia a cada desplazamiento
Euclídeo D un punto x en el espacio proyectivo
real P7 .
El punto en P7 se establece con el vector
homogéneo x = [x0 : x1 : x2 : x3 : y0 : y1 : y2 : y3 ]
En terminología moderna:
x = [x0 : x1 : x2 : x3 : y0 : y1 : y2 : y3 ]
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Ecuaciones de normalización
Los escalares reales [x0 : . . . : y3 ] que definen los puntos en P7 deben
cumplir la denominada Cuádrica de Study S62 :
x0 y0 + x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 = 0
Y que los xi no sean simultáneamente nulos. Por lo tanto se debe
incluir una ecuación de normalización que se aplica a los parámetros
de rotación:
x0 = 1
x02
+
x12
+
x22
+ x32 = 1
A esos ocho parámetros [x0 : x1 : x2 : x3 : y0 : y1 : y2 : y3 ] se les
denomina parámetros de Study
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Matriz de Transformación
Matriz de Transformación con los parámetros de Study

x02 + x12 − x22 − x32
1  2(x1 x2 + x0 x3 )
F
TB =
 2(x x − x x )
∆
1 3
0 2
0
2(x1 x2 − x0 x3 )
− x12 + x22 − x32
2(x2 x3 + x0 x1 )
0
x02
2(x1 x3 + x0 x2 )
2(x2 x3 − x0 x1 )
x02 − x12 − x22 + x32
0

p
q

r
∆
donde
p = 2(−x0 y1 + x1 y0 − x2 y3 + x3 y2 )
q = 2(−x0 y2 + x1 y3 + x2 y0 − x3 y1 )
r = 2(−x0 y3 − x1 y2 + x2 y1 + x3 y0 )
y
∆ = x02 + x12 + x22 + x32
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Cinemática Plana
En el caso de movimiento plano, la función κ proyecta los
desplazamientos Euclídeos Planos D ∈ SE2 sobre el espacio
proyectivo P3 .
Los parámetros x1 y x2 son nulos por ser las rotaciones en el eje Z
(u = [0, 0, 1]).
Los parámetros y0 e y3 son nulos por ser las traslaciones en XY (r = 0).
Así resulta que:
κ : SE2 7→ P3
D 7→ κ (D) = [x0 : x3 : y1 : y2 ]
La cuádrica de Study se verifica porque x1 = x2 = y0 = y3 = 0:
x0 y0 + x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 = 0
Para que los xi no sean simultáneamente nulos se debe incluir la
ecuación de normalización: x0 = 1 o x02 + x32 = 1 u otra.
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Desplazamientos en el Plano en Coordenadas
Homogéneas
X
Y
C
" #
cos φ
= sin φ
0
"
− sin φ
cos φ
0
a
b
1
x
y
1
#" #
Matriz de Transformación con Parámetros de Study
" #
X
Y
C
=
x02
+
x02 − x32
2x0 x3
0
"
1
x32
−2x0 x3
x02 − x32
0
#" #
2(−x0 y1 + x3 y2 )
2(−x0 y2 − x3 y1 )
x02 + x32
x
y
1
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Relaciones entre Parámetros de Study y Cartesianos
Con la ecuación de normalización x02 + x32 = 1:
x0 = cos
x3 = sin
y1 = −
y2 =
a
2
φ
2
φ
2
a
2
φ
cos
sin
2
φ
−
2
b
−
b
2
2
sin
cos
φ
2
φ
2
Con la ecuación de normalización x0 = 1:
tan
x0 = 1
x3 = tan
a
φ
2
2
=
a=
2
−
x3
x0
2 (−x0 y1 + x3 y2 )
x2 + x2
0
b
φ
tan
2
2
a
φ
b
y2 =
tan
−
2
2
2
y1 = −
φ
b=
3
2 (−x0 y2 − x3 y1 )
x2 + x2
0
3
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Cuadrilátero Articulado. Ecuaciones de Restricción
Ecuación de normalización: x0 = 1
XB1
"
2
XB1
YB1
1
+ YB1
#
=
2
− (r1 )2 = 0
"
1
x02 + x32
x02 − x32
2x0 x3
0
−2x0 x3
x02 − x32
0
#" #
2(−x0 y1 + x3 y2 )
2(−x0 y2 − x3 y1 )
x02 + x32
h
0
1
Ecuación de Restricción para la barra r1
4 y12 + y22 + 4h (y1 + x3 y2 ) + h2 − r12
1 + x32
=0
Ecuación de Restricción para la barra r2
4 y12 + y22 + 4H (−y1 + x3 y2 ) + H 2 − r22
1 + x32
=0
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Cuadrilátero Articulado. Espacio Imagen
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Cuadrilátero Articulado. Problema de Posición
Ecuación de Entrada en la barra r1
YB1
XB1
=
h(2x3 ) + 2(−y2 − x3 y1 )
h(1 − x32 ) + 2(−y1 + x3 y2 )
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3RPR. Ecuaciones
Ecuación de Restricción para la entrada r1
4 y12 + y22 + 4h (y1 + x3 y2 ) + h2 − r12
1 + x32
=0
Ecuación de Restricción para la entrada r2
4 y12 + y22 + 4H (−y1 + x3 y2 ) + H 2 − r22
1 + x32
=0
Ecuación de Restricción para la entrada r3
4 y12 + y22 + 4h (x3 y1 − y2 ) + 4H (−y1 + x3 y2 ) −
−4L (−y2 − x3 y1 ) − 4Hhx3 − 2Lh 1 − x32 +
+ H 2 + L2 + h2 − r32
1 + x32 = 0
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3RPR. Ecuaciones de Restricción
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3RPR. Superficie Singularidad DKP
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Conclusiones
1
El empleo de los parámetros de Study tiene
una alta potencialidad en el campo de la
Cinemática Computacional.
2
Es factible generar sistemáticamente
ecuaciones de restricción expresadas en
forma polinómica.
3
Estos sistemas de ecuaciones polinómicos
son susceptibles de ser resueltos
numéricamente de forma muy eficiente.
4
También es factible la aplicación de métodos
de resolución de todas las soluciones de
forma sistemática.
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