D.4 Rectas paralelas y perpendiculares

Materia: Matemática de 5to
Tema: Rectas paralelas y perpendiculares
Marco Teórico
Consideramos dos líneas. Hay tres formas de que las dos pueden interactuar:
1. Son paralelas y por lo que nunca se cruzan.
2. Son perpendiculares y por lo que se intersecan en un ángulo recto.
3. Se cruzan, pero no son perpendiculares.
Recordemos que la pendiente de una recta es una medida de su pendiente . Para una
línea escrita en forma
, " " es la pendiente. Dadas dos líneas, sus
laderas pueden ayudar a determinar si las líneas son paralelas, perpendiculares o
ninguna.
Dos líneas son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente . En el Ejemplo A y
Práctica guiada # 1, se probarán.
Dos rectas son perpendiculares si y sólo si tienen pendientes que son recíprocos
opuestos . Esto significa que si la pendiente de una línea es , la pendiente de una
línea perpendicular a ella será
. Otra forma de pensar acerca de esto es que el
producto de las pendientes de rectas perpendiculares siempre será -1. (Ten en cuenta
que
probarán.
). En los Ejemplos B y C y Práctica guiada # 2 y # 3, se
Ejemplo A
Consideramos dos líneas
y
estas dos líneas tienen la misma pendiente,
con
. Ten en cuenta que
.
1. ¿Cómo sabes que las dos líneas son distintas (no es la misma línea)?
2. Utilizar el álgebra para encontrar el punto de intersección de las rectas. ¿Qué
sucede?
Solución: a) Las dos líneas son diferentes porque tienen diferentes intersecciones .
La primera línea tiene un intercepto en
y la segunda línea tiene un intercepto
en
.
b) Se puede utilizar la sustitución para tratar de encontrar el punto de intersección.
y
Por lo tanto:
Esta es una contradicción, porque se dijo que
. Por lo tanto, estas dos líneas no
tienen un punto de intersección. Esto significa que las líneas deben ser paralelas. Esto
demuestra que si dos rectas tienen la misma pendiente, entonces son paralelas. Vas a
demostrar el recíproco de esta declaración en Práctica guiada # 1.
Ejemplo B
Considera rectángulo
con
y
y líneas perpendiculares
.
Encontrar la longitud de
.
. A continuación, muestran que
Solución: Debido a que es un rectángulo,
semejantes porque tienen ángulos congruentes. Dejado
los ángulos de la imagen en términos de .
es similar a
. Los dos triángulos son
y etiquetar todos
Se puede ver que cada uno de los tres triángulos en la imagen tienen las mismas
medidas de los ángulos, por lo que todos deben ser similares. En particular,
similar al
.
es
Ejemplo C
Utiliza el hecho de que
es similar a la
de encontrar la longitud de
A continuación, encontrar las pendientes de las rectas
producto es -1.
Solución: Debido a que
es similar a
y
y demostrar que su
la siguiente proporción es cierto:
Resolviendo esta proporción tiene que
Las pendientes de las líneas se pueden encontrar usando
recta
es
y la pendiente de
El producto de las pendientes es
. La pendiente de la
es
.
.
Esto demuestra que si dos rectas son perpendiculares, entonces sus pendientes serán
recíprocos opuestos (el producto de las pistas será -1). Vas a demostrar el recíproco de
esta declaración en la Práctica guiada # 2 y # 3.
Problema Concepto
Para encontrar la ecuación de la recta paralela a la
que pasa por el punto
, recuerda que las líneas paralelas deben tener la misma pendiente. Esto
significa que la nueva línea debe tener una pendiente de y pasar a través del punto
. Todo lo que necesitas hacer es resolver la intersección .
La ecuación de la recta es
.
Para hallar la ecuación de la recta perpendicular al
que pasa por el punto
, recuerda que las líneas perpendiculares tienen pendientes recíprocas
opuestas. Esto significa que la nueva línea debe tener una pendiente de
y pasar
por el punto
. Una vez más, todo lo que tiene que hacer es resolver el
intercepto.
La ecuación de la recta es
Las dos líneas que se encontraron
y
también son
perpendiculares. Ten en cuenta que se tienen pendientes recíprocas opuestas.
Palabras Clave
La pendiente de una recta es una medida de su pendiente. Una forma de encontrar la
pendiente de una recta es calcular
o
por dos puntos de la línea.
Dos rectas son paralelas si nunca se cruzan. Las líneas paralelas tienen pendientes
que son iguales.
Dos líneas son perpendiculares si se intersecan en un ángulo recto
. Las líneas
perpendiculares tienen pendientes que son recíprocos opuestos. Además, todas las
líneas verticales son perpendiculares a todas las líneas horizontales.
Ejercicios Resueltos
1. Consideramos dos líneas paralelas
que
.
y
con
. Demostrar
Respuestas:
1. Supongamos
. Puede resolver un sistema de ecuaciones para encontrar el
punto de intersección de las dos líneas.
y
Por lo tanto:
Si
, entonces existe este punto por lo que las líneas se cruzan. Esta es una
contradicción, porque se dijo que las líneas eran paralelas. Por lo tanto, debe ser
igual . Esto demuestra que si dos rectas son paralelas, entonces deben tener la
misma pendiente.
Ejercicios
1. Describe las tres formas en que dos líneas podrían interactuar. Haz un dibujo de
cada uno.
2. ¿Qué significa que dos líneas sean paralelas? ¿Cómo se relacionan las pendientes
de rectas paralelas?
3. ¿Qué significa que dos líneas sean perpendiculares? ¿ Cómo se relacionan las
pendientes de rectas perpendiculares?
4. Utilizar el álgebra para mostrar por qué las líneas
con la misma pendiente) deben ser paralelas.
y
(líneas
5. Utiliza el método del Ejemplo B Ejemplo C para mostrar por qué las pendientes de
las líneas
y
un rectángulo.
deben ser recíprocos opuestos. Supongamos que
es
6. Busca la línea paralela a la
que pasa a través de
7. Busca la línea perpendicular
que pasa por
8. Busca la línea paralela a la
que pasa a través de
9. Busca la línea perpendicular
que pasa por
10. Busca la línea paralela a la
que pasa a través de
11. Busca la línea perpendicular
que pasa por
12. Busca la línea paralela a la
que pasa a través de
13. Busca la línea perpendicular
que pasa por
14. Line pasa por el punto
y
. Línea atraviesa puntos
¿Son las líneas
y paralelas, perpendiculares o ninguna de ellas?
15. Línea
y
pasa por el punto
. ¿Son líneas
y
y
y
. Línea pasa a través de los puntos
paralelas, perpendiculares o ninguna de ellas?
.