cálculo del área de una bóveda vaída

SIGMA
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CÁLCULO DEL ÁREA DE UNA BÓVEDA VAÍDA:
UN PROBLEMA DE GEOMETRÍA ELEMENTAL PARA
ALUMNOS Y ALUMNAS DE SECUNDARIA
Vicente Meavilla Seguí (*)
INTRODUCCIÓN
Algunos libros antiguos de contenido no específicamente matemático [p.e.: tratados de arquitectura, balística, ...] suelen ofrecer al profesor algunas ideas que, desarrolladas en clase, presentan el
lado útil de las Matemáticas y pueden motivar a los alumnos de forma extrínseca. Este es el caso
del Breue tratado de todo genero de bobedas asi regulares como yrregulares execucion de obrarlas
y medirlas con singularidad y modo moderno obseruando los preceptos canteriles de los maestros
de architectura (1661), en el que Juan de Torija(1) propone diversos procedimientos para el cálculo
exacto o aproximado del área de algunas bóvedas. Dichos métodos sólo se apoyan en conceptos
elementales de geometría descriptiva y geometría sintética, y, en algunos casos, resuelven problemas que, tratados desde una óptica formal, necesitan hacer uso de las integrales dobles.
En este artículo ofrecemos uno de los ejemplos más sencillos presentados por Torija: el cálculo
del área de una bóveda vaída. Antes de enfrentarnos al problema, facilitamos un pequeño
vocabulario de carácter técnico.
VOCABULARIO
Bóveda. Obra de fábrica curvada, que sirve para cubrir el espacio comprendido entre dos
muros o varios pilares.
Bóveda vaída. La que se obtiene al cortar una semiesfera por cuatro planos verticales que
contienen los lados de un cuadrado inscrito en su círculo máximo.
(*) Departamento de Matemáticas. IES “Francés de Aranda” (Teruel)
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Vicente Meavilla Seguí
Luquete. Casquete esférico que cierra la bóveda vaída.
Media naranja. Bóveda semiesférica.
Pechina. Cada uno de los triángulos esféricos que permiten el paso de la planta cuadrada de
la bóveda a una forma circular superior.
Pitipié. Escala.
ÁREA DE LA BÓVEDA VAÍDA
El procedimiento de Torija
"Hagase la mitad de su planta, que tenga 40. pies de diámetro, como la presente B. D. F. G. y
tirese la diagonal A. E. y sobre ella se haga el circulo A. C. E. el qual es la media naranja, como
si se huuierea de cumplir; y dentro de ella se haga el medio circulo de 40. pies de diámetro,
que es vna de las formas sobre que caiga dicha Capilla vaìda F. B. D. G. y se tiraràn las lineas
rectas F. B. D. G. que muestran las pechinas H. I. y luego se mida la media naranja sobre la diagonal del quadrado de 40. por lado, y se hallarà por el pitipie, que tiene cinquenta y seis pies
y medio de largo; quadralos, y montaràn 3192. que multiplicados por 11. montan 35112. que
partidos por 14. saldrán a la partición 2508. que serà el arca plana del mayor circulo, según
Archimedes, que tendrà por diámetro el diagonal de su quadrado de 40. por lado. Duplica
los 2508. y montaràn 5016. pies quadrados superficiales; quedaràn en su arca concaua de
la media esfera referida, según Archimedes: de los quales 5016. se han de restar los quatro
medios luquetes, que son las porciones que de ella cortan en los quatro arcos, o formas, las
quales se miden en esta manera. En el perfil de la media esfera A. B. C. D. E. se tiraràn qualesquiera de las lineas rectas A. B. B. C. C. D. D. E. pues todas son iguales: Y tomando la vna
de ellas por semidiámetro, se descriuirà vn circulo, el qual en arca, serà igual a la porcion de
esfera B. C. D. ò a las dos medias porciones, ò luquetes A. B. D. E. el qual circulo tendrà por
diámetro las dos lineas juntas en vna; que por el pitipie hallaràs que tiene 43. pies: quadralos,
y montarán 1849. que multiplicados por 11. hazen 20339. que partidos por 14. saldrán a la
partición 1452 3/4 [en realidad, el valor de dicho cociente es 1452,7857] que es el area de
dicho circulo: y porque los quatro luquetes hazen dos circulos de estos, dupliquese, y montaràn 2905 1/2 que baxados de los 5016 restan 2110 1/2 para la Capilla vaída (...)".
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Cálculo del área de una bóveda vaída: un problema de geometría elemental
para alumnos y alumnas de secundaria
Análisis del procedimiento
Dado que el área de una bóveda vaída se obtiene de forma natural como la diferencia entre
las áreas de una semiesfera y de dos casquetes esféricos, resulta comprensible que el procedimiento de Torija, descrito en las líneas precedentes, conste de tres fases:
a) Cálculo del área de la semiesfera que genera la bóveda.
b) Cálculo del área de un casquete esférico.
c) Cálculo del área de la bóveda [= área semiesfera – área de dos casquetes].
Cálculo del área de la semiesfera que genera la bóveda
"(...) y luego se mida la media naranja sobre la diagonal del quadrado de 40. por lado, y se hallarà
por el pitipie, que tiene cinquenta y seis pies y medio de largo; quadralos, y montaràn 3192.
que multiplicados por 11. montan 35112. que partidos por 14. saldrán a la partición 2508. que
serà el arca plana del mayor circulo, según Archimedes, que tendrà por diámetro el diagonal de
su quadrado de 40. por lado. Duplica los 2508. y montaràn 5016. pies quadrados superficiales;
quedaràn en su arca concaua de la media esfera referida, según Archimedes (...)".
Para determinar el área de la semiesfera que genera la bóveda, Torija, en primer lugar, calcula
la longitud d de su diámetro [= diagonal del cuadrado de 40 pies de lado en que se apoya la
2
bóveda]. El valor obtenido “por el pitipie” es de 56,5 pies .
2
Acto seguido, a partir de la fórmula A = 2 · d · 11/14, calcula el área de la semiesfera, obte3
niendo un valor de 5016 pies cuadrados .
Cálculo del área de un casquete esférico
"(...) de los quales 5016. se han de restar los quatro medios luquetes, que son las porciones que
de ella cortan en los quatro arcos, o formas, las quales se miden en esta manera. En el perfil de la
media esfera A. B. C. D. E. se tiraràn qualesquiera de las lineas rectas A. B. B. C. C. D. D. E. pues
todas son iguales: Y tomando la vna de ellas por semidiámetro, se descriuirà vn circulo, el qual
en arca, serà igual a la porcion de esfera B. C. D. ò a las dos medias porciones, ò luquetes A. B.
D. E. el qual circulo tendrà por diámetro las dos lineas juntas en vna; que por el pitipie hallaràs
que tiene 43. pies: quadralos, y montarán 1849. que multiplicados por 11. hazen 20339. que
partidos por 14. saldrán a la partición 1452 3/4 que es el área de dicho círculo (...)".
Para calcular el área de un casquete esférico, Torija recurre a una proposición de Arquímedes
que, en esencia, afirma lo siguiente:
“El área de un segmento esférico menor que un hemisferio es igual a la de un círculo cuyo
diámetro sea el doble de la recta trazada desde el vértice del segmento a la circunferencia del
círculo base de este”(4).
Utilizando el pitipié, nuestro autor determina el diámetro del círculo que resuelve el problema
[= 43 pies] y, tomando π = 22/7, calcula el área de cada uno de los dos casquetes esféricos
[= 1452,75 pies cuadrados](5).
Cálculo del área de la bóveda [= área semiesfera – área de dos casquetes]
"(...) y porque los quatro luquetes hazen dos circulos de estos, dupliquese, y montaràn 2905
1/2 que baxados de los 5016 restan 2110 1/2 para la Capilla vaída (...)".
Es decir:
Área de la bóveda vaída = área semiesfera – área de dos casquetes =
= 5016 – 2 · 1452,75 = 5016 – 2905,5 = 2110,5 pies cuadrados(6).
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Vicente Meavilla Seguí
ACTIVIDADES DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE
En las líneas siguientes, apoyándonos en el texto de Juan de Torija, presentamos algunas actividades de enseñanza y aprendizaje para alumnos del segundo ciclo de Educación Secundaria
Obligatoria.
En ellas se pretende que los estudiantes resuelvan un problema de geometría que surge fuera
del ámbito de la propia Matemática (motivación extrínseca). Al mismo tiempo, se muestra una
aplicación práctica de las Matemáticas en un campo, la Historia del Arte, que tradicionalmente
suele estar desconectado de ellas. Por otro lado, se invita a los alumnos a que hagan una primera incursión en el mundo de la Historia de la Ciencia, identificando algunos personajes
contemporáneos de nuestro autor, estudiando sus biografías y la época en que vivieron.
1. Juan de Torija (1624-1666) fue un arquitecto español que escribió un manual (Breue tratado
de todo genero de bobedas asi regulares como yrregulares execucion de obrarlas y medirlas
con singularidad y modo moderno obseruando los preceptos canteriles de los maestros de
architectura) dedicado al cálculo de las áreas de algunos tipos de bóvedas.
De los siguientes matemáticos y matemáticas di cuáles fueron contemporáneos de Torija y
señala algunos rasgos relevantes de sus biografías.
Blaise PASCAL
René DESCARTES
Évariste GALOIS
Marie-Sophie GERMAIN
María Gaetana AGNESI
HIPATIA
2. De los siguientes hechos, di cuáles se produjeron durante el siglo XVII.
• Muerte de Miguel Servet.
• Nacimiento de Isaac Newton.
• Nacimiento de Shakespeare.
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Cálculo del área de una bóveda vaída: un problema de geometría elemental
para alumnos y alumnas de secundaria
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Invención de los anteojos (gafas).
Saqueo de Constantinopla por los cruzados.
Derrota de la Armada Española a manos de Drake.
Restauración de la monarquía en Inglaterra.
Construcción de la catedral de Teruel.
Descubrimiento de la penicilina.
Publicación del Breve compendio de la carpintería de lo blanco, y tratado de Alarifes de
Diego López de Arenas.
3. Busca en el diccionario las definiciones de “bóveda”, “bóveda vaída”, “pechina” y
“luquete”.
Atendiendo a dichas definiciones, ¿cuál de las figuras siguientes representa una bóveda
vaída? Colorea en ella las pechinas y el luquete.
Figura 1.
Figura 2.
Figura 3.
4. La figura siguiente es el alzado [= dibujo que representa una fachada o cualquier objeto en
su proyección vertical] de una bóveda vaída.
• Dibuja la planta de dicha bóveda vaída.
Si el lado de la base cuadrada de la bóveda mide 40, ¿cuánto mide el radio de la semiesfera que contiene la bóveda? Calcula el área de dicha semiesfera.
• Calcula el área del luquete de la bóveda.
• Calcula el área de la bóveda.
• Calcula el área de las pechinas.
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Vicente Meavilla Seguí
IMPLICACIONES DIDÁCTICAS: UNA PROPUESTA DE INNOVACIÓN
PARA LAS CLASES DE MATEMÁTICAS
A lo largo de este artículo hemos presentado un ejemplo de la utilización de textos matemáticos (extraídos de manuales cuyo contenido no es específicamente matemático ni van dirigidos
a un público matemático) como fuente de inspiración para el diseño de actividades de enseñanza y aprendizaje, destinadas a los alumnos y alumnas de ESO y que pueden involucrar a
diversos departamentos didácticos (Matemáticas, Historia, Lengua, Plástica,...). Ni que decir
tiene que esta peculiar forma de introducir las Matemáticas en el aula se puede hacer extensiva a otros niveles de enseñanza (incluso en los estudios universitarios).
Desde aquí, animamos a nuestro colegas a que se inicien en el uso de la Historia de la Ciencia
como fuente de recursos didácticos, siguiendo una línea similar a la que bosquejamos en el
esquema adjunto, susceptible, por supuesto, de mejoras.
Manual de contenido no exclusivamente matemático
(p.e.: tratado de Arquitectura)
Procedimiento matemático para resolver un problema
técnico (p.e.: cálculo del área de unabóveda vaída)
Análisis del texto en el que se describe el
procedimiento
Léxico
Estilo
Ortografía
Análisis del procedimiento
Fuentes
Unidades de
medida utilizadas
Adaptación del procedimiento al nivel de
conocimientos de los alumnos
Diseño de actividades de enseñanza y aprendizaje
Aplicación en el aula
Evaluación
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Cálculo del área de una bóveda vaída: un problema de geometría elemental
para alumnos y alumnas de secundaria
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Fuentes:
TORIJA, Juan de (1661). Breue tratado de todo genero de bobedas asi regulares como yrregulares execucion de obrarlas y medirlas con singularidad y modo moderno obseruando los
preceptos canteriles de los maestros de architectura. Por Juan de Torixa maestro architecto y
aparexador de las obras reales. Madrid, Pablo del Val.
NOTAS
(1) Sobre la vida de Juan de Torija (1624 – 1666) disponemos de escasos datos biográficos. Entre 1652 y 1653 trabajó en el Alcázar
de los Austrias y en la reconstrucción del Palacio del Buen Retiro de Madrid. En 1662 reconstruyó la capilla principal de Atocha
(Madrid) según el proyecto de Sebastián de Herrera Barnuevo. Además de su “Tratado de bóvedas”, Torija escribió un Tratado
breve sobre las ordenanzas de la villa de Madrid y policia della (1661).
(2) En realidad, la longitud del diámetro es igual a 402 ≅ 56,568542... pies.
(3) La fórmula usada por Torija coincide con la nuestra [A = 2πr2] tomando 22/7 como aproximación de π. El valor exacto del área
de la semiesfera es 1600π pies cuadrados ≅ 5026,5482... pies cuadrados.
(4) Arquímedes, Sobre la esfera y el cilindro (Libro I, prop. 48).
(5) En realidad, la longitud del diámetro es 40 4 - 2 2 ≅ 43,295688... pies.
Por otro lado, el área del casquete es igual a 800π(2 –2) ≅ 1472,2419... pies cuadrados.
(6) En realidad, el área de la bóveda vaída es igual a 5026,5482 – 2944,4838 = 2082,0644 pies cuadrados.
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