APUNTES DE FUNCIONES PARA 4º ESO

APUNTES DE FUNCIONES PARA 4º ESO
- DEFINICIÓN:
Una función es una relación entre dos magnitudes, X e Y, de forma que a cada valor x
de la magnitud X corresponde un único valor y de la magnitud Y.
x: variable independiente (puedo tomar de ella el valor que quiera)
y: variable dependiente (su valor me viene dado de manera única por el valor de x y la
expresión de la función)
-EJEMPLOS:
y = f (x) = 2x+5 (Recta)
y = f (x) = x2-3 (Parábola)
1
y = f (x) =
(Hipérbola)
x
y = f (x) = 2 x (Potencial)
y = f (x) = log3 x (Logarítmica)
- TABLAS DE VALORES:
La tabla de valores es una expresión de la función (incompleta) que nos puede ayudar a
representar la gráfica de la función. Ésta es otra expresión de la función que nos puede
ayudar a conocer el comportamiento de la variable dependiente cuando se varían los
valores de la variable independiente.
Tabla de valores
f (x) = 2x+5
Tabla de valores
f (x) = x2-3
x f(x)
-2 1
-1 3
0
5
1
7
2
9
x f(x)
-2 1
-1 -2
0 -3
1 -2
2
1
Tabla de valores
f (x) = 2 x
x f(x)
-2 0´25
-1 0´5
0
1
1
2
2
4
Tabla de valores
1
f (x) =
x
x f(x)
-2 -0´5
-1 -1
0
?
1
1
2 0´5
Tabla de valores
f (x) = log3 x
x f(x)
-2 ---1 --0 --1
0
2 0´63
3
1
4 1´26
9
2
- EJERCICIO:
Dadas las tablas de valores anteriores, realizar las gráficas de las cinco funciones de los
ejemplos.
- PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES:
De cada una de las funciones que se estudian, no sólo es necesario conocer algunos
valores o intuir la gráfica de la función. De hecho en niveles superiores, conocer la
gráfica de la función será algo derivado de un profundo estudio de la función. Para
poder conocer las funciones que nos traemos entre manos necesitamos definir una serie
de propiedades que van a variar de unas a otras pero que determinaran de forma clara de
que función se trata.
Dichas propiedades son las siguientes:
• Dominio [Dom f ].
• Recorrido o imagen [Im f].
• Puntos de corte con el eje x y con el eje y.
• Continuidad
• Crecimiento y decrecimiento
• Máximos y mínimos
• Simetrías
• Asíntotas
• Periodicidad
Para estudiar el resto de los temas de funciones, primero conoceremos cada propiedad y
la aplicaremos a nuestros ejemplos. Una vez conocidas todas las propiedades,
generalizaremos los ejemplos para conocer las grandes familias de funciones y sus
propiedades: rectas, parábolas, hipérbolas…
- DOMINIO:
El dominio de una función, Dom f, es el conjunto de todos los valores que toma la
variable x. Dicho de un modo coloquial, es el conjunto de puntos que tienen una
imagen.
-EJEMPLOS:
f(x) = 2x+5 Dom f = R.
f(x) = x2-3 Dom f = R.
1
f(x) =
Dom f = R-{0}
x
f(x) = 2 x
Dom f = R
f(x) = log3 x Dom f = (0,∞)
- RECORRIDO:
El recorrido o Imagen de una función, Im f, es el conjunto de valores que toma la
variable y. Dicho de modo coloquial, es el conjunto de puntos que son imagen de algún
“x”.
- EJEMPLO:
f(x) = 2x+5 Im f = R.
f(x) = x2-3 Im f = [-3,+∞].
1
f(x) =
Im f = R-{0}
x
Im f = (0,∞)
f(x) = 2 x
f(x) = log3 x Im f = R
- PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES:
Con el eje X. Son aquellos para los que la imagen es 0. Por tanto se calculan
resolviendo la ecuación f(x)=0.
Con el eje Y. Es aquel para el que x=0. Por tanto se calcula resolviendo f(0).
-EJEMPLOS:
5
5
(- ,0)
f(x) = 2x+5 Corte con X: 2x+5=0 x=2
2
Corte con Y: f(0) = 2·0 + 5 = 5 (0,5)
f(x) = x2-3
f(x) =
1
x
Corte con X: x2-3=0 x= ± 3
Corte con Y: f(0) = 02 – 3 = -3
1
Corte con X: = 0 No tiene.
x
Corte con Y: f(0) No tiene.
f(x) = 2 x
f(x) = log3 x
Corte con X: 2 x = 0
Corte con Y: 20 = 1
(- 3 , 0) y (+ 3 , 0)
(0, -3)
No tiene.
(0,1).
Corte con X: log3 x = 0
Corte con Y: log3 0 ∃
x=1
(1,0)
- CONTINUIDAD:
Una función es continua si su gráfica se puede dibujar de un solo trazo. Los puntos
donde no hay continuidad se llaman Discontinuidades y pueden ser finitas o infinitas.
- EJEMPLOS:
f(x) = 2x+5 Continuidad en R.
f(x) = x2-3 Continuidad en R.
1
f(x) =
Continuidad en (-∞, 0) y en (0, +∞) . Discontinuidad infinita en x=0.
x
f(x) = 2 x
Continuidad en R.
f(x) = log3 x Continuidad en (0, +∞)
- CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO:
Una función es Creciente en un intervalo (a,b) si, para todo par de valores
pertenecientes a ese intervalo, de manera que x1<x2 se cumple que f(x1) < f(x2).
Una función es Decreciente en un intervalo (a,b) si, para todo par de valores
pertenecientes a ese intervalo, de manera que x1<x2 se cumple que f(x1) > f(x2).
Una función es Constante en un intervalo (a,b) si, para todo par de valores
pertenecientes a ese intervalo, de manera que x1<x2 se cumple que f(x1) = f(x2).
-EJEMPLOS:
f(x) = 2x+5 Creciente en R.
f(x) = x2-3 Decreciente en (-∞, 0) y Creciente en (0, +∞).
1
f(x) =
Decreciente en (-∞, 0) y Decreciente en (0, +∞).
x
f(x) = 2 x
Creciente en R.
f(x) = log3 x Creciente en (0, +∞)
- MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS:
Una función tiene un máximo relativo en un punto cuando en él, la función pasa
de ser creciente a ser decreciente y no tiene “picos”.
Una función tiene un mínimo relativo en un punto cuando en él, la función pasa
de ser decreciente a ser creciente y no tiene “picos”.
- EJEMPLOS:
f(x) = 2x+5 Creciente en R. No tiene ni máximos ni mínimos.
f(x) = x2-3
Decreciente en (-∞, 0) y Creciente en (0, +∞).
Tiene un mínimo en
x=0 y no tiene máximos.
1
f(x) =
Decreciente en (-∞, 0) y Decreciente en (0, +∞). No tiene ni máximos ni
x
mínimos.
f(x) = 2 x
Creciente en R. No tiene máximos ni mínimos.
f(x) = log3 x Creciente en (0, +∞) No tiene máximos ni mínimos.
- SIMETRÍAS:
Una función es simétrica respecto del eje Y cuando la representación de la
función de un lado del eje es imagen especular de la representación del otro
lado. De modo matemático, cuando f(-x) = f(x). En este caso la función se dice
que es Par.
Una función es simétrica respecto del origen (0,0), cuando la representación de
la función de un lado del eje Y es imagen especular de la representación del otro
lado, reflejada por el eje X. De modo matemático, cuando f(-x) = -f(x). En este
caso la función se dice que es Impar.
-EJEMPLOS:
f(x) = 2x+5 f(-x)=2·(-x)+5 = -2x + 5 ≠ f(x)
f(-x)=2·(-x)+5 = -2x + 5 ≠ -f(x)
No es Par.
No es Impar.
f(x) = x2-3 f(-x)= (-x)2-3 = x2-3 = f(x) Es Par.
1
1
1
f(x) =
f(-x) =
= − = - f(x) Es Impar.
−x
x
x
1
f(x) = 2 x
f ( − x ) = 2 − x = x ≠ f ( x ) No es par.
2
1
f ( − x ) = 2 − x = x ≠ − f ( x ) No es impar.
2
f(x) = log3 x
f ( − x ) = log3 ( − x ) → ∃ No es par ni impar.