CONDUCCION EN ESTADO ESTACIONARIO

Ley de Fourier
y=Y
t<0
y
t=0
x
y= 0
T0
T0
T1
Q
Q
T

A*t Y
T (t , y )
t>0
T0
T1
Q
T (y )
t 
T0
T1
Q
(T0  T1 )
Q
k
A*t
Y
dT
qy  k
dy
CONDUCCION
UNIDIMENSIONAL EN ESTADO
ESTACIONARIO
Consideremos la
conducción de calor a
través de las paredes de
una casa durante un día de
invierno. Se sabe que se
pierde calor de forma
continua hacia el exterior
a través de la pared en
forma normal a su
superficie y no tiene lugar
alguna transferencia de
calor significativa en ella
en otras direcciones.
El espesor pequeño de la
pared hace que el
gradiente de temperatura
en esa dirección sea
grande. Además, si las
temperaturas dentro y
fuera de la casa
permanecen constantes,
entonces la transferencia
de calor a través de la
pared de una casa se
puede considerar como
estacionaria y
unidimensional.
Pared rectangular plana
Distribución de temperatura
Flujo de calor
k (ctte)
T1
dT
q  k
dx
q
T2
x
e
q  k(
T1  T2
)
e
Pared rectangular plana
Resistencia térmica por conducción
T1
(k =ctte)
q'  Ak
q
(T1  T2 )
e
Reordenando
T2
x
e
q’
RTC
(T1  T2 )
q' 
e
Ak
Resistencia Termica
q' 
T
RTC
RTC
e

Ak
Pared rectangular plana con convección
Resistencia térmica por convección
Tα1
(k =ctte)
q'  Ah(T 1  T1 )
q
Reordenando
Tα2
h2
h1
(T 1  T1 )
q' 
1
Ah
x
Resistencia Termica
e
q' 
q’
R1
R2
R3
T
RTC
RTC 
1
Ah
Pared rectangular plana con convección
Tα1
Resistencia térmica total
(k =ctte)
RT  R1  R2  R3
q
Flujo se calor
(T 1  T 2 )
q' 
R1  R2  R3
Tα2
h2
h1
x
Resistencias termicas
e
R1
R2
q’
R3
1
R1 
Ah1
e
R2 
Ak
1
R3 
Ah2
El lado exterior de un muro de ladrillo de 0,1 m de
espesor (k = 0,7 W/mK) se expone a un viento frio a
270 K con un coeficiente de transferencia de calor
por convección de 40 W/m2 K. En el lado interior del
muro el aire esta a 330 K, con un coeficiente de
transferencia de calor por convección de 10 W/m2 K.
Determine el flujo de calor en estado estable, así
como las temperaturas de las superficies interior y
exterior del muro.
Paredes en serie
Tα1
Resistencia térmica total
(k =ctte)
RT  R1  R2  R3  R4
q
Flujo se calor
q' 
h2
h1
Tα2
x
e1
e2
q’
R1
R2
R3
R4
(T 1  T 2 )
R1  R2  R3  R4
Coeficiente global de transferencia
Resistencia térmica total
Tα1
(k =ctte)
1
e1
e2
1
 Ri 



Ah1 Ak1 Ak 2
Ah2
q’
Coeficiente global de transferencia
U 
h2
h1
Tα2
Cuando el área es constante
x
e1
1 1 e1 e2
1
 Ri  ( 

 )
A h1 k1 k 2 h2
e2
q’
R1
R2
R3
1
 Ri
R4
Flujo se calor
q'  UAT
 La pared compuesta de un horno, consiste en tres
materiales, dos de los cuales son de conductividad térmica
conocida, kA =20 W/mºK y kC =50W/mºK. De espesores
conocidos e1=0.20 m y e3=0.15 m. el tercer material B que se
intercala entre A y C tiene espesor conocido e2=0.15 m,
pero conductividad kB desconocida. En condiciones de
estado estable, las mediciones indican que la pared de la
superficie externa en el material C es de 20ºC y la superficie
interna del horno está a 600ºC, con una temperatura del
aire en el horno de 800ºC. Se sabe que el coeficiente
convectivo en el interior del horno es de 25 w/m2 ºK.
Calcular el valor de kB.
Sistemas Radiales : Tubo
Consideremos la conducción estacionaria de calor a través
de un tubo que fluye agua caliente. Se sabe que se pierde
calor de forma continua hacia el exterior a través de la
pared del tubo en forma normal a su superficie y no tiene
lugar alguna transferencia de calor significativa en ella en
otras direcciones.
Recuerde que la transferencia
de calor en cierta dirección es
impulsada por el gradiente de
temperatura en esa dirección.
Sistemas Radiales: Tubo
Distribución de temperatura
(qr )  Ctte
T2
r2
dT
q'  kA
dr
r1
T1
L
k 2L(T1  T2 )
q' 
r2
ln
r1
Sistemas Radiales: Tubo
(T1  T2 )
q' 
ln( r2 r1 )
(
)
2Lk
RTC
T2
ln( r2 r1 )

2Lk
L
r2
r1
T1
RTC
Considerando convección
q' 
(T 1  T 2 )
1
ln( r2 r1 )
1
(
)
2Lr1h1
2Lk
2Lr2 h2
(T 1  T 2 )
q' 
R1  R2  R3
h2
r2
r1
h1
T1
Tα2
Tα1
R1
R2
R3
Paredes compuestas
q' 
(T 1  T 2 )
ln( r3 r2 )
ln( r4 r3 )
1
ln( r2 r1 )
1
(
)(
)(
)
2Lr1h1
2Lk A
2Lk B
2LkC
2Lr4 h2
h2
h1
(T 1  T 2 )
q' 
R1  R2  R3  R4  R5
(T 1  T 2 )
q' 
 U1 A1 (T 1  T 2 )
 Ri
U1 
1
1
r
r
r
r 1
 1 ln( r2 r1 )  1 ln( r3 r2 )  1 ln( r4 r3 )  1
h1 k A
kB
kC
r4 h2
Referida al área interior
En general:
U1 A1  U 2 A2  U 3 A3  U 4 A4  ( Ri ) 1
EJEMPLO
 Se tiene un tubo de acero(k=60.7 W/mºK) de 48
mm de diámetro exterior y 34mm de diámetro
interior que transporta un refrigerante. La
temperatura de la pared interior del tubo es de 15ºC. Se desea que la ganancia de calor que tiene
el refrigerante a través del tubo desnudo se
reduzca en un 25%, forrando la tubería con un
aislante de conductividad térmica 0.74 W/mºK. La
temperatura del aire ambiente es de 21ºC y el
coeficiente convectivo 20 W/m2 ºK. Calcular el
espesor de aislante requerido.
Sistemas Radiales: Esfera
Consideremos la conducción
estacionaria de calor a través
de una capa esférica que
contiene. Si la temperatura
del interior de la esfera es
mayor a la temperatura
exterior, se sabe que se
pierde
calor
de
forma
continua hacia el exterior a
través de la capa de la esfera
en forma normal a su
superficie.
Sistemas Radiales: Esfera
El espesor pequeño de la capa de la
esfera hace que el gradiente de
temperatura en esa dirección sea
grande. Además, si las
temperaturas dentro y fuera de la
esfera permanecen constantes,
entonces la transferencia de calor a
través de la pared esférica se puede
considerar como
estacionaria y unidimensional.
En este caso, la temperatura de la
pared de la esfera presentara
dependencia solo en una dirección
(es decir la dirección r) y se puede
expresar como T(r).
Sistemas Radiales: Esfera
(qr )  Ctte
2
T2
r2
r1
T1
dT
q'  kA
dr
A  4r
4k (T1  T2 )
q' 
1 1

r1 r2
2
Sistemas Radiales: Esfera
(T1  T2 )
q' 
1 r1  1 r2
(
)
4k
RTC
T2
r2
r1
T1
RTC
r2  r1

4kr1r2
Sistemas Radiales: Esfera
Considerando convección
(T 1  T 2 )
q' 
1
r2  r1
1

(
)

4r12 h1
4r1r2 k
4r22 h2
(T 1  T 2 )
q' 
R1  R2  R3
h2
r2
r1
h1
T1
Tα2
Tα1
R1
R2
R3
Sistemas Radiales: Tubo
Area Media Logarítmica:
T2
k 2L(T1  T2 )
q' 
r2
ln
r1
r2
Am ln
r1
T1
L
A1  A2

A1
ln
A2
Sistemas Radiales: Esfera
Area Media Geométrica:
T2
r2
4k (T1  T2 )
q' 
1 1

r1 r2
r1
T1
AmG 
A1 A2
Sistemas con área variable
Area Media:
x
Am 
dx
A
Espesor Económico
 Obtener el coste total mínimo cuando se aísla una
pared para disminuir el flujo de calor.
 COSTOS:
 Costo de pérdida (o ganancia) de calor
 Costo del sistema de aislamiento
Coste total
CTotal  CAislamiento  CPerdida
Coste por aislamiento
Coste por perdida de energía
Espesor optimo
de aislamiento
Espesor
Espesor Económico
 Consideraciones para la selección de un aislante:
 Superficies CALIENTES -> Evitar pérdidas de calor :
 Selección de la forma física
 Temperatura lado caliente
 Conductividad térmica
 Resistencia al deterioro mecánico
 Resistencia a la absorción de humedad
 Inflamabilidad
 Eliminación y/o reutilización
 Riesgos a la salud
Espesor Económico
 Superficies FRIAS -> Evitar ganancia de calor
 Disminuir el calor que ingresa, que podría
eliminarse refrigerando la instalación ó donde
exista líquidos sometidos a su propia presión de
vapor saturado, para disminuir el incremento de su
presión
 Para impedir ó disminuir la condensación
superficial
 Para evitar que un fluido cambie de estado por
bajas temperaturas
Espesor Económico
 Consideraciones para la selección de un aislante:
 Superficies FRIAS -> Evitar ganancia de calor
 Selección de la forma física
 Temperatura de los lados frio y caliente
 Dilatación y contracción térmica
 Conductividad térmica
 Permeabilidad
 Riesgos a la salud
Criterios para elegir espesor de aislamiento
SUPERFICIE CALIENTE
 Pérdida Térmica
máxima permisible
 Espesor económico
 Razones de
seguridad
SUPERFICIE FRIA
 Máximo incremento de
calor permisible
 Espesor económico
 Limitación de la
condensación
superficial
Superficies extendidas
Superficies extendidas
 Se usan superficies extendidas o aletas con el fin de
incrementar la razón de transferencia de calor de una
superficie, aumentando el área total disponible para la
transferencia de calor.
 En el análisis de las aletas, se considera estado
estacionario sin generación de energía en la aleta y se
supone que la conductividad térmica (k) del material
permanece constante.
Superficies extendidas
Area de treansferencia
Ts
h
Ta
q'  hA(Ts  T )
Superficies extendidas
Superficies extendidas
Superficies extendidas
d
dT
h dAS
( AC
)
(T  T )  0
dx
dx
k dx
d 2T
1 dAC dT
1 h dAS
(
)
(
)(T  T )  0
2
dx
AC dx dx
AC k dx
Ecuación de energía para conducción
unidimensional en una superficie extendida.
Superficies extendidas
d 2T
1 dAC dT
1 h dAS
(
)
(
)(T  T )  0
2
dx
AC dx dx
AC k dx
Aleta con área uniforme
d 2T hP

(T  T )  0
2
dx
kAC
hP
m 
kAC
2
T  T  C1e  C2e
mx
 mx
Superficies extendidas
Condiciones frontera
Tb
d 2T hP

(T  T )  0
2
dx
kAC
T  T  C1e  C2e
mx
x
L
x=0
T=Tb
x=L
?
 mx
Condiciones frontera
 A)Extremo adiabático
T  T cosh(m( L  x))

Tb  T
cosh(mL)
Flujo de calor
q’b
dT
q'b  kAC
dx
q'b  hPkAC (Tb  T ) tanh(mL)
x 0
Efectividad de una aleta
q’b
q'b
f 
hAC (Tb  T )
Se justifica el uso de aleta si la efectividad es mayor a 2
Estudiar: Eficiencia de aletas
Ejemplo
Una aleta de cobre (k = 386 W/mºK) de 15 cm de
largo, 5 cm de ancho y 1cm. de espesor, tiene una
temperatura en la pared de 204ºC. La aleta se
encuentra en un cuarto cuya temperatura del aire
es de 21ºC. Calcule el calor perdido por la aleta,
(considerar frontera adiabática) si el coeficiente
de transferencia de calor entre su superficie y el
aire que la rodea es igual a 27,7 W/m2 ºK . Calcular
la efectividad de la aleta.