Concurso de primavera 14-15. Nivel 4 Semana VIII

Concurso de primavera 14-15. Nivel 4
PROBLEMA
Semana VIII - Soluciones
2002 - Segunda fase - no 5
15
Dos paredes de una habitación y el techo se juntan en ángulo recto en un punto P . Una mosca está en el
aire a 1 m de una pared, 8 m de la otra y a 9 m del punto P . ¿A qué distancia, en metros, está del techo?
A) 13
B) 14
C) 15
D) 4
E) 17
P
T
Q
S
R
M
Sabemos que M S = 1 m, M R = 8 m, y que M P = 9 m.
Y queremos calcular M T = P Q.
En el triángulo rectángulo M QR tenemos M R = 8, QR = M S = 1, luego:
MQ =
√
√
82 + 12 = 65
En el triángulo rectángulo M QP , tenemos: M Q =
PQ =
√
√
81 − 65 = 16 = 4
Luego: M T = P Q = 4 m.
√
65, M P = 9, luego:
Concurso de primavera 14-15. Nivel 4
PROBLEMA
Semana VIII - Soluciones
2012 - Segunda fase - no 21
16
Si la base del rectángulo mide 4 y la altura 2, ¿cuál es el área de la región
sombreada limitada por dos semicircunferencias?
√
4π
−2 3
3
√
2π
E)
+2 3
3
√
4π
+2 3
3
√
8π
D)
+2 3
3
B)
A)
C)
√
8π
−2 3
3
Tracemos el segmento que une los centros de las dos semicircunferencias.
El área pedida, S, es igual a dos veces el área, S1 , de cada una de las dos mitades:
S1
S
Pero el área de S1 , podemos calcularla sumando el área de dos sectores circulares de radio 2, menos el área
de un triángulo equilátero de lado 2:
S1
=
S2
+
S2
−
S3
Pero la amplitud de los sectores es 60o , con lo que el área de cada sector es: S2 =
El área de los dos sectores es, pues: 2S2 =
π · 22
2π
=
6
3
4π
.
3
La altura del triángulo equilátero de lado 2, se calcula aplicando el teorema de Pitágoras:
h
2
h=
√
22 − 12 =
√
3
1
√
√
1
Y el área del triángulo equilátero de lado 2 es: S3 = · 2 · 3 = 3
2
√
8π
4p √
El área es S = 2 ·
− 3 =
−2 3
3
3