PRINCIPIO DE INDUCCION, SUMATORIA

MATERIAS
:
PRINCIPIO DE INDUCCIÓN COMPLETA,
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PRINCIPIO DE INDUCCION COMPLETA
Sea T Ð8 Ñ una proposición abierta. Diremos que T Ð8Ñ es verdadera a 8 −  ssi:
a)
b)
T Ð " Ñ es verdadera.
Si T Ð 5 Ñ ´ Z Ê T Ð 5  " Ñ ´ Z ß entonces
T Ð8Ñ ´ Z
a8 − 
Ejercicio resuelto:
1)
Pruebe usando inducción sobre 8 que T Ð 8 Ñ À -9= Ð 81 Ñ œ Ð  "Ñ 8
Solución:
a)
Para 8 œ "
¾ T Ð"Ñ ´ Z
-9= 1 œ Ð  "Ñ " œ "
b)
Sea válida para 8 œ 5ß es decir
-9= Ð 5 1 Ñ œ Ð  "Ñ 5
Este supuesto se conoce como Hipótesis de Inducción.
c)
Por demostrar que T Ð 5  " Ñ ´ Z es decir, -9= Ð Ð5  "Ñ1 Ñ œ Ð  "Ñ5"
-9= Ð Ð5  "Ñ1 Ñ œ -9= Ð 5 1  1Ñ œ -9= Ð 5 1Ñ -9= Ð1Ñ  =/8Ð5 1Ñ =/8 1
œ Ð  "Ñ5 † Ð  "Ñ  ! œ Ð  " Ñ5"
¾ -9= Ð Ð5  "Ñ1 Ñ œ Ð  " Ñ5"
¾ T Ð5  "Ñ ´ Z
2)
Demuestre que si 8 es cualquier número natural, entonces
X Ð8Ñ œ
"
$
† Ð 8$  #8 Ñ es un número entero.
a)
Pra 8 œ "
b)
c)
Sea válida para 8 œ 5ß es decir X Ð 5 Ñ œ
Por demostrar que X Ð 5  " Ñ ´ Z
X Ð"Ñ œ
¾ X Ð"Ñ ´ Z
"
$
$
$
† Ð "$  # † " Ñ œ
"
$
œ" −™
† Ð 5 $  #5 Ñ es un número entero
X Ð 5  " Ñ œ "$ † Ð Ð5  "Ñ$  #Ð5  "Ñ Ñ
œ "$ † Ð 5 $  $5 #  $5  "  #5  # Ñ
œ "$ † Ð 5 $  #5 Ñ  "$ † Ð $5 #  $5  $ Ñ
œ "$ † Ð 5 $  #5 Ñ  Ð 5 #  5  " Ñ
como 5 −  Ê Ð 5 #  5  " Ñ − 
¾
3)
"
$
† Ð 5 $  #5 Ñ  Ð 5 #  5  " Ñ − ™ ;Þ/Þ.Þ
Pruebe usando inducción sobre 8 que
T Ð 8 Ñ ³ "#  ##  $#  ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ8# œ
Sol:
+Ñ
,Ñ
T Ð" Ñ ³ "# œ "†#†$
' œ"
¾
T Ð"Ñ ´ Z
Hipótesis de Inducción
T Ð 5 Ñ ³ "#  ##  $#  ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ5 # œ
-Ñ
8†Ð 8" цР#8" Ñ
'
Por demostrar que T Ð 5  " Ñ ´ Z ß es decir
5†Ð 5" цР#5" Ñ
'
T Ð5  "Ñ œ
Ð 5" цР5# цÐ#5$ Ñ
'
T Ð 5  " Ñ ³ "#  ##  $#  ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ5 #  Ð 5  " Ñ # œ
œ
œ
œ
œ
5†Ð 5" цР#5" Ñ
 Ð 5  " Ñ#
'
Ð 5" Ñ
† Ð 5 Ð#5  "Ñ  'Ð 5  "ÑÑ
'
Ð 5" Ñ
Ð 5" Ñ
† Ð #5 #  5  '5  'ÑÑ œ ' † Ð #5 #  (5
'
Ð 5" Ñ
Ð 5" цР5# цÐ#5$ Ñ
† Ð5  #Ñ † Ð#5  $ Ñ œ
'
'
 'ÑÑ
;Þ/Þ.Þ
Ejercicios propuestos:
Demuestre usando induccion que:
"Þ 
Todos los números de la forma T Ð8Ñ À ##8"  *8#  $8  # ß 8 −  son
divisibles por 54.
#Þ 
Todos los números de la forma T Ð8Ñ À $%8#  &#8" ß 8 −  son divisibles por
54.
$Þ 
B8  C8 ß es divisible por Ð B  C Ñ
%Þ 
" † #  # † $  $ † %  ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ  8 † Ð 8  " Ñ œ
&Þ 
El producto de tres números consecutivos es divisible por 6.
'Þ 
Todos los números de la forma T Ð8Ñ À $#8%  ##8 ß 8 −  son
divisibles por 5.
(Þ 
Todos los números de la forma T Ð8Ñ À &#8  ( ß 8 −  son divisibles por ).
)Þ 
"  %  (  ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÐ $8  # Ñ œ
*Þ 
8
&  *  "$  ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ %8#"" œ #8"
ß8 − 
"!Þ  $8 #8  "ß 8 − 
8 Ð $8" Ñ
ß
#
8−
8†Ð 8" цР8# Ñ
$