elipse - Matemática II

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ITAPÚA
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y ADMINISTRATIVAS
Ingeniería Comercial
Matemática II
Clase Nº 6
ELIPSE
DEFINICIÓN
Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un
plano, tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos
llamados focos, siempre es constante. A esta longitud constante
se le denomina eje mayor. Pueden ser con el eje mayor paralelo al eje “x”, paralelo al eje “y” o bien
oblicuo.
Centro
Como su nombre lo indica, es el
punto central de la elipse y es
donde
se
intersecan
los
ejes
mayor y menor.
Focos
Son dos puntos localizados sobre el Eje mayor, no son arbitrarios y entre más parecida
sea una elipse a una circunferencia, la distancia entre ellos se reduce. Si dicha distancia
es cero, entonces la curva es una circunferencia (F y F')
Eje mayor
Segmento de recta localizado entre los vértices de la Elipse. Su longitud equivale a la
suma de la distancia de cada foco a un punto cualquiera de la elipse, lo que da pauta a la
definición de este lugar geométrico. (
)
Eje Menor
Segmento de recta perpendicular al eje mayor y sus extremos se localizan sobre la
elipse. Su valor es necesario como dato para poder obtener la ecuación de la hipérbola.
)
Lado Recto
Segmento de recta perpendicular al eje mayor, contiene a un foco (cualquiera de los dos)
y sus extremos se localizan sobre la elipse. La longitud del lado recto se denomina ancho
focal.
María Teresa Szostak
(
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Vértices
Puntos extremos del eje mayor. Algunos autores también denominan como vértices a los
extremos del eje menor aunque no es muy utilizado. A, A', B y B'.
Excentricidad
Es una cantidad constante para cada elipse, se interpreta como una medida de qué tan
“achatada” es la elipse.
Ejes de simetría Son las rectas que
contienen al eje mayor o al eje menor.
Relación entre la distancia focal y los
semiejes
FÓRMULAS
Las coordenadas de los focos son:
Las coordenadas de los focos son:
F'(-c ; 0) y F(c ; 0)
F'(0 ; -c) y F(0 ; c)
Si el centro de la elipse C(x0 ; y0) y el eje
principal es paralelo a OX, los focos tienen de
coordenadas F(x0+c ; y0) y F'(x0−c ; y0). Y
la ecuación de la elipse será:
)
(
)
Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuación de la forma
María Teresa Szostak
(
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Clase Nº 6
Si el centro de la elipse C(x0 ; y0) y el eje
principal es paralelo a OY, los focos tienen de
coordenadas F(x0 ; y+c) y F'(x0 ; y0−c). Y la
ecuación de la elipse será:
(
)
(
)
Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una
ecuación de la forma: nn
Excentricidad
Lado recto:
Ejercicios
1) Halla los elementos característicos y la ecuación de la elipse de focos: F'(-3,0) y F(3,
0), y su eje mayor mide 10.
2) Dada la ecuación reducida de la elipse
, halla las coordenadas de los vértices
de los focos y la excentricidad.
4) Dada la elipse de ecuación,
(
)
(
)
halla su centro, semiejes, vértices y
focos.
5) Determina la ecuación reducida de una elipse sabiendo que uno de los vértices dista 8
de un foco y 18 del otro.
María Teresa Szostak
3) Halla la ecuación de la elipse de foco F(7, 2), de vértice A(9, 2) y de centro C(4, 2).
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6) Halla la ecuación reducida de una elipse sabiendo que pasa por el punto (0, 4) y su
excentricidad es 3/5.
7) Escribe la ecuación reducida de la elipse que pasa por el punto (2, 1) y cuyo eje
menor mide 4.
8) La distancia focal de una elipse es 4. Un punto de la elipse dista de sus focos 2 y 6,
respectivamente. Calcular la ecuación reducida de dicha elipse.
9) Halla la ecuación de la elipse de centro (3 ; 2), focos sobre una recta paralela al eje de
ordenadas y la distancia entre dichos focos es igual a 12 unidades, se sabe además
que el eje mayor es igual a 14 unidades.
10) Halla la ecuación de la elipse de centro en el origen y focos en el eje de abscisas,
distancia focal igual a 12 unidades y la suma de sus semi ejes igual a 18 unidades.
11) Halla las coordenadas de los puntos de la elipse 9 x2 + 25 y2 = 225 que distan 7,4
unidades del foco de abscisa negativa.
12) Dada la ecuación de la elipse
Halla todos sus
elementos.
13) Halla las ecuaciones de las elipses, cuyos elementos son los siguientes:
a) Focos (2 ; 3); (-1 ; 4) y la longitud del eje mayor es 4
b) Las longitudes de los ejes son 5 y 4 y están situados sobre las rectas
y
c) Focos: F(5 ; 4); F’(-1 ; 4) y el lado recto
e) Vértices A(8 ; 5); A’(-4 ; 5) y el lado recto 3.
María Teresa Szostak
d) Vértices A(7 ; -2); A’(-5 ; -2) y
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