µ µ µ µ λ λ λ λ µ λ µλ µ λ µ λ µ λ µ λ λ λ µ λ µ λ µλ µ λ

Matemáticas II
Junio 2007
Problema 2.1. Dadas las dos rectas r y s, que se cortan, de ecuaciones
r:
x − 1 2 y − 1 2z − 3
=
=
2
−6
6
y
s:
x − 3 2y + 3 z −1
=
=
−2
2
4
, se pide calcular:
a) El punto P de corte de las rectas r y s. (1,1 puntos).
b) Un vector direccional de r y otro de s , (0,5 puntos), y el ángulo α que forman las rectas r y s en
el punto de corte P. (0,6 puntos).
c) La ecuación implícita a x + b y + c z + d = 0 del plano π que contiene a las rectas r y s (1,1 puntos).
Solución:
a) Escribimos las ecuaciones paramétricas de r y s.
r:
x − 1 2 y − 1 2z − 3
=
=
2
−6
6
1
3
y−
z−
x −1
2=
2
r:
=
2
3
−3
s:
s:

 x = 1 + 2λ

1

→ r :  y = − 3λ λ ∈ ℜ
2

3

 z = 2 + 3λ
x − 3 2y + 3 z −1
=
=
−2
2
4
x−3
=
−2
 x = 3 − 2µ
3

2 = z −1 → s : y = − 3 + µ

2
4
2

 z = 1 + 4 µ
y+
µ ∈ℜ
Punto de corte entre r y s,

1 + 2λ = 3 − 2 µ

3
1
 − 3λ = − + µ
2
2
3
 2 + 3λ = 1 + 4 µ

 2λ + 2 µ = 2

→ − 3λ − µ = −2

1
3λ − 4 µ = −
2

Como en la matriz de coeficiente el menor
El determinante de la
matriz ampliada de
este sistema es
2
2
− 3 −1
 2λ + 2 µ = 2
2λ + 2 µ = 2
→


2 x 2 ª  − 6λ − 2 µ = − 4
− 3λ − µ = −2
− 4λ = − 2 → λ =
1

x = 1 + 2 2 = 2

1
1

 y = − 3 = −1
2
2

3
1

 z = 2 + 3 2 = 3
→ P(2, − 1, 3)
−2 1
=
−4 2
2
2
− 3 − 1 − 2 = 1 + 24 − 12 + 6 − 16 − 3 = 0
3 − 4 −1
2
= −2 + 6 = 4 ≠ 0
Las rectas se cortan en,
El punto de corte será,
2
el sistema tiene solución única.
b)
vr = (2, − 3, − 3)
y
vs = (−2, 1, 4 )
∧
siendo α = (r , s ) → cos α =
vr . vs
(2, − 3, − 3) . (−2, 1, 4 )
=
2 2 + ( − 3) 2 + 3 2
vr vs
=
5
=
22 21
5
462
luego α = 76´548...º ≈ 76´55 º
c)
 punto P(2, − 1, 3)

vr = (2, − 3, − 3)
Del plano π conocemos 
vectores
directores

vs = (−2, 1, 4)

la ecuación del plano será,
x−2
2
−2
y +1 − 3
z −3 3
( x − 2)
1 =0
4
−3 1
3
4
− ( y + 1)
2 −2
3
4
+ ( z − 3)
2
−2
−3
1
=0
( x − 2)(−12 − 3) − ( y + 1)(8 + 6) + ( z − 3)(2 − 6) = 0
− 15( x − 2) − 14( y + 1) − 4( z − 3) = 0
− 15 x + 30 − 14 y − 14 − 4 z + 12 = 0
− 15 x − 14 y − 4 z + 28 = 0
15 x + 14 y + 4 z − 28 = 0 esta es la ecuación del plano π
(−2) 2 + 12 + 4 2
=
− 4 − 3 + 12
4+9+9
4 + 1 + 16
=