Problemas de álgebra moderna I

Problemas de álgebra moderna I
Arnoldo Teherán Herrera
[email protected]
Escuela de matemáticas
Universidad Industrial de Santander
II - 2009
Capítulo 1
Grupos
1.1.
Operaciones binarias
1. Fraleigh, página 15, problemas: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.6, 1.7, 1.9, 1.10.
2. Determine cúales de las siguientes operaciones
son leyes de composición interna, para
aquellas que lo sean, determinar si es asociativa, conmutativa,si tiene neutro y en caso
de tenerlo determine cuales elementos tienen inverso.
2.1 En Z
Z : (a; b) (c; d) = (ac + 2bd; ad + bc)
2.2 En Z : a b = a
2.3 En Z : a b = b
2.3 En R : a b = a
b
2.4 La multiplicación usual en G = f1; 1; 0g
2.5 En R : a b = a + b
ab
2.6 En R : a b = a + b + ab
2.7 En R f0g : a b = a2 b
2.8 En Z+ : a b = mcd (a; b)
2.9 En Z+ : a b = mcm (a; b)
2.10 En } (X) el conjunto partes de X, donde X es un conjunto:
a. A B = A [ B
b. A B = A \ B
1
c. A B = A
B
d. A B = A B, donde
indica la diferencia simétrica.
e. En R : a b = max fa; bg
f. En R : a b = min fa; bg
g. En S =
m
n
: m; n 2 Z; n 6= 0 y n divisible por 5 , a b = a + b.
3. Construir todas las posibles tablas para operaciones binarias en el conjunto A = fa; bg.
¿cuales tienen elemento identidad?, ¿cuales representan operaciones conmutativas?.
4. ¿Cuantas operaciones binarias se pueden de…nir en A = fa; b; cg?, ¿cuantas de las anteriores
pueden representar operaciones binarias conmutativas?, ¿cuantas pueden representar
operaciones binarias conmutativas, con elemento identidad a?.
5. ¿Cuantas operaciones binarias pueden de…nirse en un conjunto con n elementos?, ¿cuantas
de estas operaciones binarias son conmutativas?.
6. Sea G es un conjunto con una operación binaria .
6.1 Si
tiene elemento neutro e 2 G, probar que e es invertible y e es su propio inverso.
6.2 Si e1 ; e2 2 G son elementos neutros de
en G a izquierda y derecha respectivamente,
probar que e1 = e2 .
6.3 Si G es un monoide, probar que todo elemento invertible es cancelable.
6.4 Si G es un monoide con elemento neutro e y x 2 G tiene inversos a; b a izquierda y
derecha respectivamente. Probar que a = b.
7. Sea S un conjunto no vacio con una operación binaria
tal que para cada a; b 2 S :
a b = a;
a b = b a.
Probar que S tiene un único elemento.
1.2.
Grupos
8. Fraleigh, página 26, problemas: 2.1, 2.5, 2.7, 2.8, 2.9, 2.10, 2.11, 2.12, 2.13, 2.14, 2.15.
2