x I i x =

Diplomatura de Ciencias Empresariales. Estadística Económica. Sara Mateo.
Números Índices
Introducción: Una de las principales tareas de la estadística es el
análisis de variables, tanto consideradas individualmente como en
conjunto, para ello hemos definido una serie de estadísticos, y será
interesante complementarlos con otros que pudieran establecer
comparaciones; cuestión que se puede abordar de distintas formas,
bien mediante diferencias o de cocientes, teniendo esta última la
ventaja de eliminar el problema de las unidades de medida.
Definición: Es la medida estadística que compara dos situaciones de
una misma variable, permitiendo estudiar su evolución, las
situaciones suelen ser momentos de tiempo, que es a lo que
generalmente nos vamos a referir, sin menoscabo de que pueden ser
estudiadas otras.
Al periodo que se toma como base o inicial se denominará Periodo de
referencia o base y al comparado se denomina Periodo corriente o
actual.
Números Índices simples: Esta medida estadística es una razón
(cociente) entre las dos situaciones, el periodo actual dividido por el
periodo de referencia.
Conviene fijarse en la forma de denotarlos, para mejor comprensión a la
hora de las propiedades.
VariableEstudiada = X i
PeriodoBASE = xi 0
I 0t ( i ) =
PeriodoCorriente = xit
xit
xi 0
Formalmente para su exposición, se dará en tantos por ciento,
por lo que el resultado final se deberá multiplicar por 100.
I 0t ( i ) =
xit
× 100
xi 0
Propiedades de los números Índices:
Existencia, Unicidad y Determinación: El resultado ha de existir
y ser único, ha de ser un valor finito no nulo.
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Identidad: La comparación de un periodo con él mismo da
siempre como resultado la unidad.
Inversión:
1
I = t
I0
0
t
⇔ I × I =1
t
0
0
t
xi 0
x x
1
=
⇔ it × i 0 = 1
xit
xit
xi 0 xit
xi 0
Circular:
I 0t × I tt ' × I tt''' × I tt''''' × I t0''' = 1
xit xit ' xit '' xit ''' xi 0
× ×
×
×
=1
xi 0 xit xit ' xit '' xit '''
Cíclica o circular modificada:
1
I × I × I × I = 0 = I 0t '''
I t '''
t
0
t'
t
t ''
t'
t '''
t ''
xit xit ' xit '' xit ''' xit '''
× ×
×
=
xi 0 xit xit ' xit '' xi 0
Proporcionalidad:
xit ' (1 ± k ) xit
x
=
= (1 ± k ) it
xi 0
xi 0
xi 0
Si xit ' = xit ± kxit = (1 ± k ) xit
Si xit ' = xit ± kxit
⇒
I 0t ' = (1 ± k ) I 0t
Enlace y cambio de base (evita la pérdida de representatividad de
los índices al alejarnos del periodo base)
I 0i h I 0i
i
Ih =
Ih =
I 0h
I 0h
I 0h Enlace técnico entre las dos series
Ejemplos de índices simples:
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p0t =
pit
× 100
pi 0
Índice Cantidad relativa: q0t =
qit
× 100
qi 0
Índice Precio relativo:
Índice Valor relativo:
 p  q 
V
pq
V0t = it × 100 = it it × 100 =  it  it  × 100 = p0t q0t × 100
Vi 0
pi 0 qi 0
 pi 0   qi 0 
Índices complejos o compuestos no ponderados:
Índice media aritmética de índices simples:
N
N
I =
∑ Ii
i =1
N
P=
N
pit
∑p
i =1
i0
N
× 100
Q=
qit
∑q
i =1
N
i0
× 100
Índice media geométrica de índices simples:
N
IG = N ∏ Ii
i =1
Índice media armónica de índices simples:
IH =
N
N
1
i =1
i
∑I
Índice media agregativa
(Bradstreet-Dutot)
N
N
xit
xit
∑
∑
N
I A = iN=1
= iN=1
xi 0
xi 0
∑
∑
i =1 N
i =1
Índices complejos o compuestos ponderados:
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Índice media aritmética ponderado:
N
I
∗
∑I w
=
∑w
i =1
i
i
i
Índice media geométrica ponderado:
N
I ∗G = ∑ wi ∏ I iwi
i =1
Índice media armónica ponderada:
I H∗ =
∑w
w
∑I
i
i
i
Índice media agregativa ponderado:
N
∗
A
I =
∑x w
i =1
N
it
i
i0
wi
∑x
i =1
Índices en cadena:
Cuando durante un periodo de tiempo, establecemos los
sucesivos índices resultantes de comparar cada periodo, tomado
como actual, con el anterior, tomado como base, obtendremos una
cadena de índices; que si se utiliza la propiedad cíclica se podrá
determinar todos los índices con respecto a un inicial tomado como
base.
Pt t + k = Pt t +1 × Pt t++12 × Pt t++23 × ... × Pt t++kk−1
Índices complejos de precios no ponderados:
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pit
SP =
Índice de Sauerbeck
∑p
i0
N
Propiedades: Existencia, Identidad, Proporcionalidad.
BDP =
Índice de Bradstreet-Dûdot
∑p
∑p
it
i0
Propiedades: Existencia, Identidad, Inversión, Proporcionalidad.
Índices complejos de precios ponderados:
Índice de Laspeyres:
Criterio de ponderación: wi = pi 0 × qi 0
Lp
∑I w
=
∑w
i
i
i
pit
∑p ×p
=
∑p q
q
i0 i0
=
i0
i0 i0
∑p q
∑p q
it i 0
i0 i0
Propiedades: Existencia, Identidad, Proporcionalidad.
Índice de Paasche:
Criterio de ponderación:
Pp
∑I w
=
∑w
i
i
i
Propiedades: Existencia,
objeción económica)
wi = pi 0 × qit
pit
∑p ×p
=
∑p q
q
i 0 it
i0
i 0 it
Identidad,
=
∑p q
∑p q
i 0 it
Proporcionalidad
Índice de Fisher:
Media geométrica de los dos anteriores.
Fp = Lp × Pp
it it
(con
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Propiedades: Existencia, Identidad, Inversión, Proporcionalidad
(con objeción económica)
Índice de Edgeworth:
wi = qi 0 + qit
Criterio de ponderación:
E p ==
∑ p (q + q )
∑(q + q )
it
i0
it
i0
it
Propiedades: Existencia, Identidad, Inversión, Proporcionalidad
(con objeción económica)
Índices cuánticos o de producción:
Para estudiar la evolución de la producción, a continuación se detallan
los más usuales.
Índice cuántico de Laspeyres:
Lq
∑I w
=
∑w
i
i
i
qit
∑ q ×q
=
∑q p
pi 0
i0
=
i0
i0
i0
∑q
∑q
it
pi 0
i0
pi 0
∑q
∑q
it
pit
i0
pit
Índice cuántico de Paasche:
Pq
∑I w
=
∑w
i
i
i
qit
∑ q ×q
=
∑q p
i0
i0
i0
it
pit
=
Índice cuántico de Fisher:
Fq = Lq × Pq
Deflactación de series estadísticas:
Precios constantes: Los precios que rigen en el periodo
estudiado.
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Precios corrientes: Los precios de cada periodo.
Deflactación:
constante.
El paso de moneda corriente a moneda
Deflactor:
Índice
determinado
para
deflactación. Usualmente Laspeyres y Paasche.
efectuar
la
Ejecución:
Se conoce el valor actual de una magnitud compleja a precios
corrientes.
Vt = ∑ pit qit
En primer lugar utilizaremos como DEFLACTOR el índice de
Laspeyres.
Vt
=
Lp
∑p q
∑p q
∑p q
it it
= ∑ pi 0 qi 0 ×
it i 0
∑p q
∑p q
= V0 ×
it it
it i 0
∑q
∑q
it
pit
i0
pit
= V0 × Pq
i0 i0
Aunque se utiliza con frecuencia por disponer fácilmente de él,
se denota que no pasa de valores de moneda corriente a moneda
constante. Cuestión que no sucede en el caso siguiente.
Usando como deflactor el índice de Paasche:
Vt
=
Pp
∑p q
∑p q
∑p q
it it
it it
= ∑ pi 0 qit ×
∑p q
∑p q
it it
= ∑ pi 0 qit = Vt R
it it
i 0 it
Repercusión y Participación: Índice de Laspeyres.
La Repercusión de la variación de una componente dada en el
índice general (válido para cada una de las componentes) viene
determinada por la fórmula:
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ℜi =
∆pit × qi 0
∑ pi 0qi 0
Designando por ∆pit a la variación de pit .
La variación total del índice ha de ser igual a la suma de todas las
repercusiones.
Al porcentaje que representa una componente dada en la
variación del índice general, se conoce como Participación, y viene
determinado por la fórmula:
∆pit × qi 0
∑ pit qi 0 ×100 = ∆pit × qi 0 ×100
Ρi =
∑ ∆pit × qi 0
∑ ∆pit × qi 0
∑ pit qi 0