Guión

Métodos Estadı́sticos de la Ingenierı́a
Práctica 7: Contrastes de Hipótesis paramétricos y no paramétricos
Área de Estadı́stica e Investigación Operativa
Mariano Amo Salas y Licesio J. Rodrı́guez-Aragón
Mayo 2010
Contenidos Práctica 7 . . . . . . . . . . .
Contrastes de Hipótesis . . . . . . . . . .
Contraste para dos proporciones. . . . .
Contrastes unilaterales . . . . . . . . . . .
Contraste de dos medias . . . . . . . . . .
Ejemplo:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Contraste para muestras relacionadas .
Contraste χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kolmogorov-Smirnov . . . . . . . . . . . .
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Contenidos Práctica 7
Contrastes de Hipótesis para dos proporciones.
Contrastes de Hipótesis para dos medias.
Contraste para muestras relacionadas.
Contraste χ2 .
Contraste Kolmogorov-Smirnov.
Ejercicios.
Métodos Estadı́sticos de la Ingenierı́a
Práctica 7 – 2 / 11
Contrastes de Hipótesis
En la práctica anterior los contrastes de hipótesis comparaban la muestra con un valor asumido para
la población.
Este procedimiento comprueba si la muestra nos permite detectar diferencias significativas que nos
lleven a rechazar la hipótesis nula H0 , o si por el contrario no nos lo permite.
Esto implica el tener algún tipo de información acerca de la población.
En muchas situaciones lo que necesitaremos será comparar dos parámetros: 2 proporciones o medias.
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Práctica 7 – 3 / 11
2
Contraste para dos proporciones
Ejemplo:
Un vendedor de teléfonos ha vendido 150 teléfonos de la marca 1 y ha tenido que tramitar fallos en
perı́odo de garantı́a a 14 de ellos. Al mismo tiempo ha vendido 125 teléfonos de la marca 2 habiendo
tramitado un total de 15 fallos en perı́odo de garantı́a.
¿Hay una evidencia estadı́stica que nos permita asegurar que el porcentaje de fallos para ambas
marcas es distinto?
En este caso consideraremos p̂1 la proporción de teléfonos con fallo del fabricante 1 y p̂2 del fabricante
2.
El contraste que desearı́amos poder realizar serı́a:
H 0 : p1 = p2
H1 : p1 6= p2
Este contraste puede interpretarse de la forma:
H 0 : p1 − p2 = 0
H1 : p1 − p2 6= 0
Entonces el estadı́stico:
p̂1 − p̂2
Z=q
p̂(1 − p̂)( n11 +
1
n2 )
,
para valores de n1 y n2 suficientemente grandes, Z sigue una distribución normal estándar N (0, 1).
Siendo p̂ la proporción bajo la hipótesis nula, p1 = p2 = p,
p̂ =
n1 pˆ1 + n2 pˆ2
.
n1 + n2
El contraste en R se realizará con la instrucción:
>prop.test(prop,n,alt="two.sided")
En nuestro caso:
>prop<-c(14,15)
>n<-c(150,125)
>prop.test(prop,n,alt="two.sided")
El p-valor nos indica la probabilidad de obtener un valor del estadı́stico Z como el obtenido,
condicionado a la ocurrencia de H0 .
Rechazaremos la hipótesis nula para valores
p < 0.05.
Además el comando de R nos proporciona un intervalo de confianza al 95% para la diferencia de
ambas proporciones p1 − p2 .
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Práctica 7 – 4 / 11
3
Contrastes unilaterales
En algunos casos, interesa contrastar las hipótesis:
H 0 : p1 ≤ p2
H 1 : p1 > p2
especificando la hipótesis alternativa alt="greater",
o bien:
H 0 : p1 ≥ p2
H 1 : p1 < p2
especificando alt="less".
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Práctica 7 – 5 / 11
4
Contraste de dos medias
Sean Xi , i = 1, . . . , nx e Yj , j = 1, . . . , ny muestras aleatorias de dos poblaciones.
Si deseamos contrastar la igualdad de ambas poblaciones podremos plantear el contraste de hipótesis,
H 0 : µx = µy
H1 : µx 6= µy
Si las dos muestras son independientes, entonces las medias muestrales X̄ y Ȳ son estimadores de µx
y de µy . El estadı́stico T que se construye en este caso sigue una distribución t-de student.
>t.test(x,y,alt="two.sided")
El contraste de hipótesis respecto a la igualdad de medias de dos poblaciones, considera por defecto
que las varianzas de ambas poblaciones son distintas.
Si tenemos pruebas suficientes para considerar que las varianzas de ambas poblaciones son iguales:
>t.test(x,y,alt="two.sided",var.equal=TRUE)
El contraste puede ser también unilateral, considerando como hipótesis alternativas:
H1 : µ1 > µ2 , alt="greater", o,
H1 : µ1 < µ2 , alt="less".
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Práctica 7 – 6 / 11
Ejemplo:
El fichero azt.Rdata contiene los niveles del antı́geno p24 en sangre para individuos tratados con el
medicamento AZT en dosis de 300mg o 600mg. ¿Existen diferencias significativas en la respuesta a
estas dosis de medicamento?
>load("azt.Rdata")
>boxplot(azt)
>t.test(azt$d300mg,azt$d600mg,alt="two.sided")
Influye el hecho de conocer que la varianza ha de ser igual para ambas poblaciones?
var.test(azt$d300mg,azt$d600mg)
>t.test(azt$d300mg,azt$d600mg,alt="two.sided",
+ var.equal=TRUE)
>wilcox.test(azt$d300mg,azt$d600mg,alt="two.sided")
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Práctica 7 – 7 / 11
5
Contraste para muestras relacionadas
En determinados casos las dos muestras que queremos comparar están relacionadas de alguna manera.
El fichero pinzas.Rdata contiene el número de piezas que han roto 9 brazos robóticos durante una
semana de trabajo. Además contiene el número de piezas que rompieron esos mismo 9 brazos después
de haber recubierto las pinzas con una capa de goma antideslizante.
El contraste de hipótesis en este caso:
H 0 : µ1 = µ2
H1 : µ1 6= µ2
>t.test(pinzas$antes,pinzas$despues,
+ paired=TRUE,alt="two.sided")
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Práctica 7 – 8 / 11
Contraste χ2
Para los casos de variables categóricas, hemos visto cómo resumir los datos en una tabla de
contingencia.
El contraste χ2 nos permite contrastar la independencia o dependencia de dos variables categóricas.
H0 : Las variables son independientes
H1 : Las variables no son independientes
El fichero controlc.Rdata contiene el resultado del proceso de control de calidad de 100 piezas
(correcto o defectuoso). Estas piezas pueden haber sido fabricadas por 3 máquinas diferentes.
¿Hay alguna relación entre la calidad y la máquina que ha fabricado el producto?
>load("controlc.Rdata")
>contingencia<-table(controlc)
>addmargins(contingencia)
El contraste χ2 nos permite decidir acerca de la independencia de las variables:
>chisq.test(contingencia) o
>chisq.test(controlc$calidad,
+ controlc$fabricante)
Para p-valores < 0.05 diremos que el contraste es significativo y no podremos asegurar la
independencia de las variables.
El contraste χ2 también sirve para determinar la homogeneidad,
H0 : Las muestras provienen de la misma población
H1 : Las muestras provienen de poblaciones distintas
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Práctica 7 – 9 / 11
6
Kolmogorov-Smirnov
El contraste de Kolmogorov-Smirnov nos permite comprobar si una muestra sigue o no una
distribución empı́rica determinada:
H0 : Fmuestral = Fempirica
H1 : Fmuestral 6= Fempirica
>ks.test(x,"nombre",mean=..,sd=..)
Donde nombre es la función de densidad de la distribución empı́rica a comprobar: pnorm, punif, pexp,
pt, etc.
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Práctica 7 – 10 / 11
Ejercicios
Ejercicio 7.1: El fichero azt.Rdata contiene los niveles del antı́geno p24 en sangre para individuos
tratados con el medicamento AZT en dosis de 300mg o 600mg.
Ejercicio 7.2: El fichero pinzas.Rdata contiene el número de piezas que han roto 9 brazos robóticos
durante una semana de trabajo. Además contiene el número de piezas que rompieron esos mismo 9
brazos después de haber recubierto las pinzas con una capa de goma antideslizante.
Ejercicio 7.3: El fichero Contaminacion.Rdata contiene una tabla de contingencia, en ella aparecen
clasificadas una serie de medidas de la concentración de ozono, clasificadas por la temperatura
ambiental a la que fueron tomadas.
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Práctica 7 – 11 / 11
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