6. Corrientes ageostróficas y transporte de Ekman

Oceanografía Dinámica
6. Corrientes ageostróficas y transporte de Ekman
La circulación oceánica se encuentra siempre cerca al equilibrio geostrófico. No obstante,
existen otras contribuciones al flujo, colectivamente referidas como corrientes ageostróficas,
que se definen por la diferencia entre el flujo real y el geostrófico
u=ug +u ag
v =v g+v ag
(6.1)
Las contribuciones ageostróficas (uag, vag) están asociadas a la fricción y a aceleraciones
locales. La contribución mas importante es debido a la aceleración generada en las fronteras,
ya sea debido al esfuerzo de los vientos en superficie, o la fricción con el fondo del mar.
6.1 Corrientes inerciales
¿Cual es la respuesta del océano a un impulso dado por los vientos? Supongamos que un
viento fuerte ejerce un impulso sobre el océano por unas horas y luego se detiene (por
ejemplo con el pasaje de una tormenta). ¿Cuales son las corrientes resultantes? Al finalizar
los vientos el agua se seguirá moviendo debido a la inercia bajo la acción de Coriolis y de la
gravedad. Las corrientes resultantes se denominan inerciales. Si la Tierra no girara los
movimientos serían rectilíneos, pero Coriolis modifica esta solución.
Asumiendo un flujo horizontal y sin fricción las ecuaciones de movimiento se reducen a:
du
=fv
dt
dv
=−fu
dt
(6.2)
Despejando u y sustituyendo en la primera ecuación se obtiene
2
d v 2
+ f v=0
dt 2
(6.3)
que es la ecuación de un oscilador harmónico y cuya solución tiene la forma
u=V sin ft
v =Vcos ft
V 2=u2 + v 2
(6.4)
Como u=dx/dt y v=dy/dt, es posible integrar para obtener la trayectoria de la parcela de
fluido
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V
cos ft
f
V
y= y 0+ sin ft
f
x=x 0−
(6.5)
donde x0 y y0 son constantes de integración. Por lo tanto
( x−x 0)2 +( y− y 0 )2=
V2
2
f
(6.6)
Por lo tanto, las parcelas de fluido describen un círculo de radio V/f centrado en (x0,y0) y
período T=2π/f llamado período inercial. Notar que el período solamente depende de la
ubicación geográfica (latitud) y no de la intensidad del viento inicial. La direccion de rotación
está dada por f . En el H.S Coriolis tiende a torcer la trayectoria hacia la izquierda. Entonces
una parcela de fluido que inicialmente es impulsada por los vientos hacia el norte es desviada
hacia el oeste, y luego hacia el sur, y así sucesivamente hasta describir un giro en sentido
antihorario; en el H.N. el giro es horario (figura 6.1).
Por otro lado, la velocidad V no cambia en el tiempo y está únicamente determinada por las
condiciones iniciales (impulso del viento).
Figura 6.1 – Movimiento inercial.
Notemos que la rotación de la parcela de fluido no es simplemente el negativo de la rotación
ambiente de tal forma de mantener a la parcela fija en un sistema absoluto de referencia. Esto
no es así pues el centro de rotacion de la parcela es arbitratio y no coincide con el eje de
rotación. Además las dos frecuencias son diferentes: el período inercial es la mitad del tiempo
requerido por la rotación en un plano local en la superficie de la Tierra.
Debido a la variacion de f con la latitud, los periodos inerciales van desde 11h 58' en los polos
a infinito en el ecuador.
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Las corrientes inerciales son muy frecuentes en el océano y se pueden observar a toda
profundidad y latitud (figura 6.2). Se ha observado asimismo que las oscilaciones inerciales
en diferentes profundidades en sitios cercanos son usualmente incoherentes.
Figura 6.2 – Evidencia de corrientes inerciales en la plataforma de Namibia. (a) describe la
trayectoria de la corriente en superficie durante 5 días. El movimiento consiste en una
oscilación inercial superpuesta al flujo medio. (b) Circulación luego de quitar el flujo medio.
Luego de que el viento empezó a soplar y la corriente inercial es creada, esta tenderá a decaer
en unos pocos días debido a la presencia de la fricción. Si el viento continúa soplando por
varios días la corriente pasará a ser estacionaria formando un ángulo con los vientos, y será la
corriente en superficie asociada a la espiral de Ekman.
6.2 Celdas de Lamngmuir
La circulación de Langmuir es también consecuencia de un impulso dado por los vientos. La
circulación consiste en celdas verticales de unos 10 m de diámetro que se extienden desde
varios metros a kilometros y en una dirección que forma un ángulo de entre 0-20 grados a la
izquierda (derecha) del viento en el H.S. (H.N.). El agua también se mueve en la dirección
del viento por lo que el movimiento neto es en forma de hélice (figura 6.3).
La circulación de Langmuir se puede ver en el océano a través de líneas paralelas de color
mas claro que denota la acumulación de burbujas o material flotante (figura 6.4). Estas líneas
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ocurren en la zona de convergencia entre dos celdas vecinas que giran en sentidos contrarios.
Figura 6.3 - Esquema de la circulación de Langmuir.
Las velocidades en las celdas son mas intensas bajos las zonas de convergencia y pueden
llegar a ser de 20 cm/s; el agua tiende a ascender en regiones menos localizadas y con
velocidades mas pequeñas.
Las celdas de Langmuir son procesos océanicos de pequeña escala y representan un
mecanismo de mezcla en la capa límite oceánica.
Figura 6.4 – Líneas de material en suspensión marcan la presencia de celdas de Langmuir.
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6.3 Capa límite de Ekman
En esta sección consideramos vientos constantes soplando sobre el océano. En este caso los
vientos crean un capa límite oceánica relativamente angosta donde el océano se comporta en
forma diferente del resto de la columna de agua. Para estudiar este comportamiento es
necesario incluir la fricción. La capa de Ekman fue propuesta por Walfrid Ekman en su tesis
doctoral de 1905.
En el análisis de escala de las ecuaciones de movimiento se definió el número de Ekman
ν
Ek= E 2
ΩH
que compara la disipación turbulenta vertical con respecto a la aceleración de Coriolis.
En el oceano el número de Ekman tiene valores muy pequeños, del orden de 10 -4, indicando
que la fricción vertical juega un papel muy limitado en la dinámica oceánica y por lo tanto
puede despreciarse. Esto es perfectamente válido lejos de las fronteras y da lugar al balance
geostrófico en el interior del océano. No obstante, cerca de las fronteras no es posible
despreciar la disipación vertical. Entonces, es posible considerar que existen dos regímenes
en el fluido: lejos de las fronteras, en el interior del océano se puede despreciar la disipación,
mientras que cerca de los bordes, en las capas límites, es necesario considerar la fricción de
tal forma que ésta asegura que la velocidad del fluido es nula contra un continente o fondo (o
proporcional al esfuerzo de los vientos en superficie).
El espesor de la capa límite de Ekman es tal que el numero de Ekman es de orden 1 en esa
distancia. O sea
νE
ν
∼1 d∼ ( E )∼10m
2
Ω
Ωd
√
usando νE=10-2 m2/s y Ω=10-4 1/s, que son valores tipicos del oceano.
En ausencia de rotacion la fricción crea una capa limite sin escala vertical asociada
(considerar Ω=0 en la ecuacion anterior). Por lo tanto la existencia de la rotación limita el
efecto de la frontera sobre el comportamiento del fluido a una capa muy angosta comparada
con la altura de la columna. Veremos a continuación que la rotación cambia además la
dirección de las corrientes en la dirección vertical.
6.3.1 Capa límite de Ekman en la superficie oceánica
Consideremos el caso de la figura 6.5 donde el esfuerzo de los vientos (constante) genera una
capa limite oceánica superficial.
El océano se considera homogéneo (ρ=ρ0), en condiciones estacionarias y con flujo
geostrófico en el interior (lejos de la frontera).
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Figura 6.5 – Esquema de corrientes forzadas por el esfuerzo de los vientos.
En ausencia de gradientes horizontales (flujo uniforme en el interior) y estacionario, como es
el caso ya que consideramos flujo geostrófico en el interior, por la ecuación de continuidad
∂w
=0 , o sea que w=0 cerca de la frontera.
vale que
∂z
Entonces, las ecuaciones de movimiento son:
(6.7)
Las condiciones de borde son
z=0
∂u
∂v
=τ x , ρ0 ν E
=τ y
∂z
∂z
z→−∞ u=̄u , v=̄v
ρ0 ν E
(6.8)
Debido a la ecuacion de momento en la vertical, la presion dinámica p es independiente de la
profundidad por lo que p= ̄p ( x , y) . Por lo tanto la presión dinámica es la misma en el
interior y la capa límite.
En el interior las ecuaciones son
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−1 ∂ ̄p
−f ̄v = ρ
=constante
0 ∂x
−1 ∂ ̄p
f ̄u= ρ
=constante
0 ∂y
(6.9)
Sustituyendo estas ecuaciones en las ecuaciones para toda la columna de fluido tenemos
(6.10)
Las soluciones son del tipo
u=̄
u + Ae λ z
v=v̄ +Be λ z
(6.11)
f 2+ λ4 ν 2E =0
(6.12)
y sustituyendo se obtiene
por lo que
λ=±(1±i)
1
d
d= √ (2 ν E /∣f ∣)
(6.13)
donde d es muy similar a la escala vertical definida mas arriba.
Imponiendo las condiciones de borde se obtiene
√ 2 e z / d [ τ cos( z − π )−τ sin ( z − π )]
x
y
ρ0 f d
d 4
d 4
2
z
z
v= v̄ + √ e z /d [τ x sin( − π )+ τ y cos ( − π )]
ρ0 f d
d 4
d 4
u=u
̄+
(6.14)
Notemos que la componente de la velocidad debido a la existencia de la capa límite sólo
depende del esfuerzo de los vientos y es inversamente proporcional a la profundidad de la
capa d. A su vez, para z~-d la solución es cercana al flujo interior. De ahi que d sea llamado
espesor de la capa de Ekman.
¿Cual es la forma de la solución? Para verlo consideremos la componente del flujo
independiente del interior en z=0 y por simplicidad asumamos que el viento sopla sólo hacia
el norte (τx=0)
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u(0)=
√2
τ sin(π /4)=V 0 sin(π /4)
ρ0 f d y
2
v(0)= √
τ cos(π /4)=V 0 cos(π/4)
ρ0 f d y
(6.15)
lo que nos indica que la corriente superficial es en la dirección noreste. En general la
corriente en superficie es 45° hacia la derecha (izquierda) del esfuerzo de los vientos en el
H.N. (H.S.).
En profundidad la solución es de la forma
(u(z )2 +v (z )2)1/ 2=V 0 ez / d
(6.16)
indicando que el modulo de la velocidad decrece exponencialmente con la profundidad. La
figura 6.6 ilustra la solución
Figura 6.6 – Solución de Ekman típica en latitudes medias del H.N.
Mediciones hidrográficas han mostrado que la solución de Ekman es válida cuando se toman
promedio de las corrientes sobre un período de días, o varios períodos inerciales.
La figura 6.7 muestra un ejemplo de descomposición de las corrientes observadas en
superficie en sus componentes geostrófica y ageostrófica (Ekman).
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Figura 6.7 – El panel de arriba muestra la velocidad media de las corrientes calculada a
través de drifters. Los paneles siguientes son los componentes de Ekman y geostrófico de la
corriente total.
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6.3.2 Transporte de Ekman
El transporte debido a los vientos en la capa de Ekman está dado por
1
τ
ρ0 f y
0
−1
V =∫−∞ (v− ̄v )dz =
τ
ρ0 f x
0
U=∫−∞ (u−ū )dz =
(6.17)
y está orientado en angulo recto con el esfuerzo de los vientos, hacia la derecha en el H.N., y
hacia la izquierda en el H.S.
Figura 6.8 – Solución de Ekman y transporte.
Si el transporte horizontal se multiplica por una sección de lado unidad, se obtiene el
transporte de volumen (m3/s).
Notar que el transporte en la capa de Ekman no depende explicitamente de las corrientes en la
capa. El transporte de Ekman, en respuesta a los vientos, juega un rol fundamental en la
circulación oceánica de gran escala.
6.3.3 Capa límite de Ekman de fondo
La interacción de las corrientes con el fondo marino tambien genera una capa límite de
Ekman, similar a la de superficie. En este caso el esfuerzo de fricción no aparece por razones
externas (viento) sino por el roce de la corriente con el fondo.
Las ecuaciones son análogas a las de superficie (ecs. 6.7) pero tienen otras condiciones de
borde: u=v=0 en el fondo (z=0) y u=̄u , v=̄v lejos de la capa límite (z=∞).
v =0 en el interior oceánico, la solución es
Si ̄
u=̄u (1−e−π z / D cos (π z /d ))
v=ū e−π z / D sin( π z /d )
(6.18)
que es de la forma de una corriente media estacionaria mas una espiral similar a la que
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encontramos para la superficie. El espiral rota en sentido antihorario a medida que sube en la
columna (HS). La figura 6.9 muestra la solución.
Cerca del fondo, hasta una distancia d, la corriente se desvía hacia la derecha del flujo en el
interior. Se puede calcular el transport perpendicular al flujo en el interior como
ud
∫0 v dz= ̄2 π
∞
(6.19)
Este flujo puede pensarse como resultado del debilitamiento de la corriente de fondo por la
fricción, lo cual deja una componente de la fuerza de presión sin balancear que resulta en un
flujo que atraviesa las isóbaras.
Figura 6.9 – Solución de la capa de Ekman de fondo.
6.4 Afloramientos costeros
La derivación de los transportes de Ekman estuvo basada en la inexistencia de gradientes
horizontales de presión, lo cual es razonable para el océano abierto pero no para la región
costera. Esto es pues, al no poder haber transporte normal a la costa, el transporte de Ekman
dará lugar a la creación de gradientes de presión. Por ejemplo, en una situación donde la costa
está a la izquierda de los vientos en el HS el transporte de Ekman acumulará agua contra la
costa, aumentando el nivel del mar y generando un gradiente de presión contrario. Como
resultado el agua cerca de la costa tenderá a hundirse y retornará mar adentro si la
profundidad de la columna es mayor que la de la capa de Ekman. Por el contrario, si los
vientos son en sentido contrario el nivel del mar disminuirá contra la costa y el gradiente de
presión actuará para promover flujo offshore en superficie y onshore en subsuperficie con
afloramiento en la región costera.
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Consideremos primero el caso de transporte onshore como muestra la Figura 6.10a en un
océano homogéneo. Consideraremos que la costa es recta, que la densidad es constante y que
las condiciones son uniformes en la dirección y. En este caso, como los vientos en la
dirección y son constantes en el tiempo, el transporte de Ekman hacia la costa será constante,
lo cual implica que la altura de nivel del mar aumentará linealmente con el tiempo. Por
geostrofismo, el gradiente de altura de nivel del mar generará una corriente a lo largo de la
costa que aumentará también linealmente con el tiempo. Esta solución es un buen modelo
para describir la evolución inicial de la elevación de la superficie del mar causada por una
tormenta (“storm surge”). La distancia desde la costa que caracteriza la elevación del mar es
√ gh . En latitudes
el radio de deformación de Rossby barotrópico (o externo) Ro=
f
medias Ro=250 km.
Figura 6.10 – (a) Respuesta de un océano homogéneo a un viento paralelo a la costa; (b)
Afloramiento costero en un modelo de océano de dos capas forzado por el esfuerzo de
vientos.
Para ver cómo el transporte de Ekman induce afloramiento cerca de una costa es necesario
considerar un océano con dos capas: una capa menos densa y cálida en superficie por encima
de otra capa mas densa y fría, como se muestra en la figura 6.10b. Cada capa tiene una
velocidad uniforme y densidad constante y la interfase está denotada por ζ. Con el viento tal
que la costa está a la izquierda (HN), la capa de agua superficial tenderá a alejarse de la costa
por el transporte de Ekman, lo cual resultará en una disminución del nivel del mar contra la
costa y, por geostrofismo, una corriente meridional en la misma dirección del viento. En la
capa de subsuperficie, por el contrario, el agua se dirigirá hacia la costa elevando el nivel de
la interfase y generando, por geostrofismo, una corriente en sentido contrario a los vientos. Si
el viento se mantiene, el afloramiento continuará y expondrá la capa fría en la superficie,
enfriando las aguas costeras. La distancia desde la costa que caracteriza la elevación de la
interfase ζ es el radio de deformación de Rossby interno y en latitudes medias es Ro'~10
km.
Dado que las aguas que emergen son frías, el afloramiento da lugar a una región de aguas
frías en la superficie a lo largo de la costa (figuras 6.11). Estas aguas frías modulan el clima
regional de tal forma que esta regiones tienden a tener niebla, nubes bajas en forma de stratos,
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y una atmósfera muy estable con poca convección y lluvia.
El agua que aflora no es sólo mas fría que la de superficie sino que también tiene una mayor
concentración de nutrientes. Los nutrientes fertilizan al fitoplanction en la capa límite que a
su vez es consumido por el zooplancton y estos por peces, manteniendo así la cadena trófica.
Por lo tanto, las regiones con afloramiento costero son aguas muy productivas y donde se
encuentran las zonas pesqueras mas importantes a nivel mundial: Peru, California, Somalia,
Marruecos y Namibia.
Figura 6.11 – Principales regiones de afloramiento costero y su relación con los anticiclones
semipermanentes.
En la region ecuatorial también existe afloramiento debido al cambio de signo del parámetro
de Coriolis. Al sur del ecuador la fuerza de Coriolis tuerce las corrientes hacia el sur, mientras
que el norte del ecuador lo hace hacia el norte. De esta forma el ecuador es una zona de
divergencia en superficie y este vacío debe ser llenado con aguas subsuperficiales mas frías y
con mas nutrientes (figura 6.12).
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Figura 6.12 – Afloramiento ecuatorial.
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