Razones y proporciones

UD
Propuesta didáctica: unidad Didáctica
QUINTO de primaria | matemática
Razones y proporciones
1. Identificación
Nivel: Primario
Grado: Quinto
Área: Matemática
SC 8: Razones y proporciones
Resumen:
En esta Unidad Didáctica se reconocen las razones, las proporciones y los por cientos. Se
determinan potencias de base 10. Se identifican los términos de la potencia y de la raíz. Se
representan potencias de manera gráfica y se obtienen raíces cuadradas.
Para desarrollar esta Unidad Didáctica se recomienda utilizar las siguientes metodologías:
Explorar los conocimientos previos con ejercicios para el cuaderno y la pizarra, uso de recursos gráficos, ejercicios para trabajarlos en el cuaderno y la pizarra y diseñar actividades
para trabajarlas en grupos en las que tengan que construir proporciones partiendo de razones dadas, y determinar cuartas proporcionales. Finalmente, diseñar problemas basados
en situaciones cotidianas que involucren el uso de razones y proporciones, cálculo de por
cientos y determinación de potencias de base 10.
1
UD
Propuesta didáctica: unidad Didáctica
QUINTO de primaria | matemática
Razones y proporciones
2. Descripción
Base teórica o conceptual:
Razones
La razón de dos números resulta de dividir ambos números. Por ejemplo la razón
de 7 a 4 se escribe 7/4 o 7:4 y se lee: Siete es a cuatro. El primer término (7) es
el antecedente y el segundo (4) es el consecuente.
Proporciones
Consisten en la igualdad entre 2 razones y se representan de dos maneras:
a/b = c/d
o
a:b::c:d
Y se lee: a es a b como c es a d. Los puntos a y d se llaman extremos y los puntos
b y c se llaman medios.
Propiedades
A) En toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos: a × d= b × c.
B) En toda proporción un MEDIO es igual al producto de los extremos dividido por
el otro MEDIO: b = a × d ∕c.
C) En toda proporción un EXTREMO es igual al producto de los medios dividido por
el otro EXTREMO.
PROPORCIONALIDAD DIRECTA:
Cuando el cociente entre dos magnitudes es constante decimos que las magnitudes son directamente proporcionales.
EJEMPLO:
Si un kilogramo de naranjas cuesta 125 pesos, ¿cuánto cuestan 3 kilogramos de
naranjas?
1/3 = 125/x
x = 125 × 3/1
x = 375 pesos.
Juan entrena ciclismo. La siguiente tabla registra el número de vueltas y el tiempo
empleado por vuelta.
Vueltas
Tiempo
2
4
12
8
24
12
36
16
48
20
60
24
72
28
84
UD
Propuesta didáctica: unidad Didáctica
QUINTO de primaria | matemática
Razones y proporciones
PROPORCIONALIDAD INVERSA:
Si una magnitud crece mientras la otra decrece, decimos que son dos magnitudes inversamente proporcionales. El producto constante se llama constante de proporcionalidad inversa.
Cuando el producto de cada par de valores de magnitudes que se relacionan es constante,
son inversamente proporcionales.
EJEMPLO:
En una camioneta se pueden transportar 280 litros de agua. La tabla muestra algunas posibilidades de transportar el agua, según el número de envases y la capacidad de cada uno.
No. de envases
10
20
40
70
140
Capacidad
28
14
7
4
2
Litros
280
280
280
280
280
Como el producto de ellas es constante (280), entonces las magnitudes, número de envases
y su capacidad en litros son inversamente proporcionales.
Orientaciones para el/la docente
En el proceso de enseñanza-aprendizaje del contenido de esta Secuencia Curricular, el o
la docente debe recurrir al uso de una serie de herramientas pedagógicas y recursos que
faciliten y sirvan de apoyo al trabajo realizado y que permitan la mejor comprensión de los
mismos por parte de los estudiantes.
• Reconocimiento de razones, proporciones y por cientos.
• Determinación de potencias de 10.
• Identificación de los términos de la potencia y de la raíz.
• Representación gráfica de potencia de 10.
• Obtención de raíces cuadradas.
3
UD
Propuesta didáctica: unidad Didáctica
QUINTO de primaria | matemática
Razones y proporciones
Aprendizajes esperados
Al concluir el proceso de enseñanza de esta Unidad Didáctica, las y los estudiantes
serán capaces de resolver problemas y operaciones:
• Explica los conceptos de razón, proporción y por ciento.
• Lee, escribe e interpreta razones, proporciones y por cientos.
• Utiliza la notación correcta de por cientos.
• Identifica la proporción como dos razones equivalentes.
• Argumenta cuando dos razones forman una proporción.
• Determina razones equivalentes a una razón dada para obtener una proporción.
• Define y aplica, en diferentes contextos, el concepto de por ciento.
• Expresa por cientos como fracciones y como decimales y viceversa.
• Representa gráficamente razones, proporciones y por cientos.
• Resuelve problemas que involucren razones, proporciones y por cientos en múltiples
contextos.
• Utiliza herramientas tecnológicas para determinar y representar gráficamente razones,
proporciones y por cientos.
Mapa conceptual
Razones y proporciones
Reconocerán
Propiedades
Proporciones
Porciento
4
Cuarta proporcional
Porciento como fracción
UD
Propuesta didáctica: unidad Didáctica
QUINTO de primaria | matemática
Recursos didácticos digitales
Para el docente
• Razones y proporciones. www.comunidadunete.net/index.php/component/k2/
item/729-razones-y-proporciones
Razones y proporciones
Recursos materiales necesarios
para las actividades
• Pizarra.
• Cartulina.
• Hojas en blanco.
• Lápices de colores.
• Periódicos y revistas.
• Papel de construcción.
• Computadora o laptop
(recomendable).
• Objetos del entorno
escolar o familiar.
Recursos didácticos
que se aportan como anexo
• Ejercicios interactivos de proporciones.
http://www.vitutor.com/di/p/a_2e.html
•Razones y proporciones. http://www.
t h a t q u i z . o r g / e s / p r ev i ew t e s t ? E / X /
M/P/48981196304623
• Anexo 1. Recursos imprimibles para
el docente. Documento imprimible.
• Anexo 2. Recursos imprimibles de razones y proporciones: http://mathematicspedro.blogspot.com/2012/05/
razones-y-proporciones.html
5
UD
Propuesta didáctica: unidad Didáctica
QUINTO de primaria | matemática
Razones y proporciones
3. Secuencia didáctica
Tiempo total estimado para todas las actividades
El tiempo total estimado para todas las actividades es de 14 sesiones
de 45 minutos.
Actividad de inicio
Formamos e identificamos razones
Duración: 2 sesiones de 45 minutos
Para desarrollar los procedimientos relacionados con las fracciones decimales, es
conveniente, primero, recuperar las experiencias previas de sus estudiantes y, después, adecuar el ambiente con el grupo a fin de que se logre la atención de todos.
Formar grupos de 3 o 4 estudiantes. Luego, escribir algunas expresiones en la pizarra con las que puedan formar razones, como las siguientes:
• Para preparar 2 libras de bizcocho se necesitan 10 huevos. ¿Cuál es la razón
entre el bizcocho y los huevos?
Resp.: La razón es 2/5 o 2:5 y se lee: Dos es a cinco.
• Se colocan 30 rosas en 5 floreros. ¿Cuál es la razón entre las rosas y los floreros?
Resp.: La razón es 30/5 o 30:5 y se lee: Treinta es a cinco.
• De cada 10 personas, 8 tienen teléfonos celulares. ¿Cuál es la razón entre el
número de personas y los celulares?
Resp. La razón es 10/8 o 10:8 y se lee: Diez es a ocho.
Preparar ejercicios similares a estos para que los desarrollen en sus cuadernos y,
luego, invitarles a la pizarra para las correcciones.
Aplicar las estrategias indicadas en las sugerencias al docente para facilitar el
aprendizaje de los temas.
Si cuenta con tecnología, utilizar los recursos digitales. Si no cuenta con tecnología,
utilizar los recursos propuestos en los anexos 1 y 2.
6
UD
Propuesta didáctica: unidad Didáctica
QUINTO de primaria | matemática
Razones y proporciones
Otras actividades
Formamos proporciones
Duración: 2 sesiones de 45 minutos
Formar los estudiantes de la misma forma en la que estuvieron organizados en
la actividad anterior. Luego, escribir algunas razones en la pizarra y mostrarles,
cómo se forman proporciones partiendo de las razones. Explicarles que las proporciones se forman con fracciones equivalentes a las razones dadas.
Por ejemplo: 2/4 es equivalente 6/12, por lo tanto, son proporcionales.
2/4 = 6/12 ; 2 : 4 :: 6 : 12 ; se lee: Dos es a cuatro como seis es a doce.
2 y 12 son los extremos y 4 y 6 son los medios.
En toda proporción, el producto de los medios es igual al producto de los extremos.
4 x 6 = 2 x 12.
Otro ejemplo: 8/16 es equivalente 2/4, por lo tanto, son proporcionales.
8/16 = 2/4 ; 8 : 16 :: 2 : 4 ; se lee: Ocho es a dieciséis como dos es a cuatro.
8 y 4 son los extremos y 16 y 2 son los medios.
En toda proporción, el producto de los medios es igual al producto de los extremos. 16 x 2 = 8 x 4
Otro ejemplo: 3 : 4 :: 15 : 20
3 x 20 = 4 x 15
60 = 60
• Preparar ejercicios similares a estos para que los desarrollen en sus cuadernos y, luego, invitarles a la pizarra para las correcciones. Utilizar los recursos
de los anexos 1 y 2.
7
UD
Propuesta didáctica: unidad Didáctica
QUINTO de primaria | matemática
Razones y proporciones
Actividad de cierre
Completamos tablas de valores directamente proporcionales
Duración: 2 sesiones de 45 minutos
En esta oportunidad las y los estudiantes completarán tablas de valores directamente proporcionales extraídos de situaciones cotidianas.
• Explicar a sus estudiantes que dos valores son directamente proporcionales
cuando tienen el mismo comportamiento, es decir, cuando un valor aumenta
o disminuye, el otro también aumenta o disminuye. Por ejemplo: Para hacer 3
vasos de jugo se necesitaron 9 naranjas, para hacer 6 vasos se necesitan 18
naranjas, … Si un valor se duplica, el otro también lo hará. En toda variable directamente proporcional hay una constante de proporcionalidad, en este caso
es 3. (6/2 = 3; 9/3=3; 12/4=3; 18/6 = 3).
Formar los estudiantes en grupos de 3 o 4 integrantes. Mostrarles la tabla con los
datos anteriores en la pizarra. Por ejemplo:
Vasos de jugo
2
3
4
5
Naranjas
6
9
12
18
Otro ejemplo: Cuatro botellones de agua contienen 24 litros de agua, ¿cuántos
litros habrá en 9 botellones?
Botellones
4
5
6
7
8
9
Litros de agua
24
30
36
42
48
54
Preparar ejercicios similares a estos para que los desarrollen en sus cuadernos y,
luego, invitarles a la pizarra para las correcciones. Utilizar los recursos anexos 1 y 2.
Para concluir, motivar a sus estudiantes para que inventen situaciones con datos
directamente proporcionales y para que completen las tablas correspondientes.
Al concluir con las producciones, invitarles a la pizarra para que resuelvan los
problemas y expliquen a sus compañeros los pasos que siguieron.
Felicitar a sus estudiantes y evaluar si se lograron los objetivos perseguidos al
inicio de estas actividades.
8
UD
Propuesta didáctica: unidad Didáctica
QUINTO de primaria | matemática
Razones y proporciones
4.
4. Si observas, trata…
Si observas
Trata
De preparar ejercicios de reforzamiento para el cuaderQue algún estudiante tiene dificultad para
no y la pizarra. Solicitar la cooperación de los padres.
formar proporciones partiendo de razones
Si es posible, recurrir a las salas de tareas. Utilizar los
dadas.
recursos anexos 1 y 2.
Que algún estudiante tiene dificultad para De preparar ejercicios de reforzamiento para el cuadercompletar o construir tablas de proporcio- no y la pizarra. Utilizar los recursos anexos 1 y 2. Solicinalidad directa.
tar la cooperación de los padres.
9
UD
Propuesta didáctica: unidad Didáctica
QUINTO de primaria | matemática
Razones y proporciones
5. Recursos didácticos para el docente y el estudiante
Anexo 1:Para ampliar conocimientos del docente: thttp://mathematicspedro.blogspot.com/2012/05/razones-y-proporciones.html
1. RAZONES
La razón de dos números resulta de dividir ambos números. Por ejemplo la razón
de 7 a 4 se escribe 7/4 o 7:4 y se lee siete es a cuatro. El primer término es el
antecedente y el segundo consecuente.
2. PROPORCIONES
• Consiste en la igualdad entre 2 razones y se representa de dos maneras:
a/b = c/d o a:b::c:d
• Se lee a es a b como c es a d. Los puntos a y d se llaman extremos y los puntos b y c se llaman medios.
PROPIEDADES
• En toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos: a × d = b × c.
• En toda proporción un MEDIO es igual al producto de los extremos dividido por
el otro MEDIO: b = a × d/c.
• En toda proporción un EXTREMO Es igual al producto de los medios dividido por
el otro EXTREMO: a = b × c/d.
• PROPORCIONALIDAD DIRECTA
• Cuando el cociente entre dos magnitudes es constante decimos que las magnitudes son directamente proporcionales.
EJEMPLO
• Si una silla plástica cuesta $1 200, ¿cuánto cuestan 8 sillas plásticas?
1/8 = 1 200/x
10
x = 1 200 × 8/1
x = $9 600
UD
Propuesta didáctica: unidad Didáctica
QUINTO de primaria | matemática
Razones y proporciones
EJEMPLO:
• Por cada 5 libras de peso en una persona, aproximadamente 2 libras son de músculo.
Calcular cuánto pesan los músculos en un niño de 4 lb, 62 Lb, 85 Lb.
• El precio por galón de gasolina es de $3 250. Elaborar una tabla que indique el precio
de 2, 5, 7, 10 galones.
• Juan entrena ciclismo. La siguiente tabla registra el número de vueltas y el tiempo
empleado por vuelta. Completa la tabla:
No. de vueltas
4
Tiempo
12
8
20
23
35
30
50
PROPORCIONALIDAD INVERSA
• Si una magnitud crece mientras la otra decrece decimos que son dos magnitudes
inversamente proporcionales. El producto constante se llama constante de proporcionalidad inversa.
• Cuando el producto de cada par de valores de magnitudes que se relacionan es constante, son inversamente proporcionales.
EJEMPLO
• En una camioneta se pueden transportar 280 litros de agua. La tabla muestra algunas
posibilidades de transportar el agua, según el número de garrafas y la capacidad de
cada uno.
No. de garrafas
Capacidad de garrafas (L)
Producto
10
20
40
70
140
28
14
7
4
2
280
280
280
280
280
• Como el producto de ellas es constante (280), entonces las magnitude,s número de
garrafas y su capacidad en litros son inversamente proporcionales.
11
UD
Propuesta didáctica: unidad Didáctica
QUINTO de primaria | matemática
Razones y proporciones
EJERCICIOS.
• Por cada 5 libras de peso de una persona, aproximadamente dos libras son de
músculo. Calcular cuánto pesa un niño de 45 libras, otro de 62 libras, y un tercero
de 85 libras.
• El precio por galón de gasolina es de $185 pesos. Elaborar una tabla que indique
el precio de 2 galones, 3 galones, 7 galones y 12 galones
• La tabla describe la relación entre el número de obreros y el número de días que
tardan en hacer un trabajo.
Obreros
6
Días
30
12
40
10
a) Completar la tabla.
b) ¿Cuántos obreros se necesitan, para completar la obra en 4 días?
c) ¿Cuántos días tardarán 14 obreros en hacer la misma obra?
• Santiago dispone de $5 000 pesos para comprar algunos pantalones. Al llegar al
almacén observa que hay pantalones de $800, $500, $600, $300 y $1 000.
Completa la tabla para saber cuántos pantalones podría llevar de una sola clase.
No. de pantalones
6
10
Precio x pantalón
800
500
Precio de compra
4 800
• En la clase de Juan, 15 estudiantes deciden hacer una excursión y compran comida suficiente para 10 días.
a) Si solo pueden ir 10 estudiantes, ¿podrían quedarse más días?
Justifica tu respuesta.
12
UD
Propuesta didáctica: unidad Didáctica
QUINTO de primaria | matemática
Razones y proporciones
b) Completa la siguiente tabla y determina cuántos días más pueden quedarse
en la excursión, si solo van 5 estudiantes.
No. de estudiantes
No. de días
Producto
15
10
8
5
10
150
Si solo van 8 estudiantes, ¿para cuantos días alcanzará la comida?
• En la siguiente tabla se muestra la relación entre el diámetro de una tubería por la que
desagua un tanque y el tiempo que tarda en vaciarse
Diámetros (pul)
Tiempo (seg)
1/2
1
2
2 1/2
3
80
a) Completa la tabla.
b) Explica si las magnitudes son inversamente proporcionales.
c) Determina el tiempo que tardará en vaciarse en una tubería de 6 pulgadas
de diámetro.
13
UD
Propuesta didáctica: unidad Didáctica
QUINTO de primaria | matemática
Razones y proporciones
Anexo 2: Razones y proporciones
14
UD
Propuesta didáctica: unidad Didáctica
QUINTO de primaria | matemática
Razones y proporciones
15