Tema 4: Variable aleatoria

Tema 4: Variable aleatoria.
Métodos Estadísticos
Tema 4: VARIABLE ALEATORIA.
Definición de v.a.
Definición: Una variable aleatoria (v.a.) es un número
real asociado al resultado de un experimento aleatorio,
es decir, una función real en el espacio muestral,
X:Ω→ℜ
Los valores de la variable aleatoria se notarán con
letras minúsculas x en este caso.
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Ejemplos de v.a.
Ejemplos:
Supongamos un experimento aleatorio consistente
en lanzar dos dados al aire. Bajo este experimento lo
siguiente serían v.a:
1.
Sea X la v.a. suma de los valores de los dados donde X puede
tomar valores x=2,3,4,…,12.
2.
Sea Y la v.a número de pares en los dados donde Y puede
tomar los valores y=0,1,2.
3.
Sea Z la v.a número de impares en los dados donde Z puede
tomar los valores z=0,1,2.
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Variable aleatoria discreta
Definición: Se dice que una v.a. es discreta si el
conjunto de todos los valores que puede tomar es
un conjunto numerable.
Ejemplos:
–
–
Número de caras al lanzar dos dados.
Número de cifras acertadas en un sorteo de la
lotería.
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Variable aleatoria discreta
Definición: Dada una v.a. discreta, X, se define la
función masa de probabilidad como:
f(x)=P[X=x],
para cada x∈ℜ.
Proposición: Sea X v.a. discreta y f(x) su función
masa de probabilidad. Entonces:
1.
2.
3.
f(x)≥
≥0 para todo x∈ℜ
Σ x∈ℜ
∈ℜ f(x)=1
En general, para cualquier conjunto B,
P[X∈
∈B]=Σ
Σ x∈∈B f(x), donde x son los posibles valores de B
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Variable aleatoria discreta
Definición: Se define la función de distribución
probabilidad una v.a. discreta, X, como:
para cada x∈ℜ.
de
F(x)=P[X≤
≤x]= Σ xi ≤x f(x),
Proposición: Sea X v.a. discreta y f(x) su función masa de
probabilidad y F(x) su función de distribución. Entonces:
1.
2.
3.
4.
limx→
→-∞
∞ F(x)=0
limx→∞
→∞ F(x)=1
F es creciente
F es continua a la derecha
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Variable aleatoria discreta
Además:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
P[X≤
≤a]=F(a)=Σ
Σ x ≤a f(x)
P[X<a]=F(a-)=Σ
Σ x <a f(x)
P[X≥
≥a]=1- F(a-)= Σ x≥≥a f(x)
P[X>a]=1- F(a)= Σ x>a f(x)
P[a < X<b]=F(b-)-F(a)
P[a ≤ X<b]= F(b-)-F(a-)
P[a < X ≤ b]=F(b)-F(a)
P[a ≤ X ≤ b]=F(b)- F(a-)
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Variable aleatoria discreta
Ejemplo 1: Sea el experimento lanzar tres monedas, y sea X
v.a. número de caras. Calcular su función masa de
probabilidad y su función de distribución.
Ejemplo 2: Sea el experimento sacar 2 bolas de una urna que
contiene 2 bolas blancas y 3 bolas rojas, y sea Y v.a. número
de bolas rojas. Calcular su función masa de probabilidad y su
función de distribución.
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Variable aleatoria continua
Definición: Se dice que una v.a. es continua si el
conjunto de todos los valores que puede tomar no
es numerable.
Ejemplos:
–
–
Duración de una llamada a un servicio de
atención al cliente.
Tiempo que un médico tarda en atender un
paciente
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Variable aleatoria continua
Definición: Dada una v.a. continua, X, se define la función de
densidad de probabilidad de X, f(x) como aquella función tal que
para cualquier a,b ∈ℜ , o a,b=± ∞,
b
P[a<X<b]= ∫ af(x) dx,
Proposición: Sea X v.a. continua y f(x) su función de densidad de
probabilidad. Entonces:
1. f(x)≥
≥0 para todo x∈ℜ
2. ∫ℜf(x)=1
3. En general, para cualquier conjunto de números reales B,
P[X∈
∈B]=∫∫x∈∈B f(x)
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Variable aleatoria continua
Definición: Se define la función de
distribución de probabilidad una v.a.
continua, X, como:
F(x)=P[X≤
≤x]= ∫ -∞∞ f(t) dt,
x
para cada x∈ℜ.
Proposición: Sea X v.a. discreta y f(x) su
función masa de probabilidad y F(x) su
función de distribución. Entonces:
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Variable aleatoria continua
Ejemplo: Sea f(x)=ex-2 si x < 2 y f(x)=0 en otro caso, calcular su
función de distribución.
Ejemplo: Sea el experimento lanzar una pelota en una habitación
rectangular 2x4 y la puerta se encuentra en la pared de lado 2.
Sea Y la v.a continua distancia a la pared de la puerta. Calcular
su función de distribución y su función de densidad.
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Momentos de una v.a
Definición: Dada una v.a. X, y sea Y=g(X) un función suya, es
decir una transformación de la variable. Entonces, se define la
media de la función g(X) como,
E[g(X)]= ∫ℜ g(x)f(x) dx, si X es continua
E[g(X)]= ∑ℜ g(x)f(x), si X es discreta
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Esperanza matemática de una v.a
Definición: Dada una v.a. X, se define la media o
esperanza matemática como,
EX = ∫ℜ x f(x) dx, si X es continua
EX= ∑ℜ x f(x), si X es discreta
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Transformación de una v.a.
Definición: Dada una v.a. X, a1,..., an constantes y g1(X),...,gn(X)
funciones de la variable. Entonces,
E[a1 g1(X)+...+ an gn(X)] = a1 E[g1(X)]+...+ an E[gn(X)]
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Varianza de una v.a.
Definición: Dada una v.a. X. Se define su varianza como,
Var[X] = E[(X-EX)2] = E [X2] – (EX)2
Proposición: Dada una v.a. X, y sean a,b∈ℜ. Entonces,
E[aX+b] = a E[X] + b
Var[aX+b] = a2Var[X]
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FIN