Métodos de Decisión LADE 1

EXAMEN FINAL Nº 1
MÉTODOS DE DECISIÓN EMPRESARIAL
L. A. D. E.
PRIMER
SEMESTRE
1
DESCRIPCIÓN DEL EXAMEN
El examen es tipo test, de contenido teórico-práctico; consta de doce
preguntas con cuatro alternativas de respuesta, donde sólo una es la
correcta.
Criterios de corrección: La respuesta correcta suma 10/12 puntos, la
incorrecta resta 0’3 puntos y la respuesta en blanco puntúa 0 puntos.
La puntuación mínima para aprobar es 5.
Duración del examen: 100 minutos
C/ Villardondiego, 17 y 19 (Posterior). VICALVARO 28032 Madrid
Tel.: 91 371 92 83
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PRIMER
SEMESTRE
2
PRÁCTICA
Ejercicio 1
Si la función de utilidad del beneficio para un decisor es u ( x ) = x3 − 2 , 1 ≤ x ≤ 2 , la función de
utilidad normalizada es:
a) v ( x ) = x 2 + 2 x − 7
3
b) v ( x ) = x
3
c) v ( x ) = x
7
7
−1
+1
7
7
d) Las otras opciones son falsas.
Ejercicio 2
Juan dispone de dos opciones de inversión A y B. El beneficio depende de la evolución de la
cotización del euro respecto del dólar. Si el euro sube, con la primera inversión obtiene un beneficio
de 300 € y con la segunda de 500 € y, si baja, los beneficios son de 200 € y 100 € respectivamente.
La probabilidad de que baje el euro es de 0,7.
Si Juan posee la siguiente función de utilidad del beneficio: u ( x ) = x 2 − x + 2 , x en cientos de
euros. ¿Qué inversión preferirá Juan?
a) Prefiere la inversión A.
b) Prefiere la inversión B.
c) Le resultan indiferentes las inversiones.
d) Las otras opciones son falsas.
Ejercicio 3
Javier posee la siguiente función de utilidad del dinero u ( x ) = 2 x3 + x
utilidad de su amigo Pedro es v ( x ) = x 2 + 3 x
, 1 < x < 3 y la función de
, 1 < x < 3 ¿Quién es más propenso al riesgo?
a) Pedro es más propenso al riesgo que Javier.
b) Las opciones a), c) y d) son falsas.
c) Javier es más propenso al riesgo que Pedro.
d) Ambos son aversos al riesgo.
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SEMESTRE
3
Ejercicios 4 y 5
Elena debe decidir si compra un modelo de automóvil gasolina o el mismo modelo en diesel y estima
el coste medio anual en función de los kilómetros que pueda hacer. Si hace como máximo 20.000 km
el coste medio anual es de 3.000 € para el modelo gasolina y 3.100 € para el diesel y si supera los
20.000 Km. estos costes son de 3.350 € para el modelo gasolina y 3.200 € para el diesel.
4) Si el coeficiente de pesimismo de Elena es del 40%, ¿qué coche prefiere comprar?
a) Elena prefiere el modelo de gasolina al diesel
b) Elena opta por el modelo diesel.
c) Los dos modelos de coche le son indiferentes.
d) Las otras opciones son falsas.
5) Si decide en función del criterio que valora los costes de oportunidad, entonces:
a) El mayor coste de oportunidad es 150 € y corresponde a la decisión de comprar el modelo
diesel
b) Las otras opciones son falsas.
c) El menor coste de oportunidad no nulo es 100 € y corresponde a la decisión de comprar el
modelo gasolina
d) La decisión óptima es comprar el modelo de gasolina.
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SEMESTRE
4
Ejercicios 6, 7, 8, 9 y 10
Un empresario tiene que decidir si colabora con un equipo externo para llevar a cabo un proyecto
que le han concedido en una convocatoria pública o únicamente lo realiza con personal de su propia
empresa. El beneficio que obtenga dependerá del número total de proyectos concedidos en todas las
convocatorias públicas que se convocan anualmente. Cuando el número de proyectos concedidos es
bajo en la totalidad de las convocatorias (θ1 ) , el equipo externo puede colaborar al 100 % con el
personal de la empresa y debido a su experiencia el beneficio que obtienen es de 16.000 €. En este
caso si la empresa opta por llevar a cabo el proyecto únicamente con su personal, el beneficio será
de 12.000 €. Si el número de proyectos concedidos en la totalidad de las convocatoria es elevado
(θ 2 ) , el equipo externo no puede colaborar al 100 % con el personal de la empresa y el beneficio
que se obtendría es de 12.000 €. Si el proyecto lo realiza personal de la empresa el beneficio sería
de 14.000 €.
Se estima que existe una probabilidad de 0,2 de que se concedan un elevado número de proyectos
en la totalidad de las convocatorias que se conceden anualmente.
6) En base a esta información, ¿qué decisión tomará?
a) El empresario prefiere colaborar con un equipo externo con un beneficio esperado de 15.200 €.
b) Las otras opciones son falsas.
c) El empresario prefiere realizar el proyecto con personal de su propia empresa con un beneficio
esperado de 12.400 €.
d) Ambas opciones son indiferentes.
Para mejorar la información disponible sobre los estados de la naturaleza el empresario puede
dirigirse a una consultora de Administraciones Públicas que le informará sobre el número total de
proyecto que se conceden anualmente. La consultora tiene una fiabilidad del 90 % si el número total
de proyectos concedidos es elevado y del 80 % si es bajo.
7) La probabilidad de que la consultora informe al empresario de que el número de proyectos es bajo
en la totalidad de las convocatorias que se conceden anualmente es:
a) 0’66
b) Las otras opciones son falsas
c) 0’64
d) 0’6
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5
8) ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar a la consultora el empresario por su información?
a) Pagará a la consultora como máximo 251.
b) La cantidad que está dispuesto a pagar depende del coste de la información.
c) Nada, nunca pagaría a la consultora.
d) Las otras opciones son falsas.
El empresario puede informarse además sobre el número exacto de proyectos que se van a
conceder este año comprando dicha información a las distintas Administraciones Públicas.
9) ¿Cuál será el beneficio esperado en este caso?
a) El beneficio esperado es 15.200 €.
b) El beneficio esperado es 15.600 €.
c) El beneficio esperado es 14.000 €.
d) Las otras opciones son falsas.
El decisor, después de haber consultado a la consultora de Administraciones públicas plantea la
siguiente regla de decisión:
ψ:
X = { X1, X 2}
Se concedeunnúmero
X1 =
bajo deproyectos alaño
→
A'
 colaborar con trabajar con 
→ a =  equipo externo personalpropio 


0 '4
0 '6


Se concede unnúmero
X2 =
elevado deproyectos alaño
'
1
 colaborar con trabajar con


→ a =  equipo externo personal propio 


0 '5
0 '5


'
2
10) ¿Cuál es el riesgo medio, riesgo Bayes o resultado esperado para esta regla de decisión?
a) 13.548 €
b) 13.458 €
c) 13.558 €
d) Las otras opciones son falsas.
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6
Ejercicio 11
Un decisor dispone de la siguiente matriz de decisiones donde se representan los beneficios
originados como consecuencia de dos posibles decisiones:
θ1
θ2
a1
4
2
a2
1
3
Conoce las probabilidades de los estados de la naturaleza P (θ1 ) = 0 ' 4 y P (θ 2 ) = 0 '6 .
En función del principio de preferencia absoluta o dominancia estocástica, si 3 ≤ x < 4 , ¿cuál será su
decisión?
a) Prefiere la alternativa a1 a la alternativa a2 .
b) Las dos alternativas son indiferentes.
c) Prefiere la alternativa a2 a la alternativa a1 .
d) Las otras opciones son falsas.
Ejercicio 12
Un inversor se plantea realizar una operación financiera en el mercado español o en el francés. El
beneficio en ambos casos depende de la situación del mercado: al alza o a la baja. En el caso
español ambas circunstancias se dan con la misma probabilidad y obtendría 150.000 € si el mercado
esta en alza y 90.000 € si está en baja. En cambio, en el francés, la probabilidad de alza es de un 0’4
y conseguiría 180.000€ y si el mercado está en baja obtendría 60.000€.
Este inversor puede consultar a un experto en el mercado financiero español que le aseguraría en
qué situación se encuentra éste ¿Cuánto estaría dispuesto a pagarle?
a) Pagará al experto como máximo 8.000€.
b) Pagará al experto como máximo 29.000€.
c) Nada, no pagaría al experto porque no le interesa la información.
d) Las otras opciones son falsas
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SEMESTRE
7
SOLUCIÓN A LA PRÁCTICA
Ejercicio 1
Función de utilidad u ( x) = x3 − 2
Función de utilidad normalizada
v(1) = 0 →

v(2) = 1 →
v( x) =
si 1 ≤ x ≤ 2
v( x) = a ⋅ u ( x) + b
v(1) = a ⋅ u (1) + b = 0 

v(2) = a ⋅ u (2) + b = 1
1 3
1
⋅ ( x − 2) +
⇒
7
7
v( x) =
a ⋅ (−1) + b = 0  a = b

a ⋅ 6 + b = 1  7a = 1 ⇒ a = 1 7 , b = 1 7
x3 1
−
7 7
Solución correcta b
Ejercicio 2
Alternativas :
Estados de la naturaleza :
 Inversión en A

 Inversión en B
θ1 = La cotización del euro respecto del dolar sube, P(θ1 ) = 0 '3

θ 2 = La cotización del euro respecto del dolar baja, P(θ 2 ) = 0 '7
 300 200 
A=

 0'3 0 '7 
 500 100 
B=

 0 '3 0 '7 
u ( x) = x 2 − x + 2
u ( A) = u (3) ⋅ 0 '3 + u (2) ⋅ 0 '7 = 5'2
u ( B) = u (5) ⋅ 0 '3 + u (1) ⋅ 0 '7 = 8
Prefiere la inversión B

 ⇒ u ( B) > u ( A) ⇒ B ≻ A

Solución correcta b
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8
Ejercicio 3
Función de utilidad de Javier :
u ( x ) = 2 x3 + x , 1 < x < 3
u′( x) = 6 x 2 + 1 > 0 si 1 < x < 3
u′′( x) = 12 x > 0
si 1 < x < 3 ⇒ u ( x ) Es convexa ⇒ Javier es propenso al riesgo
Función de aversión r1 ( x) =
−u′′( x) −12 x
= 2
u′( x)
6x +1
Función de utilidad de Pedro : v ( x ) = x 2 + 3 x
, 1< x < 3
v′( x) = 2 x + 3 ≥ 0 si 1 < x < 3
v′′( x) = 2 > 0 ⇒ v ( x ) Es convexa ⇒ Pedro es propenso al riesgo
Función de aversión r2 ( x) =
−v′′( x)
−2
=
v′′( x) 2 x + 3
Comparamos para 1 < x < 3
−24

r1 (2) = 25 = −0 '96
si x = 2 ⇒ 
r (2) = −2 = −0 '28
 2
7
r1 ( x) < r2 ( x) ⇒ Javier es menos averso al riesgo que Pedro
Javier es más propenso al riesgo que Pedro
Solución correcta c
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9
Ejercicios 4 y 5
Alternativas :
Estados de la naturaleza :
θ1 = Hace como máximo 20.000 km al año

θ 2 = Supera los 20.000 km al año
a1 = Compra el modelo gasolina

a2 = Compra el modelo diesel
Matriz de costes:
θ1
θ2
a1
3.000
3.350
a2
3.100
3.200
4)
Criterio de Hurwicz
α = 0 '4 Coeficiente de pesimismo relativo
ai → Ci = α ⋅ mi + (1 − α ) ⋅ M i
a1 → C1 = 0 ' 4 ⋅ 3.350 + 0 '6 ⋅ 3.000 = 3.140

 ⇒ C1 = C2 ⇒ a1 ∼ a2

a2 → C2 = 0 '4 ⋅ 3.200 + 0 '6 ⋅ 3.100 = 3.140
Las alternativas son indiferentes
Solución correcta c
5)
Criterio de Savage
Matriz de costes:
θ1
θ2
a1
3.000
3.350
a2
3.100
3.200
rj
3.000
3.200
Matriz de costes de oportunidad: rj − rij
θ1
θ2
mi
a1
0
150
150
a2
100
0
100
Aplicamos el criterio de Wald pesimista
Mínimo {150, 100} = 100 ⇒ Óptima a2
Prefiere el modelo diesel
Solución correcta b
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10
Ejercicios 6, 7, 8, 9 Y 10
Alternativas :
Estados de la naturaleza :
a1 = Colabora con un equipo externo

a2 = Personal de la propia empresa
θ1 = Número bajo de proyectos concedidos P(θ1 ) = 0 '8

θ 2 = Número elevado de proyectos concedidos P(θ 2 ) = 0 '2
Matriz de beneficios (en miles de euros)
θ1
θ2
a1
16
12
a2
12
14
6)
Análisis “a priori”:
E  a1  = 16 ⋅ 0 '8 + 12 ⋅ 0 '2 = 15'2
E  a2  = 12 ⋅ 0 '8 + 14 ⋅ 0 '2 = 12 '4


 Alternativa óptima a1
 CVM⇒ 
 R E R = 15'2 ⇒ 15.200 €

El empresario colaborar con un equipo externo con un beneficio esperado de 15.200 €.
Solución correcta a
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Información imperfecta: consultora de Administraciones Públicas.
 X 1 = Información de la consultora de un número de proyectos bajo

 X 2 = Información de la consultora de un número de proyectos elevado
Verosimilitudes :
P 

X2

 X1
θ 2  = 0 '90 ⇒ P 


θ 2  = 0 '10 
X
X
P  1  = 0 '80 ⇒ P  2  = 0 '20
θ

1
 θ1 



7)
Si se da la información X 1 = Información de la consultora de un número de proyectos bajo :
θj
P(θ j )
P ( X 1 θ j ) P (θ j ) ⋅ P ( X 1 θ j )
θ1
0’8
0’80
0’64
θ2
0’2
0’10
0’02
P (θ j X 1 )
64
66
2
P (θ 2 X 1 ) =
66
P (θ1 X 1 ) =
P( X 1 ) = 0 '66
Probabilidad de que la consultora informe al empresario de que el número de proyectos es bajo
P( X 1 ) = 0 '66
Solución correcta a
8)
Análisis “a posteriori”:
Si se da la información X 1 = Información de la consultora de un número de proyectos bajo :
θj
P(θ j )
P ( X 1 θ j ) P(θ j ) ⋅ P ( X 1 θ j )
θ1
0’8
0’80
0’64
θ2
0’2
0’10
0’02
P (θ j X 1 )
64
66
2
P (θ 2 X 1 ) =
66
P (θ1 X 1 ) =
P( X 1 ) = 0 '66
640
20
E  a1 X 1  = 16 ⋅
+ 12 ⋅
= 15'8787
660
660
640
20
E  a2 X 1  = 12 ⋅
+ 14 ⋅
= 12 '0606
660
660

Si se da X 1 ⇒ Óptima a1

 C.V.M. ⇒
E  a1 X 1  = 15'8787


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Si se da la información X 2 = Información de la consultora de un número de proyectos elevado :
θj
P(θ j )
P ( X 2 θ j ) P(θ j ) ⋅ P ( X 2 θ j )
θ1
0’8
0’20
0’16
θ2
0’2
0’90
0’18
P (θ j X 2 )
16
34
18
P (θ 2 X 2 ) =
34
P (θ1 X 2 ) =
P( X 2 ) = 0 '34
16
18
E  a1 X 2  = 16 ⋅ + 12 ⋅ = 13'8823
34
34
16
18
E  a2 X 2  = 12 ⋅ + 14 ⋅ = 13'05
34
34

Si se da X 2 ⇒ Óptima a1

 C.V.M. ⇒
E  a1 X 2  = 13'8823


Resultado esperado información imperfecta, R E I I
E [ X ] = 15'8787 ⋅ 0 '66 + 13'8823 ⋅ 0 '34 = 15 '19999
E [ X ] = 15 '19999
Análisis “pre-a posteriori”:
Valor información imperfecta, V I I
V [ X ] = E [ X ] − R. E. R. = 15 '19999 − 15 ' 20 = 0 ⇒ Solución correcta c
9) Información perfecta: “información sobre el número exacto de proyectos que se van a conceder
este año”.
Matriz de beneficios:
θ1
θ2
a1
16
12
a2
12
14
Si se da θ1 ⇒ máximo {16 ,12} = 16
Si se da θ 2 ⇒ máximo {12 ,14} = 14
Resultado esperado información perfecta.
R E I P = 16 ⋅ 0 '8 + 14 ⋅ 0 '2 = 15'6
R E I P = 15'6 ⇒ 15.600 €
Solución correcta b
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13
10)
Regla de decisión aleatorizada:
ψ:
X = { X1, X 2}
→
A'
a2 
 a
→ ψ ( X 1 ) = a1' =  1

bajo deproyectos alaño
 0 '4 0 '6 
a2 
Se concedeunnúmero
 a
X2 =
→ ψ ( X 1 ) = a2' =  1

elevado deproyectos alaño
 0 '5 0 '5 
X1 =
Se concedeunnúmero
Función de pagos:
f ( a1′,θ1 ) = 16 ⋅ 0 '4 + 12 ⋅ 0 '6 = 13'6


f ( a1′,θ 2 ) = 12 ⋅ 0 '4 + 14 ⋅ 0 '6 = 13'2 
f ( a2′ ,θ1 ) = 16 ⋅ 0 '5 + 12 ⋅ 0 '5 = 14 

f ( a2′ ,θ 2 ) = 12 ⋅ 0 '5 + 14 ⋅ 0 '5 = 13 
θ1
θ2
a1′
13’6
13’2
a2′
14
13
Función de riesgo:
R ( Ψ ( X ) ,θ1 ) = f ( Ψ ( X 1 ) ,θ1 ) ⋅ P ( X 1 θ1 ) + f ( Ψ ( X 2 ) ,θ1 ) ⋅ P ( X 2 θ1 ) = 13'6 ⋅ 0 '8 + 14 ⋅ 0 '2 = 13'68
R ( Ψ ( X ) ,θ 2 ) = 13'2 ⋅ 0 '10 + 13 ⋅ 0 '9 = 13'02
Riesgo medio Bayes
R ( Ψ ( X ) ) = 13'68 ⋅ 0 '8 + 13'02 ⋅ 0 '2 = 13'548
R ( Ψ ( X ) ) = 13'548 ⇒ 13.548 €
Solución correcta a
Ejercicio 11
Matriz de beneficios. Aplicamos el criterio de dominancia estocástica
θ1
θ2
a1
4
2
a2
1
3
P (θ1 ) = 0 '4, P (θ 2 ) = 0 '6 con 3 ≤ x < 4
Función de distribución :
F1 ( x ) = P ( r1 ≤ x ) = 0 '6 
 (C.F.) Mínimo ⇒ a1 Domina estocásticamente a a2
F2 ( x ) = P ( r2 ≤ x ) = 1 
Solución correcta a
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14
Ejercicio 12
Condiciones favorables
Alternativas :
Estados de la naturaleza :

θ1 = Mercado español al alza P(θ1 ) = 0 '5

 a1 = Opera en el mercado español
θ 2 = Mercado español a la baja P(θ 2 ) = 0 '5




θ = Mercado francés al alza P(θ3 ) = 0 '4
 a = Opera en el mercado francés  3
2

θ 4 = Mercado francés a la baja P(θ 4 ) = 0 '6
C.V.M
Máximo
a1
θ1
120.000
θ2
120.000
a2
θ3
108.000
θ4
0’5
150.000
0’5
90.000
0’4
180.000
0’6
60.000
Óptima a1 = Opera en el mercado español, R E R = 120.000€
Información perfecta parcial: consulta a un experto en el mercado financiero español.
Si se da θ1 ⇒ máximo {150.000 ,108.000} = 150.000
Si se da θ 2 ⇒ máximo {90.000 ,108.000} = 108.000
Resultado esperado información perfecta parcial.
R E I P P = 150.000 ⋅ 0 '5 + 108.000 ⋅ 0 '5 = 129.000
R E I P P = 129.000 €
Valor esperado información perfecta parcial
V E I P P = R E I P P - R E R = 129.000 − 120.000 = 9.000
V E I P P = 9.000 €
Solución correcta d
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