Introducción a la Dinámica de la Partı́cula. José Marı́a Rico Martı́nez Departamento de Ingenierı́a Mecánica Facultad de Ingenierı́a Mecánica, Eléctrica y Electrónica Universidad de Guanajuato. Salamanca, Gto. 36730, México August 6, 2009 Abstract Estas notas tienen por objetivo enfatizar los conceptos fundamentales que se aplican en el estudio de la Dinámica de la Partı́cula. De modo que el lector centre su atención en esos fundamentos y no se pierda en los detalles, no tan importantes, que se necesitan para “resolver” problemas. 1 Fundamentos de la dinámica de la partı́cula. La Dinámica se define como aquella parte de la fı́sica que estudia la relación entre el movimiento de las partı́culas y cuerpos y el tiempo, además, la dinámica estudia la relación con las fuerzas aplicadas a las partı́culas y cuerpos. La dinámica emplea dos modelos para estudiar los objetos fı́sicos, la partı́cula y el cuerpo rı́gido. El diccionario de la real academia española propone la siguiente definición de una partı́cula Definición: Partı́cula. Parte pequeña de materia. Debemos añadir, inicialmente, que para propósitos de la cinemática, la partı́cula es tan pequeña que es imposible observar un movimiento de rotación. La rotación es un fenómeno que depende de la orientación de las lı́neas del objeto, de modo que si es imposible dibujar lı́neas en el objeto es imposible determinar si el objeto ha sufrido una rotación. Por otro lado, un cuerpo rı́gido se define como Definición: Cuerpo Rı́gido. Un cuerpo rı́gido es una agrupación, usualmente continua, de partı́culas con una propiedad fundamental: La distancia entre dos partı́culas cualesquiera del cuerpo rı́gido permanece invariable; es decir, constante. Otra manera de definir un cuerpo rı́gido es indicar que es un cuerpo que no admite deformación alguna; es decir, es indeformable. Sin embargo, desde el punto de vista de la cinemática, una partı́cula es un objeto, cuyas dimensiones no son importantes, pero en el cual no existe rotación alguna o bien donde la rotación no es importante para el análisis del fenómeno a estudiar. Por el contrario, un cuerpo rı́gido es un objeto indeformable para el cual el movimiento de rotación es importante para el análisis del fenómeno a estudiar. Evidentemente, la palabra importancia es la clave de esta distinción, pero al mismo tiempo importancia es un término subjetivo que depende del conocimiento y experiencia de la persona que realiza el análisis. A continuación, se presentan dos ejemplos para clarificar este punto 1 1. Considere un avión, si el objetivo del análisis es determinar el tiempo que el avión requiere para llegar de una ciudad a otra, tomando en cuenta las trayectorias, no siempre rectas, que el avión debe tomar al despegar, al orientarse para aterrizar o al evitar una tormenta eléctrica, el objeto, en este caso un avión, de dimensiones considerables, puede considerarse como una partı́cula. Si por el contrario, el objetivo del análisis es determinar la rotación que sufre el avión cuando aterriza bajo la influencia de una tormenta y la posibilidad de que las alas del avión, impacten la pista y provoquen un accidente, es entonces evidente que el mismo objeto, el avión, debe considerarse como un cuerpo rı́gido.1 2. Considere ahora un auto deportivo, si el objetivo del análisis es determinar a que velocidad el auto se “despistará”, es decir, se saldrá de la pista, sin voltearse, al tomar una curva, el objeto, en este caso el auto, puede considerarse como una partı́cula. Si por otro lado, el objetivo del análisis es estudiar la posibilidad de que el auto se vuelque al tomar otra curva, el mismo objeto, el auto, debe considerarse como un cuerpo rı́gido.2 A grandes rasgos, los temas que se estudiarán en la dinámica de las partı́culas son: 1. Cinemática de las partı́culas. La cinemática estudia las relaciones entre la posición de la partı́cula y el tiempo, incluyendo sus derivadas; es decir, la velocidad y la aceleración de la partiı́cula. Esta parte de la dinámica es puramente matématica y no requiere de la aplicación de ley fı́sica alguna. La cinemática de la partı́cula se divide en los siguientes temas (a) Traslación rectilı́nea. (b) Traslación curvilı́nea. • En – – – • En – – – el plano. Coordenadas cartesianas. Componentes normal tangencial. Coordenadas radial transversal. el espacio. Coordenadas cartesianas. Coordenadas cilı́ndricas. Coordenadas esféricas. 2. Cinética de las partı́culas. La cinética estudia la relación entre las fuerzas aplicadas a una partı́cula y el movimiento resultante. Está parte de la dinámica requiere la aplicación de leyes fı́sicas, en particular la segunda ley de Newton y se divide en los siguientes temas (a) Aplicación de la segunda Ley de Newton para determinar el movimiento de una partı́cula cuando está sujeta a una fuerza o a un conjunto de fuerzas. (b) Aplicación del método del trabajo y la energı́a al movimiento de una partı́cula. (c) Aplicación del método del impulso y el ı́mpetu al movimiento de una partı́cula. Ahora dirigiremos nuestra atención a la cinemática de la partı́cula, si como se estableció, el objetivo de la cinemática de la partı́cula es estudiar las relaciones entre la posición de la partı́cula y el tiempo, incluyendo sus derivadas; es decir, la velocidad y la aceleración de la partı́cula. 1 Aún mas, en algunos casos, como cuando se analiza la vibración de las alas del avión debido a las turbulencias generadas por el estado del clima a una altura muy elevada, el mismo objeto, el avión, deberá modelarse como un cuerpo deformable. 2 Nuevamente, si el objetivo del análisis es determinar los efectos del impacto del auto, aun cuando sea a baja velocidad, el auto debera modelarse como un cuerpo deformable. 2 Entonces, es necesario un sistema de referencia con respecto al cual describir y estudiar esas relaciones. Mas aún, la descripción de esas relaciones depende del sistema de referencia empleado. A continuación se define el concepto de un sistema de referencia de manera explı́cita. Definición: Sistema de Referencia. Un sistema de referencia es una persona con una regla y un reloj. La regla y el reloj de la persona le permiten —aquı́ el lector debe usar la imaginación— observar y cuantificar el movimiento de una o varias partı́culas, de manera que si una partı́cula arbitraria se denomina P , la persona es capaz de determinar la función vectorial rP , como función del tiempo; es decir, (1) rP = rP (t), donde el vector rP , conocido como vector de posición de la partı́cula P , va desde un origen predeterminado por la persona, por ejemplo, el centro de su mano, a la partı́cula P . Es importante señalar que en el concepto de sistema de referencia no existe indicación alguna acerca del tipo de sistema coordenado empleado por la persona, que define el sistema de referencia, para descomponer el vector.3 En otras palabras, la persona está en libertad de emplear coordenadas cartesianas, cilı́ndricas o esféricas. Vea la figura 1. Figure 1: Sistema de Referencia con Tres Posibles Sistemas Coordenados. Dependiendo del estado de movimiento de la persona que define el sistema de referencia, es posible clasificar los sistemas de referencia en 1. Sistemas de referencia fijos 2. Sistemas de referencia móviles (a) Sistemas de referencia sujetos a movimiento de traslación. (b) Sistemas de referencia sujetos a movimiento de rotación. 3 Desafortunadamente, como los sistemas coordenados cartesianos son los mas frecuentemente usados, los estudiantes de la cinemática asumen, de inmediato y de manera errónea, que un sistema de referencia implica necesariamente el empleo de coordenadas cartesianas. 3 (c) Sistemas de referencia sujetos a movimiento general, una combinación de traslación y rotación. Dependiendo de si la persona está en reposo o en movimiento y si ese movimiento es de traslación, rotación o una combinación de ambos. Inicialmente, emplearemos sistemas de referencia fijos y después sistemas de referencia sujetos a movimiento de traslación. Puesto que en la cinemática de la partı́cula no se analiza movimiento de rotación, parecerı́a lógico suponer que en la cinemática de las partı́culas no se emplean sistemas de referencia sujetos a rotación; no obstante, los sistemas de referencia sujetos a rotación aparecen también en el estudio de la cinemática y cinética de la partı́cula. 2 La cinemática de partı́culas sujetos a movimiento de traslación rectilı́nea. En esta sección se analizará la cinematica de las partı́culas sujetas a movimiento de traslación rectilı́nea. Como se indicó en la sección 1, el objetivo de la cinemática de las partı́culas es el estudio de las relaciones entre la posición de la partı́cula y el tiempo, incluyendo sus derivadas; es decir, la velocidad y la aceleración de la partı́cula. Para tal fin, debemos seleccionar un sistema de referencia, fijo, con el objeto de conocer el vector de posición de la partı́cula P como función del tiempo; es decir, vea la ecuación (1), dada por rP = rP (t), Sin embargo, si el movimiento de una partı́cula es rectilı́neo, es posible dejar de lado el caracter vectorial de la ecuación (1), y seleccionando el origen asociado al sistema de referencia fijo un punto a lo largo de la trayectoria, recta, de la partı́cula, escribir sP = sP (t). (2) donde sP determina la posición de la partı́cula respecto al origen del sistema de referencia, que en este caso, debe indicar una dirección de la lı́nea que se considerará positiva, vea la figura 2. Es pues evidente que una partı́cula sujeta a movimiento de traslación rectilı́nea tiene un grado de libertad, pues para determinar la posición de la partı́cula, es unicamente necesario conocer la variable sP . Figure 2: Sistema de Referencia en Traslación Rectilı́nea. Entonces, es posible definir las dos tareas principales de la cinemática de partı́culas sujetas a traslación rectilı́nea: 1. Análisis del movimiento de una partı́cula sujeto a traslación rectilı́nea. Es decir, a partir de la ecuación sP (t), determinar la velocidad, vP (t), y la aceleración, aP (t), de la partı́cula, entre otras cosas. 4 2. Derivación de la ecuación de movimiento de una partı́cula sujeto a traslación rectilı́nea. Es decir, a partir de la ecuación de la aceleración de la partı́cula, aP (t), determinar la ecuación de movimiento de la partı́cula, sP (t). 2.1 Análisis del movimiento de una partı́cula sujeto a traslación rectilı́nea. Considere una partı́cula, P , cuyo movimiento de traslación rectilı́nea está representado, respecto a un sistema de referencia, por la ecuación (2) sP = sP (t). Entonces, la velocidad de la partı́cula, P , estará dada por vP (t) = d sP (t) = ṡP (t), dt (3) y la aceleración de partı́cula, P , estará dada por aP (t) = 2.2 d2 sP (t) d vP (t) = = s̈P (t). dt d t2 (4) Derivación de la ecuación de movimiento de una partı́cula sujeto a traslación rectilı́nea. En esta sección supondremos que conocemos la ecuación de la aceleración de una partı́cula, aP = aP (t), y a partir de esta ecuación trataremos de encontrar la ecuación de movimiento del sistema; es decir sP = sP (t). En el caso mas general, la aceleración puede ser una función del tiempo, de la posición y de la velocidad; es decir d sP (t) d2 sP (t) aP = aP (t, sP , vP ) = aP t, sP (t), . (5) = dt d t2 La ecuación (5) representa una ecuación diferencial de segundo orden, que puede ser no lineal, y que en general no tiene una solución en forma cerrada, pero que si satisface las condiciones de existencia y unicidad de la ecuación diferencial, tiene una solución que puede obtenerse de forma numérica. Esta ecuación diferencial se escribe, de manera genérica, como d sP (t) d2 sP (t) = a (t), t, s . (6) P P d t2 dt Como un ejemplo de solución numérica de estos problemas de la cinemática de una partı́cula c , mostrado en la figura 3, que sujeta a traslación rectilı́nea, considere el programa Simulink representa la solución del siguiente problema de cinemática de una partı́cula sujeta a traslación rectilı́nea donde su aceleración está dada por d sP (t) d2 sP (t) − 25 sP (t) = 5 − t2 − 2 sen(t) d t2 dt (7) sujeta a las condiciones iniciales, para t = 0, d sdP t(0) = 0 y sP (0) = 2. Es importante notar que la ecuación diferencial no es lineal, y muy probablemente, esta ecuación diferencial no tiene solución c es, fundamentalmente, un programa para resolver en forma cerrada. El programa Simulink 5 c para la Solución de un Problema de Traslación Rectilı́nea. Figure 3: Programa Simulink numericamente ecuaciones diferenciales ordinarias. La siguiente figura, 4, muestra los resultados de este problema A continuación, se presentarán tres casos especiales, que permiten encontrar la solución en forma cerrada. Sin embargo, el método numérico mostrado en el ejemplo anterior puede emplearse para verificar la solución de en forma cerrada obtenida mediante los métodos ilustrados a continuación. 1. La ecuación de la aceleración es función exclusiva del tiempo. En este caso aP = aP (t). (8) Sujeto a las condiciones iniciales, para t = 0, vP (t) = vP 0 y sP (t) = sP 0 . La ecuación (8) puede escribirse como d vP = aP (t), o d vP = aP (t) d t. (9) dt 10 5 8 0 6 −5 4 Desplazamiento, u.l. Velocidad, u.l./u.t. −10 2 0 −2 −15 −20 −25 −4 −30 −6 −35 −8 −10 0 5 10 15 Tiempo, segundos 20 25 −40 30 0 5 10 15 Tiempo, segundos Figure 4: Solución de un Problema de Traslación Rectilı́nea. 6 20 25 30 e integrando, respecto al tiempo, se tiene que vP (t) = aP (t) d t + C1 , (10) donde C1 es una constante de integración, que se determina por medio de la condición inicial, para t = 0, vP (t) = vP 0 . Suponga que después de encontrar el valor de C1 , se tiene que vP = vP (t) (11) La ecuación (11) puede escribirse como d sP = vP (t), o d sP = vP (t) d t. dt e integrando, respecto al tiempo, se tiene que sP (t) = vP (t) d t + C2 , (12) (13) donde C2 es una constante de integración, que se determina por medio de la condición inicial, para t = 0, sP (t) = sP 0 . Después de encontrar el valor de C2 , se tiene que sP = sP (t) (14) 2. La ecuación de la aceleración es función exclusiva de la velocidad. En este caso aP = aP (v). (15) Sujeto a las condiciones iniciales, para t = 0, vP (t) = vP 0 y sP (t) = sP 0 . La ecuación (15) puede escribirse como d vP d vP = aP (vP ), o = d t. (16) dt aP (vP ) e integrando, respecto al tiempo, se tiene que d vP t= + C1 , (17) aP (vP ) Sustituyendo la condición inicial t = 0, vP (t) = vP 0 , es posible conocer la constante de integración C1 . De manera que es, al menos teoricamente posible, escribir la siguiente ecuación t = f (vP ) suponga, que de esta ecuación es posible despejar vP , entonces, es posible escribir vP = f −1 (t) (18) Por lo que, finalmente, la ecuación (18), puede espresarse como d sP = f −1 (t), o d sP = f −1 (t) d t. dt Finalmente, integrando respecto al tiempo, se tiene que sP = f −1 (t) d t + C2 Sustitiyendo la condición inicial para t = 0 sP (t) = sP 0 , es posible determinar la constante de integración C2 y escribir sP = h(t). (19) 7 3. La ecuación de la aceleración es función exclusiva de la posición. En este caso aP = aP (s). (20) Sujeto a las condiciones iniciales, para t = 0, vP (t) = vP 0 y sP (t) = sP 0 . A primera vista, este problema, aparece mucho mas complicado, pues, de inicio, la única relación que tenemos es la ecuación (4) d2 sP d vP aP = = d t2 dt Sin embargo, de la ecuación (3) d sP vP = dt Es posible escribir d sP dt = vP De manera que sustituyendo este último resultado, en la ecuación (4), se tiene que aP (s) = d vP d vP vP d vP = d sP = dt d sP v (21) P Integrando la ecuación, se tiene que, al menos teoricamente es posible escribir 1 2 aP (s) d sP = vP d vP o vP = aP (s) d sP + C1 2 Sustituyendo la condición inicial para vP (t) = vP 0 , sP (t) = sP 0 , se puede determinar la constante inicial C1 . Además, se tiene que vP = 2 aP (s) d sP + C1 de manera que, es posible integrar nuevamente y obtener d sP = dt 2 aP (s) d sP + C1 (22) Integrando, respecto al tiempo, la ecuación (22), se tiene que d sP + C2 t= 2 aP (s) d sP + C1 La condición inicial, para t = 0, sP (t) = sP 0 permite determinar la constante de integración C2 y resolver el problema. De modo que es, al menos teoricamente posible escribir t = g(sP ) o 8 sP = g −1 (t) (23) 3 Movimiento Uniforme y Movimiento Uniformemente Acelerado. Dentro de la cinemática de la partı́cula sujeto a movimiento de traslación rectilı́nea existen dos tipos especiales de movimiento que por su importanacia, requieren de un tratamiento aparte y detallado. Esos movimientos se denominan: 1. Movimiento Uniforme. Este movimiento se define como el movimiento de una partı́cula, P , sujeta a traslación rectilı́nea que ocurre con velocidad constante. 2. Movimiento Uniformemente Acelerado. Este movimiento se define como el movimiento de una partı́cula, P , sujeta a traslación rectilı́nea que ocurre con aceleración constante. A continuación, se analizan cada uno de estos movimientos 3.1 Movimiento Uniforme Si la velocidad de la partı́cula, P , es constante; es decir vP (t) = vP , donde vP es constante, sujeto a la condición inicial t = 0, sP (0) = sP 0 , se tiene que aP (t) = dvP dvP (t) = = 0. dt dt (24) La conclusión es que la aceleración de este movimiento es nula. Por otro lado, la posición de la partı́cula P , se determina integrando la ecuación, dado por d sP = vP (t) = vP , dt o d sP = vP d t. Integrando la ecuación, se tiene que sP = vP d t = vP t + C1 . Sustituyendo la condición inicial t = 0, sP (t) = sP 0 , se tiene que sP 0 = vP 0 + C1 , Por lo tanto C1 = sP 0 y, entonces sP (t) = sP 0 + vP t. (25) La gráfica 5 muestra las funciones para la velocidad y el desplazamiento de una partı́cula sujeta a movimiento uniforme. 3.2 Movimiento Uniformemente Acelerado Si la aceleración de la partı́cula, P , es constante; es decir aP (t) = aP , 9 Figure 5: Gráficas de la Velocidad y de la Posición para una Partı́cula Sujeta a Movimiento Uniforme. donde aP es constante, sujeto a la condición inicial t = 0, vP (0) = vP 0 y sP (0) = sP 0 , se tiene que aP (t) = dvP (t) = aP . dt (26) Por otro lado, velocidad de la partı́cula P , se determina integrando la ecuación, dado por d vP = aP , dt Integrando la ecuación, se tiene que o d vP = aP d t. vP (t) = aP d t = aP t + C1 . Sustituyendo la condición inicial t = 0, vP (0) = vP 0 , se tiene que vP 0 = aP 0 + C1 , por lo tanto C1 = vP 0 y, entonces vP (t) = vP 0 + aP t. (27) De manera semejante, posición de la partı́cula P , se determina integrando la ecuación (27), dada por d sP = vP 0 + aP t, o sP (t) = (vP 0 + aP t) d t. dt Integrando la ecuación, se tiene que 1 sP (t) = vP 0 t + aP t2 + C2 2 Sustituyendo la condición inicial t = 0, sP (0) = sP 0 , se tiene que 1 sP 0 = vP 0 0 + aP 02 + C2 , 2 por lo tanto C2 = sP 0 y, entonces 1 sP (t) = sP 0 + vP 0 t + aP t2 . 2 10 (28) Sin embargo, en este caso, es posible encontrar otra ecuación que relaciona la posición y la velocidad de la partı́cula. Recordando la ecuación (21) aP = vP d vP d sP sujeto a la condición inicial t = 0, vP (0) = vP 0 y sP (0) = sP 0 , entonces es posible integrar 1 aP d sP = vP d vP o aP sP = vP2 + C3 . 2 Entonces, sustituyendo la condición inicial vP (0) = vP 0 y sP (0) = sP 0 , se tiene que aP sP 0 = 1 2 v + C3 , 2 P0 1 por lo tanto C3 = aP sP 0 − vP2 0 2 La sustitución de esta constante arbitraria conduce a aP (sP − sP 0 ) = 1 2 vP − vP2 0 2 (29) Las ecuaciones (27, 28, 29) permiten analizar el movimiento de una partı́cula sujeto a movimiento uniformemente acelerado, las gráficas de la aceleración, velocidad y posición se muestran en la figura 6 Figure 6: Gráficas de la Velocidad y de la Posición para una Partı́cula Sujeta a Movimiento Uniformemente Acelerado. 4 Sistemas de Referencias Móviles. Hasta este punto, los únicos sistemas de referencia que hemos usado son sistemas de referencia fijos, sin embargo, el estudio de la cinemática de la partı́cula permite introducir de manera muy natural a sistemas de referencia móvil sujetos a traslación rectilı́nea. Considere la siguiente situación, suponga que dos autos de carrera, denominados A y B, están compitiendo entre sı́ a lo largo de una pista recta. Ambos autos están siendo observados desde una base fija, denominada C, sin embargo, el auto A que está perdiendo la carrera, también observa el movimiento del auto B que está ganando la carrera, vea la figura 7 11 Figure 7: Sistemas de Referencia, Fijos y Móviles, en Traslación Rectilı́nea. La base fija C, junto con una persona con regla y reloj, representa un sistema de referencia fijo, desde el cual se observa el movimiento de los autos A y B, mediante las ecuaciones sA (t) = sA (t) y sB (t) = sB (t) y mediante estas ecuaciones es posible determinar las velocidades y aceleraciones de los autos A y B respecto al sistema de referencia fijo representado por el punto C. Estas posiciones, velocidades y aceleraciones se denominan absolutas.. Por otro lado, el conductor del auto A junto con un reloj y una regla, puede analizar el movimiento del auto B respecto de si mismo, el desplazamiento está dado por (30) sB/A (t) = sB (t) − sA (t). A partir de esta ecuación, es posible determinar la velocidad y aceleración del auto B tal como lo percibe el conductor del auto A, la posición, velocidad y aceleración del auto B tal como lo observa el conductor del auto A se denominan la posición, velocidad y aceleración del auto B respecto a un sistema de referencia, sujeto a traslación rectilı́nea con la posición, velocidad y aceleración del carro A. Como esta descripción es demasiado largo, frecuentemente se abusa del lenguaje y se denominan la posición, velocidad y aceleración del auto B relativa al auto A. Derivando repetidamente la ecuación (30), se tiene que vB/A (t) = d sB/A (t) d sB (t) d sA (t) = − = vB (t) − vA (t) dt dt dt y (31) d2 sB/A (t) d2 sB (t) d2 sA (t) d vB (t) d vA (t) − = aB (t) − aA (t) = − = (32) d t2 d t2 d t2 dt dt Las cantidades vB/A (t) y aB/A (t) se denominan la velocidad, y la aceleración, del auto o partı́cula B relativa al auto o partı́cula A. Estas expresiones son un abuso del lenguaje y la determinación correcta debiera ser la velocidad, y la aceleración, del auto o partı́cula B tal como se observa desde un sistema de referencia móvil, sujeto a traslación, con una velocidad y aceleración igual a la del auto o partı́cula A. Obviamente, esta oración es demasiado larga y frecuentemente abusamos del lenguaje; sin embargo, habrá ocasiones en las cuales la expresión simplificada puede ocasionar confusión, de manera que debemos estar siempre alerta de esa posibilidad. aB/A (t) = 12 5 Movimientos Dependientes. Un último análisis necesario durante el estudio de la cinemática de partı́culas sujetas a traslación rectilı́nea, es el estudio de partı́culas cuyos movimientos no son independientes. Las direcciones de movimiento de las partı́culas pueden no ser iguales pero las partı́culas están conectadas por correas inextensibles que ocasionan que el movimiento de las partı́culas no sean independientes. Este tema permite una introducción elemental al concepto de grado de libertad de un sistema mecánico. Desafortunadamente, el número de posibles variaciones es tan grande que no permite un tratamiento unificado y en este caso, conviene ilustrar los conceptos mediante ejemplos especı́ficos. Considere el sistema mec anico mostrado en la figura 8, que consta de dos partı́culas sujetas amovimiento de traslación rectilı́nea pero que están conectados mediante una cuerda inextensible. Figure 8: Sistema de dos Partı́culas Sujetas a Movimientos Dependientes. La posición del sistema mecánico queda completamente determinada si se conocen las posiciones, o coordenadas, de las partı́culas A y B; es decir, sA y sB . Sin embargo, las posiciones de estas dos partı́culas no son independientes pues están conectadas por una cuerda inextensible, la longitud L de la cuerda puede escribirse en términos de las coordenadas d sA y sB está dada por L = (sB (t) − 2 a) + π r + (sB (t) − sA (t) − 2 a) + π r + (d − sA (t) − a) + π r + (d − sA (t) − a) = 2 sB (t) − 3 sA (t) + 2 d − 6 a + 3 π r (33) donde L, d, a y r son parámetros, y no varian con el tiempo. De este muy simple ejemplo, se puede deducir que el número de grados de libertad del sistema mecánico, denotado F , y definido como el número mı́nimo y suficiente de variables necesarias para determinar el estado, en este caso la posición del sistema, está dado por el número de variables menos el número de ecuaciones. Es decir F = V − E = 2 − 1 = 1, (34) donde V es el número de variables, sA (t), sB (t) y E es el número de ecuaciones, en este caso la ecuación (33). Derivando respecto al tiempo la ecuación (33), y puesto que la cuerda es inextensible, la longitud de la cuerda es constante, se tiene que 0= d sB (t) d sA (t) dL =2 −3 = 2vB (t) − 3vA (t). dt dt dt 13 (35) y d2 sB (t) d2 sA (t) d2 L = 2 − 3 = 2aB (t) − 3aA (t). (36) d t2 d t2 d t2 Estas ecuaciones, (35, 36), junto con las ecuaciones correspondientes al movimiento uniforme y movimiento uniformemente acelerado, permiten resolver las posibles incógnitas que puedan presentarse en estas situaciones. Es perfectamente posible, que una situación involucre al mismo tiempo movimientos dependientes y movimientos relativos, como muestra el sistema mecánico ilustrado en la figura 9. 0= Figure 9: Sistema de Cuatro Partı́culas Sujetas a Movimientos Dependientes. La posición del sistema mecánico está completamente determinado si se conocen las posiciones sA , sB , SC , y sD . Sin embargo, los cuatro cuerpos están unidos mediante tres cuerdas inextensibles cuyas longitudes están dadas por: 1. Cuerda 1, que une los cuerpos A y B. L1 = sA + sB − 2 a + π r. (37) 2. Cuerda 2, que une los cuerpos B y D. L2 = sB + 2 sD − 4 a + 2 π r. (38) 3. Cuerda 3, que une los cuerpos B, C y D. L3 = sC/B + sC/D − 2 a + d + π r = 2 sC − sB − sD − 2 a + d + π r, (39) donde d, a y r son parámetros, y no varian con el tiempo. Nuevamente, se puede deducir que el número de grados de libertad del sistema mecánico, denotado F , y definido como el número mı́nimo y suficiente de variables necesarias para determinar el estado, en este caso la 14 posición del sistema, está dado por el número de variables menos el número de ecuaciones. Es decir F = V − E = 4 − 3 = 1, (40) donde V es el número de variables, sA (t), sB (t), sC (t), sD (t) y E es el número de ecuaciones, en este caso las ecuaciones (37, 38, 39). Derivando las ecuaciones (37, 38, 39) repetidamente respecto al tiempo, se tiene que 0 = 0 = 0 = d sA (t) d sB (t) d L1 = +3 = vA (t) + vB (t) dt dt dt d sB (t) d sD (t) d L2 = +2 = vB (t) + 2 vD (t) dt dt dt d L3 d sC (t) d sB (t) d sD (t) =2 + − = 2 vC (t) + vB (t) − vD (t). dt dt dt dt (41) (42) (43) y 0 = 0 = 0 = d2 sA (t) d2 sB (t) d2 L1 = +3 = aA (t) + aB (t) 2 2 dt dt d t2 d2 L2 d2 sB (t) d2 sD (t) = + 2 = aB (t) + 2 aD (t) d t2 d t2 d t2 d2 L3 d2 sC (t) d2 sB (t) d2 sD (t) =2 + − = 2 aC (t) + aB (t) − aD (t). 2 dt d t2 d t2 d t2 (44) (45) (46) Estas ecuaciones, (41, 42, 43, 44, 45, 46 ), junto con las ecuaciones correspondientes al movimiento uniforme y movimiento uniformemente acelerado, permiten resolver las posibles incógnitas que puedan presentarse en estas situaciones. 6 Problemas Propuestos. Problema 1. El movimiento de una partı́cula se define mediante la relación s(t) = t3 −6 t2 +9 t+5, donde s se expresa en pies y t en segundos. Determine a) el momento para el cual la velocidad es 0, b) la posición, la aceleración y la distancia total recorrida cuando t = 5 s. Solución. Primeramente derivaremos con respecto al tiempo la ecuación de la posición para encontrar las ecuaciones de la velocidad y la aceleración. v(t) = y ds = 3 t2 − 12 t + 9 dt (47) d2 s dv = = 6 t − 12 (48) d t2 dt Por lo tanto, la posición, velocidad y aceleración de la partı́cula para t = 5s. están dados por s(5) = s = 25 f t. v(5) = v = 24 f t./s. a(5) = a = 18 f t./s2 a(t) = t=5 t=5 t=5 La gráfica de la posición como función del tiempo está dado por la figura 10 De la figura, puede observarse que la dirección del movimiento de la partı́cula cambia de dirección, por lo tanto, es necesario determinar los valores de tiempo para los cuales la velocidad se 15 60 50 40 Posicion s, ft 30 20 10 0 1 2 3 4 5 6 Tiempo t, s. Figure 10: Gráfica de la posición de la partı́cula versus el tiempo. hace 0, y el movimiento, puede, cambiar de dirección. Igualando la ecuación de la velocidad a 0, las raices de la ecuación son t1 = 1 s. y t2 = 3 s. Para determinar la distancia recorrida por la partı́cula durante el intervalo 0 ≤ t ≤ 5, se tiene que Δ(s) = |s(5) − s(3)|+|s(3) − s(1)|+|s(1) − s(0)| = |25 − 5|+|5 − 9|+|9 − 5| = 20f t.+4f t.+4f t. = 28 f t. Problema 2. La aceleración de una partı́cula se define mediante la relación √ a = −k v, donde k es constante. Si x = 0 y v = 25 f t/s para t = 0, y v = 12 f t/s. cuando x = 6 f t., determine a) la velocidad de la partı́cula cuando x = 8 f t., b) el tiempo requerido para que la partı́cula quede en reposo. Solución. Puesto que dv , a= dt se tiene que √ dv dv = −k v o 1 = −k d t. dt v2 16 Integrando la ecuación, se tiene que 1 √ v − 2 +1 = −k t + C1 = 2 v 1 −2 + 1 Para determinar la constante de integración C1 , sustituiremos la condición inicial v = 25 f t/s para t = 0, por lo tanto √ de donde C1 = 10. −k 0 + C1 = 2 25 = 10, La ecuación de la velocidad resulta4 √ 2 v = −k t + 10. Resolviendo para la velocidad, se tiene que v= 1 2 2 k t + 5 k t + 25 4 Integrando la velocidad con respecto al tiempo, se tiene que x= 1 2 3 5 2 k t + kt + 25 t + C2 , 12 2 donde C2 es otra constante de integración, para encontrar los valores de la constante de integracion C2 , se empleará la condición inicial x = 0 para t = 0, por lo tanto 0= 1 2 3 5 2 k 0 + k0 + 25 0 + C2 , 12 2 de donde C2 = 0. y la ecuación de la posición, se reduce a x= 1 2 3 5 2 k t + kt + 25 t 12 2 A fin de encontrar el valor de la constante k, es necesario emplear la condición frontera v = 12 f t/s. cuando x = 6 f t.. Primero se determinarán los valores del tiempo, para los cuales v = 12 f t/s., estos están dados por la solución de la ecuación 12 = 1 2 2 k t + 5 k t + 25 4 1 2 2 k t + 5 k t + 13 = 0. 4 o Los dos posibles soluciones de esta ecuación son t1,2 √ 10 ± 4 3 , = k donde la primera solución emplea el signo positivo y la segunda solución emplea el signo negativo. √ 3 1. Si se sustituye la primera solución t1 = 10+4 en la ecuación de la posición, de manera que k x = 6 f t., se obtiene la ecuación √ 2 √ √ 3 1 2 10 + 4 3 10 + 4 3 5 10 + 4 3 6= k + k + 25 12 k 2 k k 4 Desde el punto de vista matemático, no hay restricción alguna respecto a emplear se presentaria un problema de interpretación fı́sica. 17 √ 25 = −5, sin embargo, aquı́ simplificando la ecuación, se obtiene √ 2 −125 + 24 3 6= 3 k y la solución para la constante k resulta ser √ 125 8 3 k1 = − + 9 3 Sustituyendo este valor en las ecuaciones de velocidad y posición de la partı́cula se tiene que s1 (t) = v1 (t) = 17353 3 t + 972 17353 2 t + 324 500 3 √ t 3− 81 500 2 √ t 3− 27 625 2 20 2 √ t − t 3 + 25 t 18 3 40 √ 625 t− t 3 + 25 9 3 (49) (50) La gráfica de la velocidad v1 (t), está dada por la figura 11, a pesar de la cercania de la gráfica con el eje horizontal, puede probarse que la velocidad de la partı́cula nunca es 0. 20 Velocidad v, ft/s. 10 0 0.0 0.5 1.0 Tiempo t, s. Figure 11: Gráfica de la velocidad de la partı́cula, primera solución, respecto al tiempo. √ 3 2. Si se sustituye la segunda solución t2 = 10−4 en la ecuación de la posición, de manera que k x = 6 f t., se obtiene la ecuación √ 2 √ √ 3 1 2 10 − 4 3 10 − 4 3 5 10 − 4 3 6= k + k + 25 12 k 2 k k 18 simplificando la ecuación, se obtiene √ 2 125 + 24 3 6= 3 k y la solución para la constante k resulta ser √ 125 8 3 − k2 = 9 3 Sustituyendo este valor en las ecuaciones de velocidad y posición de la partı́cula se tiene que s2 (t) = v2 (t) = 17353 3 t − 972 17353 2 t − 324 500 3 √ t 3− 81 500 2 √ t 3− 27 625 2 20 2 √ t + t 3 + 25 t 18 3 40 √ 625 t+ t 3 + 25 9 3 (51) (52) La gráfica de la velocidad v2 (t), está dada por la figura 12, en este caso puede probarse que la velocidad es igual a 0 para los siguientes valores del tiempo t1 = 1.078723893 s., t2 = 1.078753224 s. (53) 10.0 7.5 Velocidad v, ft/s. 5.0 2.5 0.0 0.5 0.75 1.0 1.25 Tiempo t, s. Figure 12: Gráfica de la velocidad de la partı́cula, segunda solución, respecto al tiempo. √ 8 3 Puesto que en el primer caso, para el cual k1 = − 125 9 + 3 la velocidad nunca se hace igual a 0, debe entenderse que la solución buscada, por el problema, es la segunda. Entonces, ya es posible determinar que la velocidad se hace igual a 0 para t1 = 1.078723893 s. 19 12.5 10.0 Posicion s, ft. 7.5 5.0 2.5 0.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 Tiempo t, s. Figure 13: Gráfica de la posición de la partı́cula, segunda solución, respecto al tiempo. La gráfica de la posición s2 (t), está dada por la figura 13, Finalmente, substituyendo s2 (t) = 8 f t. y resolviendo para el tiempo, t, se tiene que t = 0.5617573873 s., y por lo tanto v2 = 5.741918929 f t/s. (54) (55) t=0.5617573873 s. Problema 3. La aceleración de una partı́cula está dada por a = −k s2 , donde a está en m/s2 , k es una constante y s está en m. Determine la velocidad de la partı́cula como una función de su posición s. Evalue la expresión para s = 5 m si k = 0.1m−1 s−2 y las condiciones iniciales para t = 0 se tiene que s0 = 3 m y v0 = 10 m/s. Solución. Puesto que la aceleración puede escribirse como a=v dv , ds se tiene que −k s2 = v dv , ds o − k s2 d s = v d v Integrando la ecuación, se tiene que 1 2 1 v = − k s3 + C1 , 2 3 20 donde C1 es una constante de integración que se determinará empleando las condiciones iniciales s0 = 3 m y v0 = 10 m/s. La sustitución de esta condición inicial conduce a 1 1 2 10 = − k 33 + C1 , 2 3 de donde C1 = 50 + 9 k de manera que la ecuación de la velocidad como función de la posición está dada por 1 2 1 v = − k s3 + 50 + 9 k, 2 3 Si además, se sustituye el valor de k = 1 10 , (56) se tiene que 1 2 1 1 9 509 v = − s3 + 50 + = − s3 + 2 30 10 30 10 o v2 = − 1 3 1018 s + 15 10 De modo que la ecuación de la velocidad, en términos de la posición, está dada por 1 1018 . v = ± − s3 + 15 10 (57) La gráfica de esta función cuando se toma el signo positivo, está dada por la figura 14 10.0 9.8 Velocidad v m/s. 9.6 9.4 0 1 2 3 4 5 6 Posicion s m. Figure 14: Gráfica de la velocidad de la partı́cula versus la posición. En particular, si s = 5 m, se tiene que v = ±9.667816m./s. Problema 4. Una partı́cula que se mueve en lı́nea recta encuentra una fuerza que frena su t movimiento y que ocasiona que su velocidad disminuya de acuerdo a la relación v(t) = 20 e− 10 f t/s. 21 donde t es el tiempo en segundos durante el cual la fuerza actúa. Determine la aceleración a de la partı́cula cuando t = 10s. y encuentre la distancia que la partı́cula ha recorrido durande ese intervalo de 10s.. Grafique v como función del tiempo t para estos 10 primeros segundos. Solución. Para encontrar la ecuación de la aceleración, es necesario derivar la ecuación de la velocidad como función del tiempo; es decir a(t) = d 1 1 d v(t) =− 20 e− 10 t = 2 e− 10 t dt dt De manera que la aceleración, para t = 10, está dada por 2 1 a(10) = a(t) = −2 e− 10 10 = −2 e−1 = − = −0.735758 e t=10 La gráfica de la velocidad como función del tiempo está dada por la figura 15, 20 15 Velocidad v, ft/s 10 5 0 5 10 15 20 Tiempo t, s. Figure 15: Gráfica de la velocidad de la partı́cula versus el tiempo. Finalmente, para determinar la distancia recorrida, se integrará con respecto al tiempo la ecuación de la velocidad, bajo las condiciones iniciales, para t = 0, s = 0. Puesto que la velocidad puede escribirse como t d s(t) = 20 e− 10 v(t) = dt entonces −1 t d s = 20 e− 10 d t o s(t) = −200 e 10 t + C1 donde C1 es una constante de integración que se determina a partir de las condiciones iniciales t = 0, s = 0, por lo que C1 = 200. 22 La ecuación de la posición de la partı́cula está dada por −1 s(t) = 200 1 − e 10 t . (58) La gráfica de la posición de la partı́cula como función del tiempo, está dada por la figura 16, 100 Posicion s, ft. 50 0 0.0 2.5 5.0 7.5 10.0 Tiempo t, s. Figure 16: Gráfica de la posición de la partı́cula versus el tiempo. Finalmente, puesto que la posición de la partı́cula es una función monotónica creciente, la distancia recorrida por la partı́cula, durante los primeros 10 segundos, es igual a la posición de la misma partı́cula para t = 10s., es decir −1 Δ(s) = s = 200 1 − e 10 10 = 200 1 − e−1 = 126.424f t. t=10 Problema 5. En una carrera de 400 m., un atleta acelera de modo uniforme durante los primeros 130 m y luego corre a velocidad constante. Si el tiempo del atleta para los primeros 130 m. es de 25 s. determine a) su aceleración, b) su velocidad final, c) el tiempo en que completa la carrera. Figure 17: Representación gráfica del problema 5. Solución. Una representación gráfica del problema se muestra en la figura 17, el movimiento sP1 (t) es uniformemente acelerado, mientras que el movimiento sP2 (t) es uniforme. La solución de estos problemas requiere de 23 1. Un sentido positivo en la dirección de la lı́nea recta asociada a la traslación rectilı́nea. 2. Un origen del sistema coordenado. 3. Un origen del tiempo. Para este problema, el sentido positivo es el mismo de la dirección de movimiento de la carrera5. El origen de posición se selecciona en el punto de partida de la carrera y el origen de tiempo se selecciona cuando el corredor empieza su movimiento. Entonces, es posible determinar las dos etapas de movimiento del atleta. 1. Primera etapa. Movimiento uniformemente acelerado. aP (t) = a. Condiciones iniciales, para t = 0, vP (0) = 0 y sP (0) = 0. Esta etapa finaliza cuando t = 25 s. y sP (25) = 130 m. 2. Segunda etapa. Movimiento uniforme. vP (t) = v. Condiciones iniciales, para t = 25 s. y sP (25) = 130 m. Esta etapa finaliza cuando sP (t) = 400 m. Entonces, es posible analizar la primera etapa del movimiento. Puesto que d vP (t) = aP (t) = a, se tiene que d vP (t) = a d t, dt y vP (t) = a t + C1 , esta constante de integración C1 , se obtendrá a partir de la condición inicial para t = 0, vP (0) = 0, por lo que 0 = vP (0) = a 0 + C1 , por lo tanto C1 = 0. y vP (t) = a t. Repitiendo el proceso de integración, se tiene que d sP (t) = vP (t) = a t se tiene que dt d sP (t) = a t d t, y 1 2 a t + C2 , 2 esta constante de integración C2 , se obtendrá a partir de la condición inicial para t = 0, sP (0) = 0, por lo que 1 0 = sP (0) = a 02 + C2 , por lo tanto C2 = 0. 2 y 1 sP (t) = a t2 . 2 sP (t) = 5 Esta selección supone implicitamente que la carrera ocurre en lı́nea recta y no en un óvalo, o bien que el ovalo se ha “convertido” en una lı́nea recta. 24 A partir de esta ecuación, es posible determinar el valor de la aceleración a partir de la condición t = 25 s. y sP (25) = 130 m., por lo tanto 130m. = 1 a (25 s.)2 2 por lo tanto a = 0.416 m/s2. Además, es posible determinar la velocidad con la que el atleta, finaliza la etapa de movimiento uniformemente acelerado, que es la velocidad constante de movimiento uniforme. m vP (25) = 0.416 2 (25 s.) = 10.4 m/s. s Entonces, es posible analizar la segunda etapa del movimiento del atleta. Como se indicó inicialmente, el movimiento es uniforme; es decir la velocidad es uniforme, y está dado por vP (t) = v = 10.4 m/s. Sujeto a las condiciones iniciales, para t = 25 s. y sP (25) = 130 m. Integrando la ecuación, se tiene que sP (t) = v t + C3 esta constante de integración C3 , se obtendrá a partir de la condición inicial para t = 25 s., sP (0) = 130 m., por lo que 130 m. = sP (25) = 10.4 m 25 s. + C3 , s por lo tanto C3 = −130 m. y m t − 130 m. s La carrera finalizará cuando sP (t) = 400 m., por lo tanto, el tiempo del atleta para la distancia de 400 m. es de 400 m. + 130 m. t= = 50.96 s. 10.4 m s sP (t) = 10.4 Problema 6. Dos automóviles A y B viajan en carriles adyacentes de una carretera y en t = 0 s. tienen las posiciones y velocidades que indica la figura 18. Si el automóvil A tiene una aceleración constante de 0.6 sm2 y B tiene una desaceleración constante de 0.4 sm2 , determine a) cuando y donde A alcanzará a B, b) la velocidad de cada automóvil en ese momento. Figure 18: Representación gráfica del problema 6. Solución. Los movimientos sA (t) y sB (t) son, ambos, uniformemente acelerados. Nuevamente, la solución de estos problemas requiere de 25 1. Un sentido positivo en la dirección de la lı́nea recta asociada a la traslación rectilı́nea. 2. Un origen del sistema coordenado. 3. Un origen del tiempo. Para este problema, el sentido positivo es el mismo de las velocidades iniciales de los automóviles. El origen de posición se selecciona en el posición inicial del automóvil A y el origen de tiempo se selecciona cuando la localización de los automóviles es la mostrada en la figura 18. Entonces, es posible determinar las ecuaciones de movimiento de los dos automóviles, ambos movimientos son uniformemente acelerados 1. Automóvil A aA (t) = aA = 0.6 m . s2 m Condiciones iniciales, para t = 0, vA (0) = vA0 = 15 km h = 4.16666 s y sA (0) = 0. 2. Automóvil B aB (t) = −0.4 m . s2 m Condiciones iniciales, para t = 0, vB (0) = vB0 = 23 km h = 6.38888 s y sB (0) = sB0 = 25 m.. Entonces, es posible analizar los movimientos de ambos automóviles. 1. Para el automóvil A. d vA (t) = aA (t) = aA dt se tiene que d vA (t) = aA d t, y vA (t) = aA t + C1 , esta constante de integración C1 , se obtendrá a partir de la condición inicial para t = 0, vA (0) = vA0 , por lo que vA0 = vA (0) = aA 0 + C1 , por lo tanto C1 = vA0 . y vA (t) = aA t + vA0 . Repitiendo el proceso de integración, se tiene que d sA (t) = vA (t) = aA t + vA0 dt se tiene que d sA (t) = (aA t + vA0 ) d t, y 1 aA t2 + vA0 t + C2 , 2 esta constante de integración C2 , se obtendrá a partir de la condición inicial para t = 0, sA (0) = 0, por lo que sA (t) = 0 = sA (0) = 1 aA 02 + vA0 0 + C2 , 2 por lo tanto C2 = 0. y sA (t) = 1 aA t2 + vA0 t. 2 26 2. Para el automóvil B. d vB (t) = aB (t) = aB dt se tiene que d vB (t) = aB d t, y vB (t) = aB t + C1 , esta constante de integración C1 , se obtendrá a partir de la condición inicial para t = 0, vB (0) = vB0 , por lo que vB0 = vB (0) = aB 0 + C1 , por lo tanto C1 = vB0 . y vB (t) = aB t + vB0 . Repitiendo el proceso de integración, se tiene que d sB (t) = vB (t) = aB t + vB0 dt se tiene que d sB (t) = (aB t + vB0 ) d t, y 1 aB t2 + vB0 t + C2 , 2 esta constante de integración C2 , se obtendrá a partir de la condición inicial para t = 0, sB (0) = sB0 , por lo que sB (t) = sB0 = sB (0) = 1 aB 02 + vB0 0 + C2 , 2 por lo tanto C2 = sB0 . y sB (t) = 1 aB t2 + vB0 t + sB0 . 2 El automóvil A alcanzará al automóvil B, cuando sA (t) = sB (t). Por lo tanto, se debe resolver la ecuación 1 1 aA t2 + vA0 t = sA (t) = sB (t) = aB t2 + vB0 t + sB0 2 2 o 1 (aA − aB ) t2 + (vA0 − vB0 ) t − sB0 = 0. 2 Las raices de esta ecuación, están dadas por 2 − (vA0 − vB0 ) ± (vA0 − vB0 ) − 4 12 (aA − aB ) (−sB0 ) t = 2 12 (aA − aB ) 2 − (vA0 − vB0 ) ± (vA0 − vB0 ) + 2sB0 (aA − aB ) = aA − aB − (4.16666 − 6.38888) ± (4.16666 − 6.38888)2 + 2 (25) (0.6 − (−0.4)) = 0.6 − (−0.4) 2 = 2.22214 ± −2.22214 + 50 = 2.22214 ± 7.41201. (59) 27 Puesto que los movimientos de ambos automóviles se han definido para cuando t ≥ 0, la solución deseada requiere el signo positivo y está dada por t1 = 9.63415 s. La posición en la que el automóvil A alcanza al automóvil B está dada por sA (t = 9.63415 s.) = m 1 m 0.6 2 (9.63415 s.)2 + 4.16666 9.63415 s. = 67.987 m. 2 s s donde esta posición está medida desde el origen indicado en la figura 18, que, en este caso, coincide con la posición original del automóvil A. Finalmente, las velocidades de los autos en el momento en que el automóvil A da alcance al automóvil B están dadas por vA (t = 9.63415 s.) = 0.6 m km m m . (9.63415 s.) + 4.16666 = 9.94715 = 35.809 s2 s s h y m km m m . (9.63415 s.) + 6.38888 = 2.53522 = 9.126 2 s s s h Es importante notar que este problema puede resolverse, de una manera alternativa, considerando el movimiento relativo del automóvil B cuando se observa desde un sistema de referencia sujeto a traslación con el movimiento del automóvil A. Las ecuaciones del movimiento relativo del auto B con respecto al sistema de referencia móvil, sujeta a traslación con una velocidad y una aceleración igual a la del auto A están dadas, vea sección 4, por vB (t = 9.63415 s.) = −0.4 sB/A (t) = sB (t) − sA (t) vB/A (t) = aB/A (t) = d sB/A (t) d sB (t) d sA (t) = − = vB (t) − vA (t) dt dt dt d2 sB/A (t) d2 sB (t) d2 sA (t) d vB (t) d vA (t) − = aB (t) − aA (t) = − = 2 2 2 dt dt dt dt dt Por lo tanto, las caracterı́sticas del movimiento del auto B respecto al sistema de referencia móvil asociado al auto A, están dadas por m m m aB/A (t) = aB (t) − aA (t) = −0.6 2 − 0.4 2 = −1.0 2 = aB/A s s s sujeto a las condiciones iniciales, para t = 0 s. vB/A (0) = vB (0) − vA (0) = vB0 − vA0 = 6.38888 m m m − 4.16666 = 2.22214 = vB/A0 . s s s y sB/A (0) = sB (0) − sA (0) = sB0 − sA0 = 25 m. − 0 m. = 25 m. = sB/A0 . Integrando la ecuación de la aceleración del auto B “relativa” al auto A y determinando las constantes de integración a partir de las condiciones iniciales, se tiene que sB/A (t) = 1 m m aB/A t2 + vB/A0 t + sB/A0 = −0.5 2 t2 + 2.22214 t + 25 m 2 s s (60) El auto A alcanzará al auto B cuando sB/A (t) = 0. De manera que es necesario resolver la siguiente ecuación cuadrática 0 = −0.5 m 2 m t + 2.22214 t + 25 m 2 s s 28 La solución de la ecuación está dada por 2 2.22214 m ± − 4 −0.5 sm2 (25 m) −2.22214 m m s s ± 7.41201 s. t= = 2.22214 s 2 −0.5 sm2 (61) De nueva cuenta, puesto que las ecuaciones de movimiento están definidas para t ≥ 0 s., la única solución con significado fı́sico es aquella con signo positivo. Por lo tanto t1 = 9.63415 s. El mismo resultado obtenido analizando los movimientos de los autos de manera independiente. Problema 7. Los collarines A y B, mostrados en la figura 19, inician su movimiento desde el reposo y se mueven con las siguientes aceleraciones aA = 2.5 t in/s2 hacia arriba y aB = 15 in/s2 hacia abajo. Determine a) el tiempo en que la velocidad del bloque C es de nuevo igual a cero, b) la distancia que se habrá movido el bloque C durante ese tiempo.6 . /|\+ | |______________ d0 ____ Figure 19: Representación gráfica del problema 7. Solución. Para resolver el problema haremos las siguientes selecciones: 1. Origen de posición, la intersección del eje de la guı́a del colları́n A con la lı́nea fija que, en instante ilustrado en la figura 19, coincide con la parte superior del colları́n A 2. Dirección positiva, como se indica en la figura 19. 3. Origen de tiempo, cuando ambos collarines inician su movimiento.7 Por otro lado, la ecuación de la longitud de la cuerda está dada por L = sA/B +sA/C +2 sB/C +C = (sA − sB )+(sA − sC )+2 (sB − sC )+C = 2 sA +sB −3 sC +C, (62) 6 Este es el problema 11.60 del libro Beer, F. P., Johnston, E. R. Jr. y Clausen, W. E. [2007], Mecánica Vectorial para Ingenieros: Dinámica, Ciudad de México: Mc Graw Hill 7 Es importante notar que el autor no indica explı́citamente que ambos collarines inician su movimiento simultaneamente. 29 donde C es la constante que incluye aquellas partes de la cuerda enrollada en las poleas o longitudes constantes de los collarines. Derivando la ecuación (62), se tiene que 0 = 2 vA + vB − 3 vC 0 = 2 aA + aB − 3 aC . (63) Las ecuaciones de movimiento de los collarines A y B, está dado por aA (t) = kA t in/s2 y aB (t) = kB , donde kA = 2.5 in/s3, y kB = −15 in/s2, sujeto a las condiciones iniciales Para t = 0, vA (0) = 0 in/s. sA (0) = 0 in. y vB (0) = 0 in/s. sB (0) = −d0 in. Integrando, las ecuaciones de la aceleración de ambos collarines con respecto al tiempo, se obtienen, después de determinar las constantes de integración, las ecuaciones de velocidad vA (t) = kA 2 t 2 y vB (t) = kB t Sustituyendo, estas ecuaciones en la ecuación (63), se obtiene la ecuación de la velocidad del bloque C, 1 2 vA + vB 1 kA 2 = t + kB t = kA t2 + kB t (64) vC (t) = 2 3 3 2 3 La ecuación para determinar los tiempos para los cuales la velocidad del bloque C está dada por 0 = vC (t) = 1 1 kA t2 + kB t = t (kA t + kB ) , 3 3 y los valores son t1 = 0 s. y t2 = − kB −15 in/s2 =− = 6 s. kA 2.5 in/s3 La ecuación (64) proporciona la velocidad del bloque C y está sujeta a la condición inicial, para t = 0 s., la posición inicial está dada por sC (0) = sC0 . Por lo tanto 1 1 1 1 1 3 2 kA t + kB t + sC0 = kA t3 + kB t2 + sC0 . sC (t) = 3 3 2 9 6 La posición del bloque C, para t = 6 s., está dada por sC (6) = = 1 1 1 1 kA (6 s.)3 + kB (6 s.)2 + sC0 = (2.5 in/s3) (6 s.)3 + (−15 in/s2) (6 s.)2 + sC0 9 6 9 6 −30 in + sC0 . (65) De manera que la distancia recorrida por el bloque C durante esos 6 primeros segundos, está dada por Δ sC = −30 in. Donde el signo negativo indica que el bloque C desciende. 30