Práctico 5 File - Universidad de la República

Universidad de la República
Facultad de Ciencias
Centro de Matemática
Geometría Diferencial–Curso 2015
Práctico 5
La fecha de entrega de este práctico es el 20 de Noviembre de 2015.
Teorema de Gauss-Bonnet
1. Sea S ⊂ R3 una superficie compacta de curvatura positiva en todo
punto. Probar que S es difeomorfa a una esfera.
2.
a) Probar que si S ⊂ R3 es una superficie compacta, entonces existe
un punto con curvatura positiva.
b) Probar que si S ⊂ R3 es una superficie de género mayor o igual
que uno, entonces tiene puntos de curvatura positiva, negativa y
cero.
Variedades
1. Sean ϕ : R → R tal que ϕ(x) = x3 , Aϕ el atlas maximal que contiene
a ϕ y consideremos la variedad (R, Aϕ ). Por otro lado, sea (R, A) el
espacio euclídeo de dimensión 1, con su estructura diferenciable habitual. Mostrar que (R, A) 6= (R, Aϕ ). Probar que, sin embargo, (R, A)
y (R, Aϕ ) son difeomorfos.
2. Sea (M, A) una variedad diferenciable. Determinar una estructura diferenciable en T M = {v : v ∈ Tx M, x ∈ M }.
3. Sean (M, A) una variedad diferenciable, G un grupo y G · M → M una
acción diferenciable, o sea, el mapa x 7→ g ·x : M → M es diferenciable,
∀ g ∈ G. Se dice que la acción es propiamente discontinua si ∀ x ∈ M ,
existe un entorno U de x tal que g(U ) ∩ U = ∅, ∀ g 6= e. Sea M/G
el conjunto de órbitas de la acción por G, y π : M → M/G el mapa
cociente.
a) Mostrar que es posible munir al espacio M/G de una estructura
diferenciable, compatible con la topología cociente en M/G, de
modo tal que π : M → M/G es un difeomorfismo local.
b) Mostrar que M/G es de Hausdorff si y sólo si ∀ x1 , x2 ∈ M tales
que π(x1 ) 6= π(x2 ) existen U1 , U2 entornos de x1 , x2 tales que
g(U1 ) ∩ U2 = ∅, ∀ g 6= e, y concluir que si se cumple esta última
condición, entonces M/G es una variedad diferenciable.
c) Probar que M/G es orientable si y solo si existe una orientación
en M que es preservada por todos los elementos de G.
4. Sea f : Rn → Rk suave y propia (i.e. preimagen de un compacto es compacto). Recordar que se puede definir S n = Rn ∪{∞} y S k = Rk ∪{∞}
de forma tal que los entornos de ∞ son los conjuntos cuyo complemento
es compacto. Mostrar que se puede dotar de una estructura diferenciable a S n y S k de forma tal que si definimos fˆ : S n → S k definiendo
fˆ(∞) = ∞ entonces fˆ es suave.
5. (Opcional) Mostrar que para cualquier variedad diferenciable compacta
M existe un encaje suave f : M → RN para algún N . (Sugerencia: Usar
particiones de la unidad con respecto a una familia finita de cartas
que cubran M .) Deducir que existe un encaje de M en R2m+1 donde
m = dim M .
6. Ejemplos de variedades.
a) Toro n-dimensional. Probar que el toro Tn , definido como Rn /Zn
(donde la acción está dada por z · x = z + x) es orientable.
b) Espacio proyectivo real de dimensión n.
Definimos la relación de equivalencia ∼ en Rn+1 −{0} como x ∼ y
si ∃λ 6= 0 tal que y = λx, y definimos RP n = (Rn+1 − {0})/ ∼. El
espacio proyectivo de dim=n representa el conjunto de las rectas
por el origen en Rn+1 . Probar que RP n es homeomorfo a S n / ∼
y usar el ejercicio anterior para munirlo de una estructura diferenciable. ¿Para cuáles valores de n es orientable?
Sugerencia: Observar que el mapa antipodal A : S n → S n es un
difeomorfismo que cumple que A2 = idS n . Esto permite definir
una acción de Z2 en S n .
c) Definimos la Banda de Möbius como R×[0, 1]/hT i, donde hT i es
el grupo (de transformaciones en el plano) generado por T (x, y) =
(x + 1, −y + 1). Probar que no es orientable.
d ) Definimos la Botella de Klein como R×S 1 /hT i, donde T (x, z) =
(x + 1, z̄). Probar que no es orientable.
e) Variedad de Grassmann. La variedad de Grassmann Gkn (R) es
el conjunto de los subespacios de dim=n en Rk , munido de una
cierta estructura diferenciable. Observando que el conjunto de los
planos que pasan por el origen en R3 está en biyección con el
de las rectas que pasan por el origen, determinar una estructura
diferenciable para el conjunto de los subespacios de dim=2 en R3 .
La variedad que resulta es G32 (R). Probar que es difeomorfa a
RP 2 .
7. Fibrados vectoriales. Un fibrado vectorial real de dimensión k es una
terna (E, X, π) donde E, X son variedades diferenciables, π : E → X
es una submersión y se cumple que:
∀ x ∈ X, Ex = π −1 (x) es un espacio vectorial real de dim=k cuyas
operaciones (suma y producto por escalares) son diferenciables.
∀ x ∈ X, existe un entorno U de x y un difeomorfismo ϕ :
π −1 (U ) → U × Rn tal que: si x0 ∈ U entonces ϕ(v) ∈ {x0 } × Rn ,
∀ v ∈ Ex0 y ϕ|Ex0 : Ex0 → {x0 } × Rn es lineal.
Sea M una variedad diferenciable. Mostrar que T M ∗ := {ω ∈ (Tx M )∗ :
x ∈ M } y B 2 (T M ∗ ) = {b ∈ B 2 (Tx M ∗ ) : x ∈ M } son fibrados vectoriales donde, si V es un espacio vectorial, B 2 (V ∗ ) es el conjunto de las
formas bilineales simétricas en V.
8. Pegados de variedades por el borde. Para este ejercicio utilizaremos el teorema del entorno "tipo collar": Si X es una variedad
con ∂X = M , existe un entorno de U de ∂X y un difeomorfismo
ϕ : M × [0, 1) → U tal que ϕ(M × {0}) = ∂X.
Sean X1 , X2 dos variedades con borde de modo que los bordes son
difeomorfos, y sea f : M1 = ∂X1 → M2 = ∂X2 un difeomorfismo. Sea
∼ la siguiente relación de equivalencia en X1 ∪X2 : si x ∈ M1 , x ∼ f (x),
si x ∈ M2 , x ∼ f −1 (x) y si x ∈
/ M1 ∪ M2 entonces x ∼ x.
a) Mostrar que es posible definir una estructura diferenciable en
X1 ∪f X2 := (X1 ∪ X2 )/ ∼ de modo que los mapas de inclusión ji : Xi → X1 ∪f X2 , i = 1, 2 son difeomorfismos sobre sus
imágenes.
b) Mostrar que el plano proyectivo se puede obtener como una banda
de Möbius y un disco pegados por su borde, y la botella de Klein se
puede obtener como dos bandas de Möbius pegadas por el borde.
c) Sean X1 = X2 = D2 × S 1 , e id : ∂X1 → ∂X2 el mapa identidad.
Mostrar que la variedad (D2 × S 1 ) ∪id (D2 × S 1 ) es difeomorfa a
S 2 × S 1 . (O sea, S 2 × S 1 se puede obtener como el pegado por el
borde de dos toros sólidos. Comparar con el ejercicio 3 del práctico
1.)
d ) Construir un encaje de una banda de Möbius en un toro sólido
de modo que su borde está contenido en el borde del toro, y
usar la parte anterior para construir un encaje de la botella de
Klein en S 2 × S 1 . (Hemos construído un encaje de una superficie
no orientable en una variedad de dimensión 3. Comparar con el
ejercicio 8 del práctico 2. ‘ ?Por qué fallará la demostración que
está en ese ejercicio, si quisiéramos aplicarla en este caso?)