Regla de la Cadena

Regla de la Cadena
Teorema: Si f : R3 → R es diferenciable, entonces todas las derivadas direccionales existen. La
derivada direccional en x en la dirección v está dada por
∂f
∂f
∂f
Dfv (x) = gradf (x) · v = ∇f (x) · v =
(x) v1 +
(x) v2 +
(x) v3
∂x
∂y
∂z
Dem: Sea c(t) = x + tv de manera f (x + tv) = f (c(t)) aplicando el caso particular de la regla de la cadena
df (c(t))
= ∇f (c(t)) · d(t)
dt
por otro lado c(0) = f (x), c0 (t) = v por lo tanto c0 (0) = v, ası́ que
df (x + tv) = ∇f (x) · v
Dfv (x) =
dt
t=0
Ejemplo: Sean f (x, y, z) = z 2 e−yz . Calcular la razón de cambio de f en la dirección del vector unitario
v = ( √13 , √13 , √13 ) en (1, 0, 0)
Solución:
∇f · v = (2xe−yz , −zx2 e−yz , −yx2 e−yz )(1,0,0) · ( √13 , √13 , √13 ) = (2, 0, 0)( √13 , √13 , √13 ) = √23
Teorema: Supongamos que 5f (x) 6= 0. Entonces ∇f (x) apunta en la dirección a lo largo de la cual f
crece mas rapido.
Dem: Si v es un vector unitario, la razón de cambio de f en la direccón de v esta dada por ∇f (x) · v y
∇f (x) · v = k∇f (x)kkvkCosθ = k∇f (x)kCosθ donde θ es el ángulo entre ∇f, v. Esta es máximo cuando
θ = 0 y esto ocurre cuando v, ∇f son paralelos. En otras palabras , si queremos movernos en una direcciön
en la cual f va a crecer más rapidamente, debemos proceder en la direcciön en la cual f decrece más
rapido, habemos de proceder en la dirección ∇f .
Caso particular de la regla de la cadena
Supongamos que C : R → R2 es una trayectoria diferenciable y f : R→ R. Sea h(t) = f (c(t)) =
f (x(t), y(t), z(t)) donde c(t) = (x(t), y(t), z(t)). Entonces
∂h
∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z
=
+
+
∂t
∂x ∂t
∂y ∂t
∂z ∂t
∂h
= ∇f (c(t)) · c0 (t) donde c0 (t) = (x0 (t), y 0 (t), z 0 (t))
∂t
h(t) − h(t0 )
h(t) − h(t0 )
f (c(t)) − f (c(t0 ))
dh
(t0 ) = lı́m
sumando y restando
=
=
Dem: Por definición
t→0
dt
t − t0
t − t0
t − t0
f (x(t), y(t), z(t)) − f (x(t0 ), y(t0 ), z(t0 ))
f (x(t), y(t), z(t))
=
t − t0
t − t0
−f (x(t0 ), y(t), z(t)) + f (x(t0 ), y(t), z(t)) − f (x(t0 ), y(t0 ), z(t)) + f (x(t0 )), y(t0 ), z((t)) − f (x(t0 ), y(t0 ), z(t0 ))
+
t − t0
Esto es
1
(∗)
Aplicando el T.V.M.
f (x(t), y(t), z(t)) − f (x(t0 ), y(t), z(t)) =
∂f
(c, y(t), z(t))(x(t) − x(t0 ))
∂x
f (x(t0 ), y(t), z(t)) − f (x(t0 ), y(t0 ), z(t)) =
f (x(t0 ), y(t0 ), z(t)) − f (x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )) =
∂f
(x(t), d, z(t)(y(t) − y(t0 ))
∂y
∂f
(x(t), y(t), e)(z(t) − z(t0 ))
∂y
∂f
∂f
∂f
(c, y(t), z(t))(x(t)−x(t0 ))+ (x(t), d, z(t))(y(t)−y(t0 ))+ (x(t), y(t), e)(z(t)−z(t0 )) tomando
∂x
∂y
∂z
lı́m t → t0 y por la continuidad de las parciales
∴∗=
∂h
∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z
=
+
+
∂t
∂x ∂t
∂y ∂t
∂z ∂t
Ejemplo: Verificar la regla de la cadena para f (u, v, w) = u2 +v 2 −w donde u(x, y, z) = x2 y, v(x, y, z) =
n
X
∂f ∂u ∂f ∂v
∂f ∂w
y 2 , w(x, y, z) = e−xz ası́
+
+
= 2x2 y(2xy) + ze−xy
∂u ∂x
∂v ∂x ∂w ∂x
1=1
Ejemplo:¿En que dirección desde (0, 1) crece mas rapido f (x, y) = x2 − y 2 ?
Sol: El gradiente es ∇f = (2x, −2y)(0,1) = (0, 2)
2
Ahora cuando hablamos de los conjuntos de nivel f (x, y = k), si tenemos que c(t)f
f (c(t)) = K
∴ f 0 (c(t)) = 0
∴ ∇f (c(0)) · v = 0
Si v es un vector tangente t=0 entonces
∇f es ortogonal a los conjuntos de nivel
El gradiente es normal a las superficies de nivel. Sea f : R3 → R una aplicación C 1 y sea (x0 , y0 , z0 ) un
punto sobre la superficie de nivel S definida por f (x, y, z) = k, k = cte. Entonces ∇f (x0 , y0 , z0 ) Es normal
a la superficie de enivel en el siguiente sentido: si v es el vector tangente en t = 0 de una trayectoria c(t)
con c(0) = (x0 , y0 , z0 ) entonces ∇f · v = 0.
Dem: Sea c(f ) en S, entonces f (c(t)) = K.
Sea v como en la hipotesis entonces
d
0
0
∇f (c(0)) · v
f (c (t))
v = c (0) ∴ 0 =
dt
t=0
3
Caso particular de la regla de la cadena
Supongamos que C : R → R3 es una trayectoria diferencias y f : R3 → R. Sea h(t) = f (c(t)) =
f (x(t), y(t), z(t)) donde c(t) = x(t), y(t), z(t). Entonces
∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z
∂h
=
+
+
∂t
∂x ∂t
∂y ∂t
∂z ∂t
∂h
= ∇f (c(t)) · c0 (t) donde c0 (t) = (x0 (t), y 0 (t), z 0 (t))
∂t
∂h
h(t) − h(t0 )
Demostración: Por definición
(t0 ) = lı́m
sumando y restando
t→0
∂t
t − t0
Esto es
f (c(t)) − f (c(t0 ))
h(t) − h(t0 )
=
t − t0
t − t0
=
f (x(t), y(t), z(t)) − f (x(t0 ), y(t0 ), z(t0 ))
t − t0
f (x(t), y(t), z(t)) − f (x(t0 ), y(t), z(t)) + f (x(t0 ), y(t), z(t))
=
−f (x(t0 ), y(t0 ), z(t)) + f (x(t0 ), y(t0 ), z(t)) − f (x(t0 ), y(t0 ), z(t0 ))
t − t0
Aplicando el Teorema del Valor Medio
∂f
(c, y(t), z(t))(x(t) − x(t0 ))
∂x
∂f
f (x(t0 ), y(t), z(t)) − f (x(t0 ), y(t0 ), z(t)) =
(x(t), d, z(t))(y(t) − y(t0 ))
∂y
∂f
f (x(t0 ), y(t0 ), z(t)) − f (x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )) =
(x(t), y(t), e)(z(t) − z(t0 ))
∂z
f (x(t), y(t), z(t)) − f (x(t0 ), y(t), z(t)) =
∴
(∗) =
∂f
(c, y(t), z(t)) (x(t)−y(t))
+
∂x
t−t0
∂f
0 ))
(x(t), d, z(t)) (y(t)−y(t
+
∂y
t−t0
∂f
0 ))
(x(t), y(t), e) (z(t)−z(t
∂z
t−t0
tomando el lı́m y por la continuidad de las parciales
t→t0
∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z
∂h
=
+
+
∂t
∂x ∂t
∂y ∂t
∂z ∂t
1
. . . (∗)
Ejemplo: Verificar la regla de la cadena para f (u, v, w) = u2 + v 2 − w donde u(x, y, z) =
x2 y, v(x, y, z) = y 2 , w(x, y, z) = e−xz asi
∂f ∂u ∂f ∂v
∂f ∂w
+
+
= 2x2 y(2xy) + ze−xz
∂u ∂x ∂v ∂x ∂w ∂x
Teorema: Si f : R3 → R es diferenciable, entonces todas las derivadas direccionales existen.
La derivada direccional
v esta dada por Dfv (x) = gradf (x) · v =
en x en la
dirección
∂f
∂f
∂f
∇f (x) · v =
(x) v1 +
(x) v2 +
(x) v3
∂x
∂y
∂z
Demostración: Sea c(t) = x + tv de manera f (x + tv) = f (c(t)) aplicando el caso
df (c(t))
= ∇f (c(t)) · d(t)
dt
por otro lado c(0) = f (x), c0 (t) = v ∴ c0 (0) = v asi que
df (x + tv Dfv (x) =
= ∇f (x) · v
dt
t=0
particular de la regla de la cadena
Ejemplo: Sean f (x, y, z) = z 2 e−yz . Calcular la razón de cambio de f en la dirección del vector
unitario v =
√1 , √1 , √1
3
3
3
en (1,0,0)
Solución :
∇f · v = (2xe−yz , −zx2 e−yz , −yx2 e−yz )(1,0,0) ·
= (2, 0, 0) √13 , √13 , √13
=
√1 , √1 , √1
3
3
3
√2
3
Teorema: ‘Supongamos que ∇f (x) 6= 0. Entonces ∇f (x) apunta en la dirección a lo largo de
la cual f crece mas rapido.
Demostración: Si v es una recta unitaria, la razón de cambio de f en la dirección v esta
dada por ∇f (x) · v y ∇f (x) · v = k∇f (x)kkvk cos θ = k∇f (x)k cos θ donde θ es el
ángulo entre ∇f (x), v. Este es máximo cuando θ = 0 y esto ocurre cuando v, ∇f (x),
son paralelos. En otras palabras, si queremos movernos en una dirección en la cual f
va a crecer más rapidamente, debemos proceder en la dirección en la cual f decrece
más rápido, habremos de proceder en la dirección −∇f (x).
2
Ejemplo: ¿En que dirección desde (0, 1) crece más rápido f (x, y) = x2 − y 2 ?
Solución: El gradiente es ∇f = (2x, −2y)(0,1) = (0, −2)
Ahora cuando hablamos de los conjuntos φ niveles f (x, y) = k, si tenemos que
c(t) ∈ f
∴
f 0 (c(t)) = 0
∴
∇f (c(0)) · v = 0
Si v es un vector tangente t = 0 entonces ∇f es ortogonal a los conjuntos de nivel.
El gradiente es normal a las superficies de nivel. Sea f : R3 → R una aplicación C 1 y
sea (x0 , y0 , z0 ) un punto sobre la superficie de nivel S definida por f (x, y, z) = k, k = cte.
Entonces ∇f (x0 , y0 , z0 ) es normal a la superficie de nivel en el siguiente sentido: si v es el
vector tangente en t = 0 de una trayectoria c(t) con c(0) = (x0 , y0 , z0 entonces ∇f · v = 0
Demostración: Sea c(t) en S, entonces
f (c(t)) = k. Sea v como en la hipotesis entonces
v = c0 (0)
∴
0=
d
f (c(t)) ∇f (c(0)) · v
df
t=0
3
4