1. Limite de Funciones

1. Limite de Funciones
1.1. Introducción. Consideremos la función f (x) =
1 + x2 si x > 0
1 − x2 si x < 0
Se observa que la función no está definida en x0 = 0. Sin embargo, se observa que cuando
se consideran valores de x no nulos pero cercanos a cero, los valores de f (x) se aproximan
a ℓ = 1. Nos gustaría decir que cuando x tiende a x0 = 0 los valores de f (x) tienden a ℓ = 1.
Para formalizar el concepto de “aproximarse a” se hace uso de sucesiones. Sin embargo
como en el caso general x0 no pertenece al dominio de la función considerada, no siempre es posible encontrar sucesiones que converjan a x0 con valores en el dominio de la
función.Para encontrar estas sucesiones necesitamos la siguiente definición.
Definición (Punto Adherente)
Sea A ⊆ R un conjunto cualquiera. x0 ∈ R se llama punto adherente de A, o bien, que x0
pertenece a la adherencia de A sí y sólo sí existe alguna sucesión (xn ) con valores en A,
convergente a x0 .
Luego, la condición necesaria y suficiente para encontrar sucesiones que converjan a x0 ,
es que el punto x0 se encuentre en la adherencia del dominio de la función considerada.
Definición
Sea f : A ⊆ R → R y sea x0 ∈ Adh(A). Diremos que f tiende a ℓ ∈ R cuando x tiende a
x0 ( f (x) → ℓ si x → x0), o bién que ℓ es el límite de f (x) cuando x → x0 (ℓ = lı́m f (x))
x→x0
2
ssi dada cualquier sucesión (xn ) con valores en A y convergente a x0 se cumple que la
sucesión ( f (xn )) es convergente a ℓ.
Observaciones
1. Si x0 6∈ Adh(A) entonces no existen sucesiones (xn ) convergentes a x0 con valores
en A, luego no puede estudiarse el límite de la función cuando x → x0 . En consecuencia en este caso se dice que tal límite no existe.
2. Si x0 ∈ Adh(A) entonces está definido el concepto de límite de f (x) cuando x → x0 ,
sin embargo, este límite puede o no existir.
Ejemplos
x2 − 1
= 2.
1. lı́m
x→1 x − 1
√
2. lı́m x no existe, ya que−1 6∈ Adh(R+ ∪ {0}).
x→−1
1
no existe ya que xn = n1 → 0 pero
x→0 x
3. lı́m
1
xn
= n no converge.
Proposición
Si una función f tiene límite cuando x → x0 entonces dicho límite es único.
Demostración
La demostración se hará por contradicción. Sean ℓ1 y ℓ2 límites de f (x) cuando x → x0 .
3
Sea entonces (xn ) alguna sucesión con valores en el dominio de la función f y convergente
a x0 .
Entonces por definición de límite se tiene que la sucesión ( f (xn )) es convergente a ℓ1 y a
ℓ2 simultaneamente. Sin embargo en virtud de la unicidad del límite de sucesiones se tiene
que ℓ1 = ℓ2 .
Observación
Si x0 ∈ Dom( f ) y lı́m f (x) existe entonces lı́m f (x) = f (x0 ) ya que basta considerar la
x→x0
x→x0
sucesión xn = x0 con lo cual f (xn ) = f (x0 ) y luego ℓ = f (x0 )
**este teo no deberia ir**Teorema
Si f : A ⊆ R → R y x0 ∈ A entonces:
f es continua en x0 ⇔ lı́m f (x) = f (x0)
x→x0
Demostración
Por un lado:
f continua en x0 ⇐⇒ Dada cualquier sucesión (xn) en A convergente a x0 se tiene que
( f (xn)) converge a f (x0)
y por otro
lı́m f (x) = ℓ = f (x0) ⇐⇒ Dada cualquier sucesión (xn) en A convergente a x0 se tiene
x→x0
que ( f (xn )) converge a ℓ = f (x0 )
con lo cual se ve la equivalencia.
4
Teorema (Álgebra de límites)
Sean f y g dos funciones y x0 ∈ R tales que lı́m f (x) = ℓ1 y lı́m g(x) = ℓ2 . Entonces:
x→x0
x→x0
1. si x0 ∈ Adh(Dom( f ) ∩ Dom(g)) se tiene que:
lı́m ( f + g)(x) = ℓ1 + ℓ2
x→x0
lı́m ( f − g)(x) = ℓ1 − ℓ2
x→x0
lı́m ( f g)(x) = ℓ1ℓ2
x→x0
2. si x0 ∈ Adh(Dom( f /g)) y ℓ2 6= 0 entonces:
lı́m ( f /g)(x) = ℓ1/ℓ2
x→x0
3. lı́m (α f )(x) = αℓ1 ∀α ∈ R
x→x0
Teorema (Sandwich de funciones)
Sean f ,g y h tres funciones y sea x0 ∈ Adh(Dom(g)).
Si (∃δ > 0) tal que (∀x ∈ Dom(g)∩Vδ(x0 )) f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) y además lı́m f (x) = lı́m h(x)
x→x0
entonces lı́m g(x) = ℓ
x→x0
Este último teorema nos será muy útil para el cálculo de límites.
Ejemplo
sin x
x→0 x
f (x) = lı́m
x→x0
5
Solución
El dominio de f (x) es Dom( f ) = R \ {0}. Como 0 ∈ Adh(Dom( f )), pero f (0) no existe,
sin x
.
x→0 x
se puede calcular a través del siguiente límite: lı́m
Para esto sea (xn ) → 0, con (xn ) ∈ R \ {0}. Por una desigualdad vista en el capítulo de
trigonometría para |xn | < π2 , tendremos los siguiente
sin |xn| ≤ |xn| ≤
sin |xn|
,
cos |xn|
invirtiendo la última desigualdad y luego multiplicando por sin |xn | obtendremos
cos |xn| ≤
sin |xn|
≤1
|xn|
como cos |xn | −→ 1. Y obviamente 1 tiende a 1. Por el teorema del Sandwich tendremos
sin |xn|
sin x
= 1.
= 1, con lo cual lı́m
x→0 |xn |
x→0 x
que lı́m
Lo último motiva una reparación de la función f (x) en 0 de la siguiente manera
f (x) =
sin x
x
1
si x 6= 0
.
si x = 0
Teorema (Límite de la composición de funciones o cambio de variable)
Sean f y g dos funciones y x0 ∈ Adh(Dom(go f )).
6
Si lı́m f (x) = ℓ y lı́m g(x) = L entonces lı́m (go f )(x) = L
x→x0
x→x0
x→ℓ
Demostración
Debemos demostrar que si (xn) → x0 , entonces (go f )(xn) → L.
En efecto si (xn) → x0 con (xn) ∈ Dom(go f ),entonces si llamamos (yn ) = f (xn ), tendremos
que (yn) → ℓ pues sabemos que lı́m f (x) = ℓ.
x→x0
Con esto tendremos: (go f )(xn) = g( f (xn )) = g(yn)) → L. Pues sabíamos que lı́m g(x) = L.
x→ℓ
Con lo cual queda terminada la demostración.
Observación
El resultado del teorema anterior se puede escribir como:
lı́m (go f )(x) =
x→x0
lı́m
g(y) =
L
y→ lı́m f (x)
x→x0
Ejemplo
1 − cos x
x→0
x2
lı́m
Solución
Por propiedades trigonométricas tenemos cos x = cos2 ( 2x ) − sin2 ( 2x ) = 1 − 2 sin2 ( 2x ),
con lo cual tendremos
2
1 − cos x 1 sin2( 2x ) 1 sin( 2x )
,
=
=
x
x2
2 x 2
2
2
2
7
luego el límite que estábamos calculando quedaría
sin( 2x ) 2
1 − cos x 1
=
lı́m
lı́m
.
x
x→0
x2
2 x→0
2
Ahora definamos g(y) =
sin y
y
x
= 0. Además el otro
x→0 2
y f (x) = 2x . Con esto lı́m f (x) = lı́m
x→0
sin y
= 1.
límite ya lo habíamos calculado: lı́m g(y) = lı́m
x→0 y
x→ℓ
Luego con el teorema ya visto
lı́m
x→0
sin( 2x )
x
2
= lı́m(go f )(x) = L = lı́m g(y) = 1.
x→0
y→0
Con esto el resultado final del ejercicio será:
1 − cos x 1
= .
x→0
x2
2
lı́m
1.2. Límites importantes.
1.2.1. Funciones Contínuas. Si f es continua en x0 entonces lı́m f (x) = f (x0 ). Luego:
x→x0
1. lı́m c = c
x→x0
2. lı́m x = x0
x→x0
3. lı́m (an xn + · · · + a1 x + a0 ) = an x0n + · · · + a1 x0 + a0
x→x0
anx0n + · · · + a1x0 + a0
an x n + · · · + a1 x + a0
=
4. lı́m
x→x0 bm xm + · · · + b1 x + b0
bmx0m + · · · + b1x0 + b0
√
√
5. lı́m x = x0
x→x0
6. lı́m sin x = sin x0
x→x0
7. lı́m cos x = cos x0
x→x0
8. lı́m arcsin x = arcsin x0
x→x0
9. lı́m ex = ex0
x→x0
10. lı́m ln x = ln x0
x→x0
1.2.2. Límites Trigonométricos.
sin x
=1
x→0 x
1 − cos x 1
=
2. lı́m
x→0
x2
2
1. lı́m
1.2.3. Límites logarítmicos y exponenciales.
8
9
ln x
1. lı́m
=1
x→0 x − 1
ex − 1
=1
2. lı́m
x→0
x
Ejercicios propuestos
sin ax
=a
x→0
x
sin ax a
=
lı́m
x→0 sin bx
b
1 − cos x
=0
lı́m
x→0
sin x
eax − ebx
lı́m
= a−b
x→0
x
1 − 2 cos x √
lı́mπ
3
π =
x→ 3 sin(x − 3 )
lı́m
lı́m(1 − x) tan(
x→1
Solución
ex − 1
lı́m
.
x→0
x
πx
2
)=
2
π
Sabemos que si an → a, entonces
ean −ea
an −a
a
ean −1
an
10
→ 1,luego
→ e , para a = 0 tendremos
a ex − 1
e n −1
para todo (an ) → 0 con an 6= 0, obtendremos
.
→ 1, lo cual implica que lı́m
an
x→0
x
Ejemplo (Motivación)
Calcular lı́m f (x) donde f (x) =
x→0



sin x
x
ex −1
x
α
six ∈ I
six ∈ Q \ {0}
six = 0
Definición (Límite de una función por un subconjunto de su dominio)
Sea f : A ⊆ R → R y sea x0 ∈ Adh(A). Sea B ⊆ A tal que x0 ∈ Adh(B). Diremos que ℓ ∈ R
es el límite de la función f cuando x → x0 por el conjunto B ssi dada cualquier sucesión
(xn) convergente a x0 y con valores en B, se tiene que la sucesión ( f (xn)) converge a ℓ.
Notación
ℓ = x→x
lı́m f (x)
0
x∈B
Ejemplos
1. lı́m cos x = 1
x→0
x∈I
lı́m cos x = 1
x→0
x∈Q
2. si f (x) =
11
cos x six ∈ Q
entonces lı́m f (x) = 1 y lı́m f (x) = 0
x→0
x→0
sin x six ∈ I
x∈Q
x∈I
Proposición
Si f : A ⊆ R → R es tal que lı́m f (x) = ℓ entonces para cualquier subconjunto B ⊆ A tal
x→x0
que x0 ∈ Adh(B) se tiene que lı́m f (x) = ℓ
x→x0
x∈B
Observación
Si B,C ⊆ A y x0 ∈ Adh(B) y x0 ∈ Adh(C) entoces:
1. lı́m f (x) no existe ⇒ lı́m f (x) no existe.
x→x0
x→x0
x∈B
2. lı́m f (x) = ℓ1 6= ℓ2 = lı́m f (x) ⇒ lı́m f (x) no existe.
x→x0
x→x0
x∈B
x→x0
x∈C
Teorema
Sea f : A ⊆ R → R y x0 ∈ Adh(A). Sean B,C ⊆ A tales que x0 ∈ Adh(B) y x0 ∈ Adh(C)
entonces:
lı́m f (x) = x→x
lı́m f (x) = ℓ ⇒ x→x
lı́m f (x) = ℓ
x→x0
x∈B
0
x∈C
Definición (Límites laterales)
Sea f : A ⊆ R → R y x0 ∈ Adh(A). Sean además:
A1 = {x ∈ A/x > x0} = A ∩ (x0, +∞)
0
x∈B∪C
12
A2 = {x ∈ A/x < x0} = A ∩ (−∞, x0)
i) Si x0 ∈ Adh(A1 ) entonces, si existe el lı́m f (x) , se le llama límite lateral por la
x→x0
x∈A1
derecha de la función f en x0 .
ii) Si x0 ∈ Adh(A2 ) entonces, de existir, al lı́m f (x) se le llama límite lateral por la izx→x0
x∈A2
quierda de la función f en x0 .
Notación
lı́m f (x) se anota lı́m f (x) o bien lı́m f (x)
x→x0
x∈A1
x→x0
x>x0
x→x0+
lı́m f (x) o bien lı́m f (x)
lı́m f (x) se anota x→x
x→x0
x∈A2
0
x<x0
x→x0−
Definición (Límites laterales)
Sea f : A ⊆ R → R y x0 ∈ Adh(A). L1 será el límite lateral por la derecha de la
función f en x0 y se anotará L1 = lı́m f (x), sí y solamente sí, para toda sucesión
x→x0+
(xn) → x0 con (xn) > x0, se tiene f (xn) → L1.
Sea f : A ⊆ R → R y x0 ∈ Adh(A). L2 será el límite lateral por la izquierda de la
función f en x0 y se anotará L2 = lı́m f (x), sí y solamente sí, para toda sucesión
x→x0−
(xn) → x0 con (xn) < x0, se tiene f (xn) → L2.
13
Observación
Claramente si existe el límite lı́m f (x) = L , entonces existen los límites laterales L1 y L2 y
x→x0
estos coincides con L. Es decir L1 = L2 = L.
Ejemplo
f (x) = |x|
x , x 6= 0.
Sea (xn ) → 0 con (xn ) > 0,esto implicará que f (xn ) =
lı́m f (x) = 1.
xn
xn
= 1 → 1.Por lo tanto
x→0+
Sea (xn ) → 0 con (xn ) < 0,esto implicará que f (xn ) =
lı́m f (x) = −1.
−xn
xn
= −1 → −1.Por lo tanto
x→0−
Luego no existe el lı́m f (x), pues si existiese debería ser igual a 1 y a −1 a la vez, lo cual
x→0
no puede ser.
Proposición
Sea f : A ⊆ R → Ry x0 ∈ Adh(A). Si existen los límites laterales de f en x0 y coinciden, es
decir lı́m f (x) = lı́m f (x) = L, entonces existe lı́m f (x) y vale L.
x→x0+
x→x0−
x→x0
Teorema (Caracterización de límite sin uso de sucesiones)
Sea f : A ⊆ R → R y x0 ∈ Adh(A) entoces
lı́m f (x) = ℓ ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ A)[|x − x0| ≤ δ ⇒ | f (x) − ℓ| ≤ ε]
x→x0
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Observación
lı́m f (x) = ℓ ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ A)[0 ≤ x − x0 ≤ δ ⇒ | f (x) − ℓ| ≤ ε]
x→x0+
lı́m f (x) = ℓ ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ A)[0 ≤ x0 − x ≤ δ ⇒ | f (x) − ℓ| ≤ ε]
x→x0−
1.3. LÍMITES INFINITOS. Recordemos que (xn)diverge a +∞ y se anota (xn) →
+∞ si (∀M ∈ R+) (∃n0 ∈ N) tal que n ≥ n0 ⇒ xn ≥ M .
Análogamente tendremos que (xn ) → −∞ si (∀N ∈ R− ) (∃n0 ∈ N) tal que n ≥ n0 ⇒ xn ≤
N.
Definición
Se define L = lı́m f (x) si se cumple que para toda sucesión (xn ) → +∞, la sucesión
x→+∞
f (xn) → L.
Análogamente se define L = lı́m f (x) si se cumple que para toda sucesión (xn ) → −∞,
x→−∞
la sucesión f (xn ) → L.
Ejemplo
1
=0
x→+∞ x
lı́m
En efecto , sea (xn) → +∞, esto implica por *el teorema de sucesiones recíprocas, se tiene
1
xn
1
=0
x→+∞ x
→ 0. Por lo tanto f (xn) → 0, entonces , lı́m
Definición (límites infinitos sin uso de sucesiones)
Sea f : A ⊆ R → R donde A es un subconjunto no acotado de R.
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i) Si A no tiene supremo entonces diremos que lı́m f (x) = L ssi (∀ε > 0)(∃a ∈
x→+∞
R )(∀x ∈ A)[x ≥ a ⇒ | f (x) − L| ≤ ε]
+
ii) Si A no tiene ínfimo entonces diremos que lı́m f (x) = L ssi (∀ε > 0)(∃b ∈ R−)(∀x ∈
A)[x ≤ b ⇒ | f (x) − L| ≤ ε]
x→−∞
Definición (Asíntotas horizontales)
1. Si lı́m f (x) = ℓ1 entonces la recta y = ℓ1 se llama asíntota horizontal de f .
x→+∞
2. Si lı́m f (x) = ℓ2 entonces la recta y = ℓ2 es otra asíntota horizontal de f .
x→−∞
Ejemplo

 0 sin < m
a n x n + · · · + a 1 x + a 0  an
= bn sin = m
lı́m
x→±∞ bm xm + · · · + b1 x + b0

 6 ∃ sin > m
Definición (Funciones que crecen o decrecen sin cota)
Sea f : A ⊆ R → R y x0 ∈ Adh(A) entoces
1. lı́m f (x) = +∞ ⇔ (∀M ∈ R+ )(∃δ > 0)(∀x ∈ A)[|x − x0| ≤ δ ⇒ f (x) ≥ M]
x→x0
2. lı́m f (x) = −∞ ⇔ (∀N ∈ R− )(∃δ > 0)(∀x ∈ A)[|x − x0| ≤ δ ⇒ f (x) ≤ N]
x→x0
16
Observación
En forma análoga se definen las expresiones.
lı́m f (x) = +∞, lı́m f (x) = −∞, lı́m f (x) = +∞, lı́m f (x) = −∞
x→x0+
x→x0+
x→x0−
x→x0−
lı́m f (x) = +∞, x→x
lı́m f (x) = −∞, x→x
lı́m f (x) = +∞, x→x
lı́m f (x) = −∞
x→x0
x>x0
0
0
x>x0
0
x<x0
x<x0
lı́m f (x) = +∞, lı́m f (x) = −∞, lı́m f (x) = +∞, lı́m f (x) = −∞
x→+∞
x→+∞
x→−∞
x→−∞
Ejemplo
lı́m ex = +∞
x→+∞
En efecto sea (xn) → +∞. Hay que demostrar que exn → +∞.Si (xn ) → +∞ ⇒ (∀M ∈ R+ ) (∃n
n0 ⇒ xn ≥ M.También por una desigualdad muy conocida tenemos:
exn ≥ 1 + xn ≥ 1 + M,
definiendo M ′ = 1 + M, se cumplirá que (∀M ′ ∈ R+ ) (∃n0 ∈ N) tal que si n ≥ n0 ⇒ exn ≥
M ′, lo cual implica que exn → +∞, o sea, lı́m ex = +∞.
x→+∞
Definición (Asíntotas verticales)
Si lı́m f (x) = ±∞ o lı́m f (x) = ±∞, se dice que la recta x = x0 es una asíntota vertical
x→x0+
x→x0−
de f .
Definición (Asíntotas oblicuas)
La recta y = mx + n, será una asíntota oblicua de la función f : A ⊆ R → R en +∞ ssi
m = lı́m
x→+∞
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f (x)
y n = lı́m ( f (x) − mx).
x→+∞
x
De manera análoga se define una asíntota de f en −∞.
Observación
Si m = 0, volvemos al caso de una asíntota horizontal.
Ejemplo
q
f (x) =
Solución
x4 +1
x2 −1
El dominio de la función es R\[−1, 1] . Como f (x) es par basta estudiar su comportamiento
solamente en el intervalo (1, ∞) .
Como lı́m f (x) = ∞, tenemos que x = 1, es una asíntota vertical y como f es par entonces
x→1+
la recta x = −1 tambien es una asíntota vertical.
Veamos ahora las asíntotas en ∞
f (x)
= lı́m
lı́m
x→∞
x→∞ x
r
x4 + 1
x4 − x2
= lı́m
x→∞
Por otro lado tenemos
lı́m f (x) − x = lı́m
x→∞
x→∞
r
s
1 + x14
1 − x12
x4 + 1
−x
x2 − 1
= 1 = m.
18
desarrollemos un poco la última expresión
r
x4 + 1
x2 − 1
−x =
r
x4 + 1
x2 − 1
−
s
x2 (x2 − 1)
(x2 − 1)
=
√
√
√
x4 +1+ x4 −x2
√
multipliquemos la última expresión por 1 = √
x4 +1+
=
√
√
x4 + 1 − x4 − x2
p
,
2
(x − 1)
x4 −x2
√
√
√
x4 + 1 − x4 − x2
x4 + 1 + x4 − x2
x4 + 1 − x4 + x2
√
p
√
·√
=p
√
4
4
2
2
x +1+ x −x
(x − 1)
(x2 − 1) ·
x4 + 1 + x4 − x2
1
1 + x2
2 +1
x
q
.
q
=p
=p
√
√
1
1
4
4
2
2
2
(x − 1) ·
x +1+ x −x
(x − 1) ·
1 + x4 + 1 − x2
1
Si tomamos el límite cuando x → ∞ a la última expresión obtendremos ∞·2 → 0. Por lo
tanto n = 0.
Con esto la asíntota oblícua será y = x. Gráficamente tendremos
19
f (x)
$−1$
$1$
x