asíntotas

ASÍNTOTAS
Definición de una asíntota
Cuando la gráfica de una función se acerca a una recta cuando x o y
tienden a infinito, dicha recta se llama ASÍNTOTA de la función.
No todas las funciones tienen asíntotas.
Las asíntotas de una función pueden ser:
Verticales
Horizontales
Oblicuas
Tipos de asíntotas
Asíntotas Verticales
x=c
y
y
x=c
x
x
Tipos de asíntotas
Asíntotas Horizontales
y
y=L
x
y
y = f(x)
y = f(x)
y=L
x
Tipos de asíntotas
Asíntotas Oblicuas
y
y = ax + b
x
Asíntotas verticales
La recta x = c es una asíntota vertical de una función f(x) si se cumple alguna
de las siguientes condiciones:
lim f ( x) = +∞
x →c −
Ejemplo:
lim f ( x) = +∞
x →c +
f ( x) =
1
x−2
1
lim−
= −∞
x→2 x − 2
1
lim+
= +∞
x →2 x − 2
La recta x
= 2 es una asíntota vertical
lim f ( x) = −∞
x →c −
lim f ( x) = +∞
x →c +
Asíntotas horizontales
La recta x = L es una asíntota horizontal de una función f(x) si se cumple
alguna de las siguientes condiciones:
lim f ( x) = L
x → −∞
Ejemplo:
f ( x) =
lim f ( x) = L
x → +∞
2x
x −1
2x
=2
x → −∞ x − 1
lim
2x
=2
x → +∞ x − 1
lim
La recta y
= 2 es una asíntota horizontal
Asíntotas oblicuas
La recta y = ax + b es una asíntota oblicua de una función f(x) si se
cumple alguna de las siguientes condiciones:
a)
lim
f ( x)
=a
x
x → −∞
lim
f ( x)
=a
x
x → +∞
x → −∞
b)
x → +∞
Ejemplo:
lim ( f ( x) − ax) = b
lim ( f ( x) − ax) = b
2x2
f ( x) =
x −1
f ( x)
2x2
lim
= lim 2
=2
x → ±∞
x
→
±∞
x
x −x
2x2
lim ( f ( x) − ax) = lim (
− 2 x) = 2
x → ±∞
x → ±∞ x − 1
La recta y
= 2x+2 es una asíntota oblicua
Asíntotas de funciones racionales
Asíntotas Verticales
Una función racional tiene una asíntota vertical cuando el denominador de la
función simplificada es igual a 0.
Recuerda que se simplifica cancelando los factores comunes del numerador y
denominador.
Ejemplo 1: Calcular las asíntotas verticales
Dada la función
f (x ) =
2 − 5x
2 + 2x
Calculamos los valores de x
que hacen 0 el denominador:
2 + 2x = 0 ⇒ x = -1
La recta x = -1 es la única
asíntota vertical de la
función.
Asíntota vertical
x = -1
Ejemplo 2: Calcular las asíntotas verticales
2 x 2 + 10 x + 12
f (x ) =
x2 − 9
Primero simplicamos la función.
2 x 2 + 10 x + 12 (x + 3)(2 x + 4 )
=
3
(x + 3)(x − 3)
x −9
2x + 4
=
x −3
La(s) asíntota(s) aparecen cuando el
denominator (después de simplificar)
es igual a 0.
x–3=0 ⇒ x=3
La recta vertical x = 3 es la única
asíntota vertical de esta función.
Ejemplo 3: Calcular las asíntotas verticales
x −5
g (x ) = 2
x − x−6
x−5
x −5
=
2
x − x − 6 ( x + 2 )( x − 3)
El denominador es igual a 0 cuando
x + 2 = 0 ⇒ x = -2
o
x-3=0 ⇒ x=3
Esta función tiene dos asíntotas
verticales, una x = -2 y la otra x = 3
Asíntotas horizontales
Las asíntotas horizontales aparecen cuando ocurre una de las siguientes
condiciones (ambas condiciones no pueden ocurrir en la misma función):
• El grado del numerador es menor que el grado del denominador. En
este caso, la asíntota es la recta horizontal y = 0.
• El grado del numerador es igual al grado del denominador. En este
caso, la asíntota es la recta horizontal y = a/b, donde a es el coeficiente
de mayor grado del numerador y b es el del denominador.
Cuando el grado del numerador es mayor que el grado del denominador la
función no tiene asíntota horizontal.
Ejemplo 4: Calcular las asíntotas horizontales
x 2 + 3x − 5
f (x ) =
x 3 − 27
Tiene una asíntota horizontal en
la recta y = 0 porque el grado del
numerador (2) es menor que el
grado del denominador (3).
x 2 + 3x − 5
lim
=0
3
x → −∞
x − 27
x 2 + 3x − 5
lim
=0
3
x → +∞
x − 27
La recta horizontal y = 0 es
la asíntota horizontal.
Ejemplo 5: Calcular las asíntotas horizontales
6 x 2 − 3x + 5
g (x ) = 2
5x + 7 x − 9
El grado del numerador (2) es
igual al grado del denominador
(2), luego la recta y = 6/5 es una
asíntota horizontal.
6 x 2 − 3x + 5 6
=
lim
x → ±∞ 5 x 2 + 7 x − 9
5
La recta y = 6/5 es la
asíntota horizontal.
Ejemplo 6: Calcular las asíntotas horizontales
− 2 x3 + 5x − 9
f (x ) =
x2 +1
No tiene asíntotas
horizontales porque el
grado del numerador es
mayor que el grado del
denominador.
Asíntotas oblicuas
Las asíntotas oblicuas aparecen cuando el
grado del numerador es exactamente una
unidad mayor que el grado del
denominador.
Ejemplo 7: Calcular las asíntotas oblicuas
x2 − 3
f (x ) =
2x − 4
Tiene una asíntota oblicua porque el
grado del numerador (2) es uno más
que el grado del denominador (1).
y=x+3
f ( x)
x2 − 3
1
lim
= lim 2
=
x → ±∞
x → ±∞ 2 x − 4 x
x
2
1
x2 − 3 1
x2 − 3 − x2 + 4x
4x − 3 4
lim ( f ( x) − x) = lim (
− x) = lim
= lim
= =2
x → ±∞
x
→
±∞
x
→
±∞
x
→
±∞
2
2x − 4 2
2x − 4
2x − 4 2
La recta y = x + 3 es asíntota oblicua