Tema III: Sistemas Hamiltonianos: Variables acción ángulo

Tema III: Sistemas
Hamiltonianos: Variables acción
ángulo
1.
Transformaciones canónicas
Sea H(q, p, t) un hamiltoniano tal que
∂H
∂q
∂H
q̇ =
∂p
Una transformación en el espacio de fases
ṗ = −
(1.1)
Q = Q(q, p)
P = P (q, p)
(1.2)
es canónica, si existe un hamiltoniano H 0 (Q, P, t)
H 0 (Q, P, t) = H(q, p, t) +
∂F
∂t
(1.3)
tal que Q y P son variables canónicas
∂H 0
∂Q
∂H 0
Q̇ =
∂P
La función F es la función generatriz construida como
Ṗ = −
dF1 (q, Q, t)
dF2 (q, P, t)
dF3 (p, Q, t)
dF4 (p, P, t)
=
=
=
=
1
pdq − P dQ
pdq + QdP
−qdp − P dQ
−qdp + QdP
(1.4)
(1.5)
(1.6)
2
1..1
Capı́tulo 3
Ejemplo: Oscilador armónico amortiguado
Lagrangiano
µ
L=e
bt
m
m 2 k 2
q̇ − q
2
2
¶
La ecuación del movimiento es:
bt
d bt
(e m mq̇) + e m kq = 0
dt
o sea
mq̈ + bq̇ + kq = 0
Hamiltoniano
p=
−bt p
bt
∂L
= e m mq̇ =⇒ q̇ = e m
∂ q̇
m
2
bt kq
p2
+ em
2m
2
Este Hamiltoniano es dependiente del tiempo por lo que no es una constante del
movimiento. Veamos si hay una transformación canónica que pase a un Hamiltoniano constante.
H=e
−bt
m
Transformación canónica
Utilicemos la siguiente función generatriz
bt
F2 (q, p̂, t) = e 2m q p̂
En tal caso
bt
∂F2
= e 2m p̂ = p
∂q
bt
∂F2
= e 2m q = q̂
∂ p̂
∂F2
b bt
=
e 2m q p̂
∂t
2m
Las nuevas variables son por tanto:
−bt
p̂ = e 2m p
bt
q̂ = e 2m q
2.. ECUACIÓN DE HAMILTON-JACOBI
3
y el nuevo Hamiltoniano
Ĥ(q̂; p̂) =
k q̂ 2
b
p̂2
+
+
q̂ p̂
2m
2
2m
Las ecuaciones de Hamilton son:
p̂
b
+
q̂
m 2m
b
−p̂˙ = k q̂ +
p̂
2m
q̂˙ =
Puesto que el nuevo hamiltoniano Ĥ no depende explı́citamente de t, es constante
del movimiento. Si lo expresamos en términos de las variables iniciales
bt
Ĥ = e− m
2
bt kq
p2
b
+ em
+
pq
2m
2
2m
donde no es dı́ficil comprobar que
[Ĥ, H] +
∂ Ĥ
=0
∂t
bt
Dado que p = e m mq̇, la constante Ĥ puede escribirse como
µ
Ĥ = e
2.
bt
m
q̇ 2
k
b
m + q 2 + q q̇
2
2
2
¶
Ecuación de Hamilton-Jacobi
El procedimiento standard de resolución de un sistema hamiltoniano consiste en
obtener tantas constantes del movimiento como grados de libertad de manera que
el problema sea soluble por cuadraturas.
Por otra parte, hemos visto que toda coordenada cı́clica lleva asociada una integral primera (su momento conjugado), de forma que una transformación canónica
que nos pasase a un conjunto de coordenadas cı́clicas nos asegurarı́a la resolución
del problema.
2..1
Función principal de Hamilton
La función generatriz que más drásticamente verifica la finalidad buscada serı́a
aquella para la que el nuevo hamiltoniano fuese estrictamente cero. En concreto se
4
Capı́tulo 3
denomina función principal de Hamilton a una función generatriz de segunda
especie S(q, P, t) tal que:
H0 = H +
∂S
∂q
∂S
Q =
∂P
∂S(q, P, t)
=0
∂t
p =
(2.1)
Puesto que H 0 = 0, todas las Q son cı́clicas y sus momentos conjugados constantes
P =α
(2.2)
La ecuación
µ
¶
∂S
∂S
H q,
,t +
=0
∂q
∂t
(2.3)
se denomina Ecuación de Hamilton-Jacobi y puede interpretarse como una
ecuación en derivadas parciales para S. En esta ecuación hay n + 1 variables: las n
q y el tiempo. La solución general de S ha de depender de n+1 constantes. Una de
ellas ha de ser aditiva, ya que (2.3) solo depende de las derivadas de S y por tanto
si S es una solución S+cte también lo es. Puesto que la transformación canónica
solo depende de las derivadas de S, la constante aditiva es irrelevante. Las otras
n constantes las podemos identificar con los n momentos constantes P = α de
manera que, la resolución de la ecuación de H-J ha de proporcionar
S = S(q, α, t)
(2.4)
Como H 0 = 0, las ecuaciones de Hamilton son:
P = α
Q = β
(2.5)
y la condición de transformación canónica implica
Q=
∂S(q, α, t)
∂S
=⇒ β =
∂P
∂α
(2.6)
Esta última ecuación (2.6) permite despejar las q en la forma
q = q(α, β, t)
(2.7)
con lo que el problema esta resuelto. Las n qi dependen de 2n constantes arbitrarias
α y β (que son las nuevas variables canónicas)
2.. ECUACIÓN DE HAMILTON-JACOBI
2..2
5
Sistemas autónomos: Función caracterı́stica de Hamilton
Si H no depende explı́citamente del tiempo, la ecuación de H-J es:
¶
µ
∂S
∂S
=0
H q,
+
∂q
∂t
(2.8)
que admite para S la forma
S(q, αi , t) = W (q, αi ) − α1 t
con lo que (2.8) es:
µ
∂W (q, αi )
H q,
∂q
(2.9)
¶
= α1
(2.10)
De manera que en este caso la constante α1 (uno de los nuevos momentos) es el
propio Hamiltoniano (que solo será la energı́a si el sistema es natural)
La función W se denomina función caracterı́stica de Hamilton.
2..3
Separación de variables en la ecuación de H-J
Se dice que el sistema es separable en las variables qi si para W de la forma
W (qi , αi ) =
n
X
Wj (qj , αi )
(2.11)
j=1
la ecuación de H-J se puede separar en n ecuaciones de la forma
Hj (qj ,
dWj
, αi ) = αj
dqj
(2.12)
Hamilton-Jacobi
Vamos ahora a aplicar H-J a
Ĥ(q̂; p̂) =
k q̂ 2
b
p̂2
+
+
q̂ p̂
2m
2
2m
Puesto que Ĥ no depende de t
S(q̂, α, t) = −αt + W (q̂, α)
y la ecuación de H-J es:
1
α=
2m
µ
dW
dq̂
¶2
k
b
+ q̂ 2 +
q̂
2
2m
µ
dW
dq̂
¶
6
Capı́tulo 3
Se puede separar haciendo:
b
W = M − q̂ 2
4
en cuyo caso
µ
2mα =
y por tanto
dM
dq̂
¶2
b2
+ q̂ (mk − ) = 0
4
2
r
2mα − (m2 ω 2 −
dM =
b2 2
)q̂ dq̂
4
La función principal de Hamilton es, por tanto
b
S = −αt − q̂ 2 +
4
Z r
2mα − (m2 ω 2 −
b2 2
)q̂ dq̂
4
y la ecuación del movimiento
∂S
β=
= −t +
∂α
Z Ãr
b2
2mα − (m2 ω 2 − )q̂ 2
4
!−1
mdq̂
La integral se resuelve con el cambio
(m2 ω 2 −
b2 2
)q̂ = 2mα sin2 θ
4
de manera que
β = −t + q
m
m2 ω 2 −
con lo que
s
q̂ =
2α
2
m(ω −
b2
4
θ
"r
b2
)
4m2
sin
b2
(t + β)
ω2 −
4m2
y por tanto la variable fı́sica es:
r
q=e
q
donde γ = ω 2 −
b2
4m
bt
− 2m
2α
sin[γ(t + β)]
mγ 2
#
3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO
3.
7
Variables acción-ángulo
Nos vamos a restringir, por el momento a sistemas autónomos, tales que la ecuación
de H-J sea separable en la forma:
S(q1 ...qn , α1 ...αn ) = −α1 t +
n
X
Wk (qk , α1 ...αn )
(3.1)
k=1
donde H = α1 .
3..1
Un grado de libertad
En tal caso, la función de Hamilton es:
S(q, α, t) = W (q, α) − αt
donde W satisface la ecuación
µ
∂W
α = H q,
∂q
siendo los antiguos momentos
p=
y las nuevas coordenadas
β=
¶
∂W
∂q
∂S
∂W
= −t +
∂α
∂α
• El procedimiento que vamos a describir resulta particularmente útil para sistemas cuyas trayectorias de fases son cerradas. La constancia del Hamiltoniano
define una curva H(q, p) = α en el espacio de fase. Cuando dicha curva es cerrada,
se define I como
I
1
I = I(α) =
pdq
(3.2)
2π
cuya inversión proporciona
H = α = H(I)
(3.3)
• Veamos ahora una forma alternativa de transformación canónica. Busquemos
nuevos momentos constantes I, de tal manera que el nuevo Hamiltoniano sea el
mismo que el anterior y que la función generatriz sea Ŵ (q, I) = W (q, α(I)). Las
nuevas variables seran ahora cı́clicas pero no constantes y las denominaremos θ
H(q, p) = α →Ŵ (q,I) → H(I) = α
(3.4)
8
Capı́tulo 3
p=
∂ Ŵ (q, I)
∂q
(3.5)
θ=
∂ Ŵ (q, I)
∂I
(3.6)
• Las ecuaciones del movimiento para H(I) serán
I = cte
∂H
θ̇ =
= cte = ω
∂I
(3.7)
y por tanto la solución
θ = ωt + θ0
ejemplo: Oscilador armónico
H=
p2
mω 2 2
+
q
2m
2
Los puntos de retroceso son
r
q0 =
2α
mω 2
de manera que la variable de acción se calcula como
1
I=4
2π
Haciendo sin γ =
Z
q0
s
0
q
q0
2
I=
π
Z
µ
¶
mω 2 2
2m α −
q dq
2
π
2
0
2α
cos2 γdγ
ω
µ
·
¶¸ π2
sin 2γ
α
4α γ
+
=
=
πω 2
4
ω
0
luego
H = α = Iω
de manera que
θ̇ = ω =⇒ θ = ωt + θ0
(3.8)
3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO
9
Ejemplo: Potencial lineal
E
xo
El hamiltoniano es:
H=
p2
+k |x|
2m
El punto de retroceso es:
x0 = ±
y por tanto
α
k
Z
2 x0 p
I=
2m(α − kx)dx
π 0
µ
¶h
µ
¶
ix
2
2
2 1
3/2 0
(2m(α − kx))
I=
−
=
(2mα)3/2
π
3 2mk
3mkπ
0
µ
¶1/3
9mk 2 π 2
α=
I 2/3
8
µ
¶1/3
2 9mk 2 π 2
I −1/3
ω=
3
8
10
Capı́tulo 3
Ejemplo: Péndulo
–4
–2
2
4
t
El hamiltoniano es:
H=
p2
− mgl cos θ = α
2ml2
El punto de retroceso es:
µ
θ0 = arcos
y por tanto
2
I=
π
Z
θ0
−α
mgl
¶
p
2ml2 (α + mgl cos θ)dθ
0
Hacemos los cambios
mgl + α
2mgl
θ
x = sin =⇒ cos θ = 1 − 2x2
2
2dx
dθ = √
1 − x2
k2 =
con lo cual
8p 2 3
I=
m gl
π
Z
x0
0
r
k 2 − x2
dx
1 − x2
Haciendo x = k sn(u, k)
4p 2 3
I=
m gl
π
Z
K=arsn1
0
k 2 cn2 udu
3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO
3..2
11
Varios grados de libertad. Separabilidad
Sea un hamiltoniano autónomo H(q1 ...qn , p1 ..pn ) tal que la ecuación de H-J sea
separable en la forma:
S(q1 ...qn , α1 ...αn ) = −α1 t +
n
X
Wk (qk , α1 ...αn )
(3.9)
k=1
donde H = α1 .
• En tal caso, tomando como función generatriz la función
W (q1 ...qn , α1 ...αn ) =
n
X
Wk (qk , α1 ...αn )
(3.10)
k=1
obtenemos
pk =
∂
Wk (qk , α1 ...αn )
∂qk
• y por tanto, es posible definir las variables de acción
I
1
Ik (α1 ..αn ) =
pk dqk
2π
(3.11)
(3.12)
como los nuevos momentos generados por la transformación canónica
W (q1 ...qn , I1 ...In ) =
n
X
Wk (qk , I1 ...In )
(3.13)
k=1
• de forma que las nuevas coordenadas, conjugadas de las de acción, serán las
variables de ángulo definidas como
n
θk =
X ∂Wi (qk , I1 ...In )
∂W
=
∂Ik
∂Ik
i=1
(3.14)
• En cuanto al nuevo hamiltoniano será:
H = α1 = H(I1 ...In )
(3.15)
y las ecuaciones de H-J
I˙k = 0
∂H
= ωk (I1 ...In )
θ̇k =
∂Ik
(3.16)
12
Capı́tulo 3
o bien
Ik = cte
θk = ωk (I1 ...In )t + δk
(3.17)
El conjunto de constantes (I1 ...In ), (δ1 ...δn ) son las 2n constantes requeridas. No
obstante, las δi son triviales, una vez conocidas las Ii . En consecuencia: Un hamiltoniano se dice completamente integrable si existen n integrales Ii en involución
[Ii , Ij ] = 0
(3.18)
3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO
13
Ejemplo: Partı́cula en un rectángulo
El Hamiltoniano es:
H=
con
¢
1 ¡ 2
px + p2y
2m
0 ≤ x≤a
0 ≤y ≤b
de forma que tanto px como py son constantes en módulo
I
Z
1
1 a
a
I1 =
px dx =
| px | dx = | px |
2π
π 0
π
I
Z b
1
1
b
I2 =
py dy =
| py | dy = | px |
2π
π 0
π
de forma que
π2
H=
2m
µ
I12 I22
+
a2 b2
¶
2
I1
0
2
I2
Para cada valor de la energı́a, los posibles valores de I1 y I2 estn situados sobre
una elipse. Las frecuencias son por tanto
π2
I1
ma2
π2
=
I2
mb2
ω1 =
ω2
que dependen de las condiciones iniciales a través de I1 y I2 .
s
a 2mEa2
ω2
=
−1
n=
ω1
b
π 2 I12
14
Capı́tulo 3
Ası́ pues,para una energı́a dada, la relación entre las frecuencias será racional o
irracional dependiendo de los valores de I1
Las dos variables angulares son
x
a
y
θ2 = π
b
θ1 = π
que pueden identificarse con los dos ángulos de un toro. Las trayectorias en el
espacio de fases se encuentran pues arrolladas sobre un toro de radios I1 e I2 y
ángulos θ1 y θ2 .
Para un mismo valor de la energı́a tenemos varios posibles toros ya que la
energı́a es degenerada pues todos los valores de I1 e I2 situados sobre una elipse
tienen la misma energı́a. En la figuras siguientes se muestran secciones de los
diversos toros correspondientes a una misma energı́a
2
1
0
1
2
3
4
–1
–2
Las trayectorias sobre estos toros serán ergódicas o no dependiendo el valor de
I1
Toro racional con n=3
Trayectoria irracional
3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO
15
Ejemplo: Partı́cula en un potencial central
El lagrangiano será
L=
¢
m¡ 2
ṙ + r2 ϕ̇2 − V (r)
2
(3.19)
y los momentos
pr = mṙ
pϕ = mr2 ϕ̇
(3.20)
Por tanto el hamiltoniano es:
p2ϕ
p2r
H=
+
+ V (r)
2m 2mr2
(3.21)
Los momentos de H-J serán
P1 = α1 = H
P2 = α2 = pϕ
(3.22)
Ejemplo: Potencial de Coulomb
El movimiento se realiza en un plano y el Hamiltoniano es:
H=
p2ϕ
p2r
k
+
−
2
2m 2mr
r
y por tanto
α1 = H
y
pr =
√
α 2 = pϕ
Ar2 + Br + C
1
r
donde
A = 2mα1 < 0
B = 2mk > 0
C = −α22 < 0
de manera que
•
1
Iϕ =
2π
I
2π
pϕ dϕ = α2
0
16
Capı́tulo 3
•
1
Ir =
2π
I
1
pr dr =
π
Z
r2
r1
√
1
Ar2 + Br + C dr
r
donde r1 y r2 son las raices de Ar2 + Br + C = 0
¸
·
√
1
Bπ
√
Ir =
− π −C
π 2 −A
Ir = √
mk
− α2
−2mα1
de manera que
Iϕ = α2
q
1
Ir = mk −2mα
− α2
1
α2 = Iϕ
α1 = −
mk 2
2(Ir + Iϕ )2
y la energı́a es degenerada a lo largo de las rectas de la gráfica
En las figuras siguientes se ven los cortes de diferentes toros de la misma energı́a
2
1
0
–1
–2
1
2
3
4
5
3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO
17
• En cuanto a las frecuencias son iguales
mk 2
ω=
= mk 2
(Ir + Iϕ )3
µ
−2E
mk 2
¶3/2
y todos los toros son racionales con las trayectorias cerradas como muestra la figura
Como el semieje mayor es:
a=
B
k
r1 + r2
=−
=−
2
2A
2E
se verifica
ω 2 a3 =
que es la ley de Kepler
k
m
18
Capı́tulo 3
Ejemplo: Potencial Dipolar
• Sea el potencial central V = − kr + rλ2 . El correspondiente Hamiltoniano será:
H=
p21
p2
k
λ
+ 2 − + 2
2m 2m r r
.
• Las constantes de separación de Hamilton-Jacobi serán:
α1 = H, α2 = p2
Z q
dr
S = −α1 t + α2 ϕ +
−2mr2 | α1 | +2kmr − α22 − 2λm
r
y el potencial efectivo (ver figura) es:
Vef =
α22
k
λ
− + 2
2m r r
donde los puntos de retroceso son
s
Ã
µ
¶!
α22
k
4α1
1− 1− 2 λ+
r1 =
2 | α1 |
k
2m
k
r2 =
2 | α1 |
Ã
1+
s
4α1
1− 2
k
µ
α2
λ+ 2
2m
¶!
• Las variables de acción serán
1
I1 =
π
Z
r2
r1
q
dr
−2mr2 | α1 | +2kmr − α22 − 2λm =
r
s
q
mk 2
− α22 + 2mλ
2 | α1 |
3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO
19
I
1
I2 =
2π
α2 dϕ = α2
invirtiéndolas
α2 = I2
α1 = −
mk 2
³
2
I1 +
1
p
I22
´2
+ 2mλ
• Ası́ que en el formalismo de acción-ángulo, el Hamiltoniano es:
H=−
mk 2
³
2
I1 +
p
1
I22
´2
+ 2mλ
En las figuras se ven los cortes de los toros de la misma capa de energı́a
1
0.5
0
0.5
–0.5
–1
• y las frecuencias
mk 2
ω1 = ³
´3
p
I1 + I22 + 2mλ
ω2 = ³
I2
mk 2
´3 p 2
p
I2 + 2mλ
I1 + I22 + 2mλ
y por tanto la relación entre las frecuencias será
p
I22 + 2mλ
ω1
n=
=
ω2
I2
que será racional o no dependiendo del valor de I2
En la siguiente figura se ve la variación de n con I2
1
1.5
2
20
Capı́tulo 3
4
3
n 2
1
0
1
I2
• Toros racionales (n=3)
2
3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO
• Toros irracionales
21
22
Capı́tulo 3
Ejemplo: Potencial de Hartman
Sea el potencial
k
λ
V =− + 2
r ρθ
el lagrangiano será:
L=
¢ k
m¡ 2
λ
ẋ + ẏ 2 + ż 2 + − 2
2
r ρ
• El problema es separable en coordenadas parabólicas
√
x =
ab cos φ
√
y =
ab sin φ
a−b
z =
2
a−b
a+b
4ab
sin2 θ =
(a + b)2
a+b
r =
√2
ρ =
ab
cos θ =
en cuyo caso
(ȧb + ḃa)2
(ȧ − ḃ)2
2
ẋ + ẏ + ż =
+ abφ̇ +
4ab
4
2
2
2
Por tanto
" µ
#
¶
m ȧ2
a´
2k
b
ḃ2 ³
λ
L=
1+
+ abφ̇2 +
1+
+
−
2 4
a
4
b
a + b ab
• Los momentos serán:
pa
pb
pφ
µ
¶
m
b
=
1+
ȧ
4
a
a´
m³
1+
ḃ
=
4
b
= mabφ̇
(3.23)
3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO
23
• y el Hamiltoniano
·
¸
p2φ
2
b 2
2k
λ
a 2
H=
pa +
pb +
−
+
m a+b
a+b
4ab
a + b ab
• Para emplear H-J
H = α1
S = −α1 t + Wa (a) + Wb (b) + Wφ (φ)
"
#
µ
¶2
µ
¶2 µ
¶2
2
a
dWa
b
dWb
dWφ
1
2k
λ
α1 =
+
+
−
+
m a+b
da
a+b
db
dφ
4ab
a + b ab
Como ϕ es cı́clica, podemos hacer
α2 = pϕ
con lo que la ecuación de H-J es:
µ
4a
dWa
da
¶2
µ
+ 4b
dWb
db
¶2
µ
− 4mk + 2mλ
¶
µ
¶
1 1
1 1
2
+
− 2mα1 (a + b) = −α2
+
a b
a b
de manera que podemos separar el problema en la forma
µ
pa =
pϕ
r
¶
=
mα1 α3 α22 + 2mλ
+
−
2
4a
4a2
¶ r
dWb
mα1 4mk − α3 α22 + 2mλ
=
=
+
−
db
2
4b
4b2
µ
¶
dWϕ
= α2
=
dϕ
µ
pb
dWa
da
donde α3 es la constante de separación
Las variables de acción serán:
•
1
IΦ =
2π
•
1
Ia =
2π
I
I
1
pa da =
π
pΦ dΦ = α2
Z
a2
a1
√
Aa2 + Ba + C
da
a
(3.24)
24
Capı́tulo 3
donde
mα1
<0
2
α3
B =
4
α2 + 2mλ
C = − 2
<0
4
A =
y a1 , a2 son las raices de Aa2 + Ba + C = 0.
·
¸
√
1
Bπ
√
Ia =
− π −C
π 2 −A
r
q
1
α3
2
−
α22 + 2mλ
Ia =
8 −mα1 2
•
1
Ib =
2π
I
1
pb db =
π
Z
b2
b1
√
Ab2 + Bb + C
db
b
donde
mα1
<0
2
4mk − α3
B =
4
α22 + 2mλ
C = −
<0
4
A =
y b1 , b2 son las raices de Ab2 + Bb + C = 0.
¸
·
√
1
Bπ
√
Ib =
− π −C
π 2 −A
r
q
4mk − α3
2
1
Ib =
−
α22 + 2mλ
8
−mα1 2
• Para eliminar α3 sumamos Ia e Ib
r
q
4mk
2
2
Ia + Ib = − IΦ + 2mλ +
8
−mα1
despejando α1
H = α1 = −
q
´−2
mk 2 ³
Ia + Ib + Iφ2 + 2mλ
2
3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO
25
• Las frecuencias asociadas a a y b son iguales
ωa = ωb = mk
2
³
q
´−3
Ia + Ib + Iφ2 + 2mλ
mientras que
Iφ
ωΦ = ωa q
Iφ2 + 2mλ
26
Capı́tulo 3
Problemas
1) Dado el hamiltoniano
p2
β
+ q4
2m 4
a) Resolver el problema utilizando Hamilton-Jacobi
b) Encontrar la frecuencia del movimiento utilizando el método de las variables
acción-ángulo
H=
2) Resolver el hamiltoniano
H=
p2
1
+ mω 2 q 2 + ²q 3
2m 2
3) Estudiar los espacios de fases de los dos hamiltonianos anteriores
a) Representar las trayectorias en el espacio de fases
b) Hacer el análisis de puntos crı́ticos
3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO
27
1) Dado el hamiltoniano
p2
β
+ q4
2m 4
a) Resolver el problema utilizando Hamilton-Jacobi
b) Encontrar la frecuencia del movimiento utilizando el método de las variables
acción-ángulo
H=
Solución
•
Hamilton-Jacobi
p2
β
+ q4
2m 4
S(q, α) = −αt + W (q, α)
H=
donde las nuevas coordenadas son
P = α=H
Q = t0
y
Z r
β
2m(α − q 4 )dq
W (q, α) =
4
y la ecuación del movimiento es:
Q=
∂S
∂W
−→ t0 = −t +
∂P
∂α
es decir
Z r
t0 = −t +
dq
m
q
2 α − β q4
4
Haciendo
q = q0 cn(u; 1/2)
1
t0 + t = −
2
deshaciendo el cambio
q0 = (
r
4α 1/4
)
β
m
q0 u
α
· r
¸
α t + t0
q = q0 cn 2
; 1/2
m q0
µ ¶ 14 ·
¸
4α
4αβ 1
q=
cn ( 2 ) 4 (t + t0 ); 1/2
β
m
28
Capı́tulo 3
•
Variable angular de acción
Es una integral elı́ptica definida que puede escribirse en términos de funciones
Γ
µ
¶
I s
1
βq 4
I=
2m α −
dq
2π
4
o bien
Z
4√
2mα
I=
2π
Si hacemos el cambio
q04
z=
I=
q0
2mα
2π
1−
0
µ
√
r
Z
1
q
q0
q4
dq
q0
¶4
(1 − z)1/2 z −3/4 dz
0
que es una función de Bessel
1
I=
2π
µ
16m2 α3
β
¶1/4
B(1/4, 3/2)
que es expresable también como
1
I=
2π
µ
16m2 α3
β
¶1/4
Γ(1/4)Γ(3/2)
Γ(7/4)
Utilizando las relaciones:
µ
Γ(3/2) = Γ 1 +
µ
Γ(7/4) = Γ 1 +
¶
√
1
1
π
= Γ(1/2) =
2
2
2
¶
3
3
= Γ(3/4)
4
4
µ
¶
√
1
π
Γ(3/4)Γ(1/4) = Γ(1/4)Γ 1 −
=
2π
π =
4
sin( 4 )
obtenemos
√
I=
2
3π 3/2
µ
m2
β
¶1/4
µ ¶
1
Γ
α3/4
4
2
Invirtiendo para despejar α
α = H = k0 I 4/3
¶1/3
µ
81π 6 β
k0 =
4m2 Γ8 (1/4)
3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO
de manera que la frecuencia es
4
ω = k0 I 1/3
3
que depende de la energı́a
29
30
Capı́tulo 3
2) Resolver el hamiltoniano
p2
1
H=
+ mω 2 q 2 + ²q 3
2m 2
Solución
En la figura se ha representado el potencial V = 21 mω 2 q 2 + ²q 3 . Los estados ligados
corresponden a
m3 ω 6
0<E<
54²2
q1 < q2 < q < q3
donde q1 , q2 , q3 son las raices de la ecuación de tercer grado (ver Schaum)
q3 +
mω 2 q 2 E
− =0
2²
²
que verifican
q1 + q2 + q3 =
−mω 2
2²
E
²
q1 q2 + q1 q3 + q2 q3 = 0
q1 q2 q3 =
Resolución exacta
Corresponde a resolver
E=
m 2
m
1
q̇ + V = q̇ 2 + mω 2 q 2 + ²q 3
2
2
2
3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO
es decir
Z
31
r
dq
p
(q3 − q)(q − q2 )(q − q1 )
=
2²
dt
m
Esta integral puede resolverse con el cambio
q = q2 + (q3 − q2 ) cn2 (u; k)
k2 =
q3 − q2
q3 − q1
de manera que:
q3 − q = (q3 − q2 ) sn2 (u; k)
q − q1 = (q3 − q1 ) dn2 (u; k)
q − q2 = (q3 − q2 ) cn2 (u; k)
y la integral es
2du
√
=
q3 − q1
r
2²
dt
m
en consecuencia
Ãr
q = q2 + (q3 − q2 ) cn2
• El caso particular en que E =
m3 ω 6
54²2
²(q3 − q1 )
(t + t0 ); k
2m
corresponde a
q1 = q2 = −
mω 2
3²
E
q1
mω 2
q3 =
=− =
6q1 q2
2
6²
En tal caso k = 1 y la solución es:
q=−
1
mω 2 mω 2
+
2 ω
3²
2² cosh [ 2 (t + t0 )]
de forma que
q(−∞) = q(∞) = q1 = q2
q(t0 ) = q3
!
32
Capı́tulo 3
Variables de acción
1
I=
2π
I
1
pdq =
π
Z
q3
p
2m²(q3 − q)(q − q2 )(q − q1 )dq
q2
que con el cambio de variable anterior es:
Z
p
1 u3
I=
2(q3 − q2 ) 2m²(q3 − q1)(q3 − q2 )2 sn2 cn2 dn2 du
π u2
Z u3
2(q3 − q2 )2 p
2m²(q3 − q1)
I=
sn2 cn2 dn2 du
π
u2
donde
cn2 (u2 ) = 0
sn2 (u2 ) = 1
2
2
cn (u3 ) = 1
Teniendo en cuenta 361.04
sn (u3 ) = 0
u2 = K
u3 = 0
Z
sn2 cn2 dn2 du =
ª
1 © 02 2
4
02
2
2
2
2
k
(k
−
2)u
+
2(k
+
k
)E(u)
+
k
sn(u)
cn(u)
dn(u)(3k
sn
(u)
−
1
−
k
)
15k 4
Cálculo aproximado
Volviendo a :
1
I=
π
Z
q3
r
2m(E −
q2
mω 2 2
q − ²q 3 )dq
2
Haciendo el desarrollo en serie de la raiz
√
a − b² ∼
√
b²
a− p
2 (a)
donde en nuestro caso
a = 2mE − m2 ω 2 q 2
b = 2mq 3
obtenemos
Z
1 q3 p
I∼
2mE − m2 ω 2 q 2 dq
π q2
Z q3
²
q3
−
2m p
dq
2π q2
2mE − m2 ω 2 q 2
haciendo
r
sin θ =
mω 2
q
2E
3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO
33
obtenemos
1
I∼
π
Z
π
0
√
r
2mE
2E
²m
cos2 θdθ −
2
mω
π
E
4²
I∼ −
ω
3π
µ
2E
mω 2
Z
π
0
¶2
√
µ
2E
mω 2
1
2mE
¶2
sin3 θ
√
dθ
2mE