Sistemas Abiertos

C ELINA G ONZÁLEZ · Á NGEL J IMÉNEZ ·
I GNACIO L ÓPEZ · R AFAEL N IETO
Descripción General de los Sistemas Abiertos
Cuestiones y
problemas:
C5.40, C5.42, C5.44,
C5.47, C5.51, C5.52,
P3.14, P3.19
30 de abril de 2009
subrayados y en negrita para
voluntarios punto de clase
Índice
5
1. Punto de partida
2
2. Análisis de un sistema abierto
3
3. Balance de masa
4
4. Balance de energía: 1er Principio para sistemas abiertos
4
10 5. Balance de entropía: 2o Principio para sistemas abiertos
5
6. Balance de exergía
6
7. Ecuaciones generales para un sistema abierto
6
8. Sistemas abiertos en procesos estacionarios
6
9. Balance de ímpetu como energía
7
2
1.
15Punto
de partida
Los sistemas abiertos se diferencian de los cerrados en que aquellos intercambian masa con su entorno. La mayor parte de los procesos industriales tienen lugar en sistemas abiertos. En los procesos técnicos se toma una
serie de flujos continuos de masa que son sometidos a interacción entre sí
20 y con su entorno. Estas interacciones producen transformaciones de tipo
físico y químico dando lugar a intercambios energéticos de tipo mecánico
o térmico con el exterior del sistema y a la obtención de nuevas corrientes
continuas de masa como producto del proceso. Estos procesos de transformación e intercambio energético, tienen lugar, por tanto en sistemas termo25 dinámicos abiertos.
El punto de partida para la descripción que se hará de los sistemas
abiertos se basa en los siguientes enunciados:
30
35
El principio de equilibrio local. En un sistema abierto, no existe en general un equilibrio interno, de manera que no hay una presión y temperatura únicas definidas en todo el sistema. Sin embargo, se supondrá
en lo que sigue que, en torno a todos los puntos interiores al sistema
existe una región en la que se dan condiciones de equilibrio de forma
que sí se encuentras definidas la presión y temperatura de modo local, econtrándose que éstas varían en el espacio de forma continua a
lo largo del sistema abierto que se considera.
NOTA: La mayoría de procesos de interés práctico en sistemas abiertos son
cuasiestáticos. Sin embargo, hay algunos como la laminación que no lo son,
y por lo tanto no se puede decir que se cumpla el principio de equilibrio
local en lodo el sistema. La mínima condición que ha de cumplirse para
mantener la validez de las ecuaciones que se van a obtener es que exista
equilibrio local en las secciones de entrada y salida de masa al sistema, y
por tanto estén definidas las variables termodinámicas en dichas secciones.
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El primer y segundo principios de la termodinámica para los sistemas cerrados. Se asume que para un sistema cerrado se tiene:
P1: ∆U 0 = Q − W
P2: ∆S = Js + σ
(1)
Aunque no aporta información adicional puesto que se trata de una
combinación de las dos ecuaciones anteriores, también recordamos el
balance de exergía para un sistema cerrado por su gran utilidad:
∆B0 = ( Q − T0 Js ) − (W − P0 ∆V ) − I
40
2.
(2)
siendo el primer término entre paréntesis el contenido exergético del
calor, el segundo término el contenido exergético del trabajo e I = T0 σ
la destrucción exergética.
Análisis de un sistema abierto
Obsérvese el conjunto mostrado en la siguiente figura. Se consideran
dos sistemas termodinámicos:
45
El sistema abierto SA recibe masa de la corriente 1 y la cede a la corriente 2. Sus propiedades extensivas, designadas sin subíndices, varían con el tiempo: Z = Z (t). El contorno de SA también puede ser
variable con el tiempo.
50
El sistema SC es un sistema cerrado constituido por toda la masa contenida por SA en el instante t más la cantidad infinitesimal de masa
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55
dm1 que cruzará la frontera entre la corriente 1 y SA entre los instantes t y t + dt. En el instante t + dt el contorno de SC ha variado y una
cantidad infinitesimal de masa dm2 ha cruzado la frontera entre SA y
la corriente 2.
SC se identifica con la unión de SA y dm1 en el instante t y con la
unión de SA y dm2 en el instante t + dt
3.
Balance de masa
Dado que SA es un sistema cerrado, la masa contenida en él no varía
con el tiempo. Por lo tanto puede establecerse:
mSC (t + dt) − mSC (t) = 0
(3)
m(t + dt) + dm2 − m(t) − dm1 = dm + dm2 − dm1 = 0
dm = dm1 − dm2
(4)
Esta expresión puede ser generalizada para el caso de N entradas y salidas de masa del sistema, adoptando el convenio de que una masa infinitesimal entrante al sistema tiene signo positivo y una saliente del sistema
signo negativo, de la siguiente manera :
N
dm =
∑ dmi
(5)
i =1
4.
Balance de energía: 1er Principio para sistemas abiertos
Aplicamos el Primer Principio para sistemas cerrados a SC:
0
0
USC
(t + dt) − USC
(t) = d̄QSC − d̄WSC
(6)
60
65
70
1. d̄QSC puede identificarse con d̄QSA ≡ d̄Q. En efecto, por un lado, el
calor intercambiado por los diferenciales de masa a través del elemento diferencial de carcasa será un infinitésimo de orden superior a
d̄Q. Por el otro, la sección de las conducciones es normalmente mucho menor que el área de separación de SA con el exterior. Además,
los gradientes térmicos en el seno del fluido en las conducciones son
en general muy pequeños, por lo que la conducción de calor también
lo es. Por lo tanto, el calor transmitido a lo largo de aquellas secciones
debe ser considerado despreciable frente al intercambiado a través de
la envolvente externa de SA en la mayoría de las aplicaciones.
R AZONAMIENTO
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2. El trabajo sobre SC puede obtenerse a partir del ejercido sobre SA
(d̄W) a causa de sus interacciones mecánicas con el exterior, añadiendo la contribución de otras fuerzas sobre SC que desplazan su punto
de aplicación: se trata del trabajo debido a la presión en las corrientes
de entrada y salida: d̄W1 = − P1 dV1 = − P1 v1 dm1 y d̄W2 = + P2 dV2 =
+ P2 v2 dm2 .
R AZONAMIENTO
Atendiendo a esto, reescribimos (8) mediante
U 0 (t + dt) + u20 dm2 − U 0 (t) − u10 dm1 = d̄Q − d̄W + P1 v1 dm1 − P2 v2 dm2
dU 0 = d̄Q − d̄W + (u10 + P1 v1 )dm1 − (u20 + P2 v2 )dm2
dU 0 = d̄Q − d̄W + h10 dm1 − h20 dm2
(7)
Generalizando para el caso de N entradas y salidas de masa del sistema
en base al convenio de signos para las masas infinitesimales mencionado
anteriormente:
N
dU 0 = d̄Q − d̄W + ∑ hi0 dmi
(8)
i =1
5.
Balance de entropía: 2o Principio para sistemas abiertos
Ahora es es el turno del Segundo Principio. La aplicación del mismo a
SC proporciona:
SSC (t + dt) − SSC (t) = d̄( Js )SC + d̄σSC
80
(9)
1. Por las mismas razones expresadas en la sección anterior, podemos
identificar d̄( Js )SC con d̄( Js )SA ≡ d̄Js . Asimismo d̄σSC = d̄σSA ≡ d̄σ
salvo infinitésimo de orden superior.
R AZONAMIENTO
R AZONAMIENTO
Por lo tanto, reordenamos (11):
S(t + dt) + s2 dm2 − S(t) − s1 dm1 = d̄Js + d̄σ
dS = d̄Js + d̄σ + s1 dm1 − s2 dm2
(10)
Y finalmente, para el caso de N entradas y salidas de masa del sistema:
N
dS = d̄Js + d̄σ + ∑ si dmi
(11)
i =1
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6
6.
Balance de exergía
Podemos obtener un balance de exergía para un sistema abierto combinando apropiadamente las ecuaciones de balance de masa (5) y los dos
85 principios (8) y (11). En efecto:
dB0 = d(U 0 − T0 S + P0 V − G0 ) = dU 0 − T0 dS + P0 dV − g0 dm =
N
= (d̄Q − T0 d̄Js ) − (d̄W − P0 dV ) − d̄I + ∑ (hi0 − T0 si − g0 )dmi
i =1
Introduciendo la exergía de flujo e y la exergía de flujo total e0 :
e ≡ (h − h0 ) − T0 (s − s0 ) = h − T0 s − (h0 − T0 s0 ) = h − T0 s − g0
e0 ≡ e + 21 c2 + gz
al sustituir en la expresión anterior, se obtiene:
N
dB0 = (d̄Q − T0 d̄Js ) − (d̄W − P0 dV ) − d̄I + ∑ ei0 dmi
(12)
i =1
La interpretación física de los tres primeros términos es similar al caso de
un sistema cerrado: contenido exergético del calor y trabajo intercambiados
por el sistema abierto y exergía destruida en el seno del sistema abierto,
respectivamente. El cuarto término se interpreta como la tasa de exergía
90 introducida o extraída del sistema abierto transportada por las corrientes
entrantes y salientes.
7.
Ecuaciones generales para un sistema abierto
El comportamiento de un sistemas abierto es descrito mediante el conjunto de ecuaciones (5), (8), (11) y (12):
95
8.
dm
dU 0
dS
dB0
=
=
=
=
∑i dmi
d̄Q − d̄W + ∑i hi0 dmi
d̄Js + d̄σ + ∑i si dmi
(d̄Q − T0 d̄Js ) − (d̄W − P0 dV ) − d̄I + ∑i ei0 dmi
Sistemas abiertos en procesos estacionarios
Un sistema abierto describe un proceso estacionario si en todo punto
del mismo las propiedades termodinámicas intensivas son constantes en
el tiempo. Esto no implica que el sistema sea uniforme, es decir, en gene100 ral podrá haber una variación espacial de las propiedades. Sin embargo,
en todo caso las propiedades extensivas globales del sistema permanecen
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constantes para todo instante: Z (t) = Z = cte. ⇒ dZ = 0. En particular,
esto es cierto para Z = m, U 0 , S, B0 , V; y por tanto las ecuaciones anteriores
se reducen a:
0 =
∑ dmi
(13)
i
0 = d̄Q − d̄W + ∑ hi0 dmi
(14)
0 = d̄Js + d̄σ + ∑ si dmi
(15)
i
i
0 = (d̄Q − T0 d̄Js ) − d̄W − d̄I + ∑ ei0 dmi
(16)
i
105
En el caso particular de un sistema con sólo una entrada y una salida
de masa, aplicando (13) se obtiene dm1 = −dm2 ≡ dm. Introduciendo
d̄Js
d̄W
d̄σ
d̄I
q ≡ d̄Q
dm , w ≡ dm , js ≡ dm , σ̂ ≡ dm e i ≡ dm , las ec. (14), (15) y (16) se
reducen a:
q − w = h20 − h10
(17)
js + σ̂ = s2 − s1
(18)
q − T0 js − w − i =
e20
− e10
(19)
NOTA: Es de interés destacar que, para el caso de sistemas abiertos que
acumulan muy poca cantidad de masa en su interior:
m(t), m(t + dt) ≈ 0
U 0 (t), U 0 (t + dt) ≈ 0
S(t), S(t + dt) ≈ 0
B0 (t), dB0 (t + dt) ≈ 0
⇒
⇒
⇒
⇒
dm ≈ 0
dU 0 ≈ 0
dS ≈ 0
dB0 ≈ 0
por lo que, aunque el sistema describa un proceso no estacionario se obtienen ecuaciones equivalentes a las del caso estacionario.
9.
Balance de ímpetu como energía
Consideremos un sistema abierto que describe un proceso estacionario
con una única corriente de entrada y otra de salida. A continuación aplica110 mos las ecuaciones del primer y segundo principio a un subsistema abierto
infinitesimal comprendido entre dos secciones infinitamente próximas A y
A'. Se supone nulo o despreciable el flujo de calor en el interior del fluido
en la dirección de avance del mismo. Escribimos las ecuaciones (17) y (18)
en forma diferencial:
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8
0
d̄q − d̄w = dh = dh + d
1 2
c + gz
2
d̄js + d̄σ̂ = ds
(20)
(21)
Consideramos como hipótesis de trabajo adicional que existe un equilibrio
interno dentro de la toda sección de espesor infinitesimal que se considera, de modo que existe una única temperatura en toda ella y se cumple
d̄q
d̄js = T . La diferencia entre la ecuación (20) y (21) multiplicada por T resulta ser:
vdP
z }| {
1 2
−d̄w − T d̄σ̂ = dh − Tds +d
c + gz
2
1 2
d̄w = −vdP − d
c + gz − d̄ψ̂
(22)
2
Integrando esta ecuación entre las secciones de entrada y salida del sistema abierto, se tiene:
w=−
Z 2
1
115
1
vdP − (c22 − c21 ) − g(z2 − z1 ) − ψ̂
2
(23)
NOTA: Aunque la ecuación (23) ha sido deducida para el caso de un sistema que realiza un proceso estacionario, es igualmente válida para el caso de
un sistema abierto en el que prácticamente no hay acumulación de masa y
que describa un proceso no estacionario.
Una aplicación interesante de la ecuación del balance de ímpetu
como energía es el caso del movimiento reversible de un líquido (v ≈ cte.) en un conducto. Para este caso (23) se reduce a
0 = −v( P2 − P1 ) − 21 (c22 − c21 ) − g(z2 − z1 ). Como esto es válido para
cualesquiera dos puntos 1 y 2 del conducto, se obtiene:
1
Pv + c2 + gz = cte.
2
(24)
expresión a la que se da el nombre de ecuación de Bernouilli.
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