Funciones polinómicas

Funciones polinómicas
POLINOMIO:
Definición:
Un polinomio es la suma o resta de dos o más monomios.
Un MONOMIO es una expresión algebraica en la que se utilizan letras (variables) y números, donde las únicas
operaciones que aparecen entre estos son el producto y la potencia de exponentes naturales.
(Ejemplo: 2x, 5x2, -7y2, -4a3, etc.)
En forma general, un polinomio resulta ser una expresión algebraica de la forma:
𝑃 𝑥 = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + … + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0
Observación:
¤ El subíndice i indica que 𝑎𝑖 es el coeficiente de 𝑥 𝑖 .(i es un natural que varía entre 0 y n).
¤ a0 es el término independiente.
FUNCIÓN:
Definición:
Sean A y B dos conjuntos; diremos que una relación de A en B es función si a cada elemento de A le corresponde un
único elemento de B.
FUNCIÓN POLINÓMICA
Definición:
Se denomina función polinómica a toda función 𝑓: ℝ → ℝ, tal que:
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + … + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 en donde 𝑎𝑖 ∈ ℝ, 𝑦 𝑛 ∈ ℕ.
RAIZ DE UNA FUNCIÓN POLINÓMICA:
𝛼 𝑒𝑠 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑓 𝑥 ⟺ 𝑓 𝛼 = 0
Ejercicio: investiga si x = −1 es raíz de la función polinómica:
g x ≡ 10x 7 + 8x 4 + 4x 3 − 2x 2 − 2x + 6.
VALOR NUMÉRICO DE UNA FUNCIÓN POLINOMICA:
Se denomina valor numérico de la función para 𝑥 = 𝛼, 𝛼 ∈ ℝ, al número real:
𝑓 𝛼 = 𝑎𝑛 𝛼 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝛼 𝑛−1 + … + 𝑎1 𝛼 + 𝑎0
Para calcular el valor numérico de la función polinómica para un número real cualquiera, debe sustituirse el número
dado por la variable y realizar las operaciones indicadas. El resultado, o sea el valor numérico es un número real.
FUNCIÓN POLINÓMICA IDÉNTICAMENTE NULA
Una función polinómica es idénticamente nula, cuando para todo 𝑥 perteneciente a los reales se cumple que
𝑓 𝑥 = 0.
GRADO DE UNA FUNCIÓN POLINÓMICA
Para toda función polinómica 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + … + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 , distinta de la función polinómica
idénticamente nula, decimos que n es el grado de 𝑓(𝑥), si y sólo sí, 𝑎𝑛 ≠ 0, y para todo natural 𝑖 mayor que 𝑛, se
cumple 𝑎𝑖 = 0.
¤ Usaremos como notación para indicar el grado 𝑛 de la función polinómica 𝑓 𝑥 ∶ 𝑔𝑟 𝑓 = 𝑛
¤ La función idénticamente nula no tiene grado.
¤ Cuando el grado de la función polinómica es 𝑛, denominamos al coeficiente 𝑎𝑛 como coeficiente principal.
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Funciones polinómicas
Completa:
𝑓 𝑥 = 3𝑥 2 + 4𝑥 5 + 7, ⟹ 𝑔𝑟 𝑓 =
𝑔 𝑥 = 2𝑥 − 3 ⟹ 𝑔𝑟 𝑔 =
𝑕 𝑥 = 12 ⟹ 𝑔𝑟 𝑕 =
FUNCIONES POLINÓMICAS IDÉNTICAS:
Decimos que dos funciones polinómicas 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + … + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 y 𝑔 𝑥 = 𝑏𝑛 𝑥 𝑛 +
𝑏𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + … + 𝑏1 𝑥 + 𝑏0 son idénticas si se cumple que ∀𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑎𝑖 = 𝑏𝑖 ,
𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥) ⇔ ∀𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑎𝑖 = 𝑏𝑖
En otras palabras, si dos funciones polinómicas son idénticas deben tener el mismo grado, y además sus coeficientes
del mismo orden deben ser iguales.
Aclaración: Las siguientes definiciones si bien son trabajadas con polinomios se aplican a las funciones polinómicas.
DIVISIÓN ENTERA
Definición:
Dados los polinomios 𝐴 𝑥 y 𝐷 𝑥 , con 𝐷 𝑥 ≠ 0, denominamos cociente 𝑄 𝑥 y resto 𝑅 𝑥 de la división 𝐴 𝑥
entre 𝐷 𝑥 a dos polinomios que verifican las siguientes dos condiciones:
1) 𝐴 𝑥 = 𝐷 𝑥 . 𝑄 𝑥 + 𝑅(𝑥)
2) 𝑔𝑟 𝑅 < 𝑔𝑟(𝐷) o 𝑅 𝑥 = 0
El siguiente esquema de la división es equivalente a la definición:
Observaciones:
1) El cociente y el resto de una división son únicos.
2) En el caso en que 𝑅 𝑥 = 0 decimos:
¤ D x divide a A x .
¤ A x es divisible por D x .
¤ A x es múltiplo de D x
¤ La división 𝐴 𝑥 por 𝐷 𝑥 es exacta.
3) 𝑔𝑟 𝐴 ≥ 𝑔𝑟 𝐷 ⇒ 𝑔𝑟 𝑄 = 𝑔𝑟 𝐴 − 𝑔𝑟(𝐷)
DIVISIÓN POR (𝒙 − 𝜶)
Sea un polinomio 𝐴 𝑥 dividido por (𝑥 − 𝛼). Es decir:
Por definición 𝑔𝑟 𝑅 < 𝑔𝑟(𝑥 − 𝛼) ⇒ 𝑅(𝑥) no es el polinomio nulo, el grado del resto es cero.
Por esto simbolizaremos a 𝑅(𝑥) con r, r real.
¤ El grado del polinomio cociente es la diferencia entre los grados de los polinomios dividendo y divisor.
Llamando n al grado del polinomio dividendo tenemos que gr Q = n − 1.
¤ El coeficiente principal de Q x es igual al coeficiente principal de A x pues surge de dividir este último por
1, ya que, en esta división, 1 es el coeficiente principal del divisor.
Esquematizando:
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REGLA O ESQUEMA DE RUFFINI
Si divido 𝑃 𝑥 = 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 entre x − α ⟹ P x = x − α . C x + r con
𝐶 𝑥 = 𝑎𝑥 2 + 𝑎α + b 𝑥 + 𝑎α + b α + 𝑐 y 𝑟 =
𝑎α + b α + 𝑐 α + d
TEOREMA DE DESCARTES
La condición necesaria y suficiente para que P(x) sea divisible por (𝑥 − 𝛼) es que, 𝛼 sea raíz de P(x).
P(x) es divisible entre (x − α) ⇔ α es raíz de P(x).
P(x) es divisible entre (x − α) ⇔ El resto de dividir P(x) por (x − α) es 0 ⇔ P α = 0 es raíz de P(x) .
Notas:
¤ - El dato P(x) es divisible por x − α nos indica que el resto de la división es cero.
¤ - Esta propiedad relaciona la división con las raíces de un polinomio.
TEOREMA
α es raíz de P(x) ⇔ α es raíz de D(x) o α es raíz de Q(x)
Es decir, si P(x) es divisible por D(x):
¤ Las raíces de P(x) son raíces del divisor o del cociente.
¤ Las raíces del divisor y del cociente son raíces de P(x).
TEOREMA DE DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL
Toda función polinómica de grado n, n ≠0, con k raíces reales y distintas dos a dos k≤n, puede expresarse como el
producto de k binomios de la forma “x – raíz” multiplicado por una función polinómica de grado n-k.
Ejemplo: Una función polinómica de tercer grado se puede expresar de la siguiente forma:
RAÍCES PARTICULARES DE UNA FUNCIÓN POLINÓMICA
¤ 0 es raíz de una función polinómica si y sólo si el término independiente es cero.
¤ 1 es raíz de una función polinómica sí y sólo si la suma de los coeficientes es cero.
¤ -1 es raíz de una función polinómica sí y sólo si la suma de los coeficientes de los términos de grado par es
igual a la suma de los coeficientes de los términos de grado impar.
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Funciones polinómicas
RELACIONES ENTRE COEFICIENTES Y RAÍCES
¤ FUNCIÓN POLINOMICA DE PRIMER GRADO:
¤ FUNCIÓN POLINOMICA DE SEGUNDO GRADO:
¤ FUNCIÓN POLINOMICA DE TERCER GRADO:
MÁXIMOS Y MÍNIMOS LOCALES DE FUNCIONES POLINÓMICAS.
Decimos que una función presenta un máximo local o relativo, en 𝑥 = 𝑎,
si existe un entorno de 𝑎, tal que 𝑓(𝑎) es el mayor de los valores
funcionales obtenidos para todos los puntos 𝑥 del entorno de 𝑎. (𝑥 ≠ 𝑎)
Una función presenta un mínimo local o relativo, en 𝑥 = 𝑏, si existe un
entorno de 𝑏, tal que 𝑓(𝑏) es el menor de los valores funcionales
obtenido para todos los puntos 𝑥 del entorno de 𝑏. (𝑥 ≠ 𝑏)
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