1 universoexacto.com Matriz insumo

Matriz insumo-producto
(Matriz de Leontief)
Wassily Leontief, en la década de 1930, creó un modelo lineal de la economía nacional.
Este modelo consiste en una economía que se forma con un cierto número de industrias que
interactúan.
Cada una de estas industrias produce un único bien y lo producido por cada una es
adquirido como insumo para ella misma, para las otras y para una demanda externa como
producto final.
Compras
S1
S2
S3
Sn
Demanda final
(DF)
Producto total
(PT)
S1
b11
b12
b13
b1n
d1
x1
S2
b21
b22
b23
b2n
d2
x2
S3
b31
b32
b33
b3n
d3
x3
:
:
:
:
:
:
:
Sn
bn1
bn2
bn3
bnn
dn
xn
Valor agregado
(VA)
VA1
VA2
VA3
VAn
VA = di
Producto total
(PT)
x1
x2
x3
xn
Ventas
:
xi = xj
bij representa lo producido por la industria i para la industria j , o bien lo insumido por la
industria j de la industria i.
di representa lo producido por la industria i para satisfacer la demanda externa.
B es la matriz insumo-producto.
A es la matriz de los coeficientes tecnológicos, aij = bij/xj
L = I – A es la matriz de Leontief (donde siempre|L|0)
(I – A)X = D  LX = D
luego, para obtener X: X = L-1D
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Matriz insumo-producto
(Matriz de Leontief)
Ejemplo: Considera una economía hipotética de 2 industrias, S1 y S2, representada en la tabla:
S1
S1
80
S2
VA
S2
DF
32
0
30
40
PT
PT
--110
---
Determina la nueva tabla (completa) si la demanda final cambia a 42 para S 1 y 28 para S2.
Solución:
S1
S1
80
S2
VA
30
40
S1
110
---
S2
DF
30
40
S1
S1
80
S2
80
VA
40
PT
110
PT
32
0
PT
PT
---
80
S2
VA
DF
32
0
PT
S1
S2
110
---
110
---
S2
DF
PT
32
0
30
110
---
110
---
Si sumamos los elementos de esta columna obtenemos
la producción total de S1 que es la misma de aquí
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La suma de estos tres
elementos debe dar
110, por lo tanto el
primero es 80.
S1
S1
80
S2
80
VA
40
PT
200
S2
0
DF
PT
32
200
30
110
---
110
---
La suma de esta fila debe dar 200, por lo tanto obtenemos el valor de este
elemento haciendo 200 – (80 + 32) = 88
S1
S2
DF
PT
S1
80
88
32
200
S2
80
0
30
110
VA
40
PT
200
--110
---
La suma de esta columna debe dar 110, por lo tanto obtenemos el valor de este
elemento haciendo 110 – (88 + 0) = 22
Por último calculamos los totales que deben coincidir por fila y columna.
S1
S2
DF
PT
S1
80
88
32
200
S2
80
0
30
110
VA
40
22
62
---
PT
200
110
---
310
Una vez que hemos completado la tabla, escribimos la matriz insumo-producto:
B=
y con ella obtenemos la matriz de los coeficiente tecnológicos dividiendo a cada columna
por la producción total:
A=
Calculamos la matriz de Leontief:
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L=I –A=
La nueva producción total la calculamos con la ecuación matricial (I – A)X = D, siendo
D=
la nueva demanda final.
Como queremos averiguar la nueva producción total, X, la despejamos: X = (I – A)-1D
Entonces debemos calcular la matriz inversa de Leontief.
(I – A)-1 = (1/|I – A|)·(adj (I – A))t
Primero calculamos el determinante
|I – A| =
=
—
Para calcular la matriz transpuesta de la adjunta en una matriz de orden 2x2, simplemente
intercambiamos los elementos de la diagonal principal y le cambiamos el signo a los
elementos de la diagonal secundaria.
(adj (I – A))t =
Por lo tanto,
(I – A)-1 =
Finalmente,
X = (I – A)-1D =
=
Acabamos de obtener la nueva producción total, es decir que, S1 debe producir 230 y S2
debe producir 120.
Ahora vamos a construir la nueva tabla.
Recordemos que la matriz que nunca cambia es la matriz de coeficientes tecnológicos, A,
mientras que la matriz insumo-producto cambió al cambiar la demanda final.
Sabemos que:
S1
4
DF
PT
S1
42
230
S2
28
120
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S2
VA
PT
--230
120
---
Necesitamos calcular la nueva matriz insumo-producto, para ello multiplicamos las columnas
de la matriz A por los nuevos valores de producción total.
A=
 B=
S1
S2
DF
PT
S1
92
96
42
230
S2
92
0
28
120
VA
46
24
70
---
PT
230
120
---
350
230 – (92 + 92) = 46
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120 – (96 + 0) = 24
Totales obtenidos de sumar
las filas o las columnas.