Tomo 1

CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
SUCESIONES NUMÉRICAS
1; 8; 27; …….n3
Ejemplo 1:
SUCESIONES: - Es aquel conjunto de elementos
(Números, letras, figuras), que se encuentran
ordenados según una ley de formación (Fórmula de
recurrencia).
Ejemplo:
9, 11, 14,18…….
LEY DE FORMACION: Es el orden matemático
que relaciona los términos; se determina
relacionando las operaciones básicas o una
deducción lógica.
Tn 
Cada elemento tiene un orden designado, es decir,
a cada uno le corresponde un ordinal; por lo
general se considera a un término representativo de
cada sucesión llamado TÉRMINO ENÉSIMO que
se simboliza como “Tn” donde “n” indica la
posición que ocupa cada elemento, como también
el número de términos.
En general:
Segundo
Número
Ordinal
Término
de
la
sucesión
Tercero
Enésimo
1°
2o
3o
…..
no
T1
T2
T3
…..
Tn
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1º
3º
4º
2n
2(1) 2(2) 2(3) 2(4)
:
;
;
;
n 2  1 12  1 2 2  1 32  1 42  1
5
5
T4 
8
17
Ejemplo 3: Hallar el término enésimo en:
3; 4; 5; 6; …….Tn
Solución
El primer término debe de estar en función de 1, el
segundo en función de 2, el tercero en función de 3
y así sucesivamente, hasta el enésimo que debe
representarse en función de “n”, luego dando una
forma adecuada a:
4;
(1+2) (2+2)
 Tn = n + 2
296
2º
 T1  1 ; T  4 T  3
3
2
3;
Los procedimientos a utilizar no son únicos, hay
muchas formas de establecer relaciones sencillas
entre las operaciones matemáticas.
T3 ……. Tn
Ejemplo 2: Indicar los cuatro primeros términos,
de una sucesión que tiene por término enésimo a:
2n
Tn  2
n 1
Solución:
Ordinal
Todos los términos de una sucesión dependen de
una constante llamada RAZÓN que podrá
determinarse por diferencia, por cociente o por
cualquier ley que se desee establecer.
Primer
T1 T2
5;
6; ………. Tn
(3+2)
(4+2) ….. (n+2)
OJO: Cada término involucra al orden que ocupa
(su número ordinal); por eso será de mucha
importancia, saber calcular el término enésimo.
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a.2) Sucesión Geométrica
Progresión Geométrica
Ejemplo 4: Hallar el enésimo término de la
siguiente sucesión: 7; 11; 15; 19; …..;Tn
Solución
7;
11;
15;
19; ……..;Tn
a.3) Sucesión Polinomial
Polinomio Cuadrado
a.4) Sucesión Armónica
4x1+3 4x2+3 4x3+3 4x4+3 ..…4xn+3
B) Sucesiones Literales o Alfanuméricas
Donde: Tn = 4n + 3  Término enésimo
C) Sucesiones Gráficas
Ejemplo 5: Dado el término enésimo (Tn) de una
sucesión: Tn = 7n + 1. Hallar la suma de los cuatro
primeros términos de la sucesión.
a) 72
b) 73
c) 74
d) 75
76
Solución
Como: Tn= 7n +1
2º
15;
+7
Conjunto de números, en el que cada uno de
ellos tiene un orden determinado por su ley de
formación.
SUCESIONES NUMERICAS IMPORTANTES
T1= 7(1) +1 = 8
T2= 7(2) +1 = 15
T3= 7(3) +1 = 22
T4= 7(4) +1 = 29
Entonces la sucesión es:
1º
8;
A. SUCESIONES NUMERICAS:
4º
no
29; ….. ;(7n +1)
3º
22;
+7
1. SUCESIÓN ARITMÉTICA Lineal o de
Primer Orden: Cuando la diferencia (razón=r)
entre 2 términos consecutivos cualesquiera de
la sucesión es siempre constante también, se le
llama P.A
T1; T2;
T3; T4;…… ;Tn
+r1
+7
Nos piden: 8 + 15 + 22 + 29 = 74
Ejemplo 6: Hallar el término enésimo de la
siguiente sucesión:
2; 5; 28; 257; ……..
a) n3+1 b) 2n3+3 c) n2+n d) nn-1 e) nn+1
2º
3º
4º
2;
5;
28;
257;……
+r3
Ejemplo: ¿Qué número sigue?:
10;
12;
16;
22;
Solución
Asociando cada término con el lugar que ocupa:
1º
+ r2
T
2=T1+r1
T3=T2+r2
T4=T3+r3
………..
+2
no
+4
+6
30….
+8
Progresión Aritmética (P.A).- Cuando la razón
(r) es siempre constante.
Ejemplo:
1º
2º
3º
4º
no
6;
10;
14;
18;… ; Tn
; Tn
11+1 22+1
23+1
24+1
2n+1
n
Luego: Tn = n + 1 (Término enésimo)
+4
TIPOS DE SUCESIONES
+4
+4
 Razón Aritmética
A) Sucesiones numéricas
a.1) Sucesión Aritmética:
Progresión Aritmética
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Se observa que el término anterior al primero (To)
es igual a: 6 – 4 = 2
Además: T1= 6 = 4(1) +2
T2= 10 = 4(2) + 2
T3= 14 = 4(3) +2
.
To
Ejemplo2: Hallar el trigésimo quinto término en:
32; 29; 26; 23; …….
a) -70
razón
En general:
Dada la progresión aritmética:
T1;
T2;
T3;
T4;
e) -76
-3
-3
Tn = -3n + 35
Nos piden: T35 = -3(35) +35
Tn
…;
Además,
es
una
Decreciente (r<0)
r
+r
Su término enésimo se calcula así:
Luego el enésimo término o llamado también
término general de una P.A es:
o
Tn = T0 + nr
T1: Primer término
N º ters 
Tn: enésimo término
T0: Término anterior al
primero
r: razón
n: Número de términos
ó
últimoter 1ertér
1
razón
b) 102
c) 103
d) 104
e) 105
Solución
Hallemos To y la razón r
-11
-7
-3
1
5 …...401
+4
r=6
n
 Tº = 6n – 1
 T20 = 6(20) – 1  T20 = 119
Además es una Progresión Aritmética Creciente
(r>0)
+4
+4
+4
 razón (r)
Tn  T1
 1  n  401  (7)  1  n  103
r
4
2. SUCESIÓN GEOMÉTRICA: Se caracteriza
porque cada término que continua a partir del
segundo término se obtiene al multiplicar, el
inmediato anterior por un mismo número llamado
RAZÓN GEOMETRICA (q).
Clases de Progresiones Aritméticas
Hay dos clases de progresiones:
La razón (q) se halla dividiendo cualquier término
entre el anterior.
T1; T2;
T3;
T4;
Tn
 Progresión Aritmética Creciente; si r > 0
 Progresión Aritmética Decreciente, si r < 0
xq1
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Aritmética
Tn T1
1
r
n
a)101
a) 6n+1; 12
b) 6n; 120
c) 5n; 100
d) 6n-1; 121 e) 6n-1; 119
Solución
Analizando la razón, se deduce que es una P.A
-1
5;
11;
17;
23; ….
+6
Progresión
Ejemplo: ¿Cuántos términos tiene la siguiente
sucesión?: -7; -3; 1; 5; ……; 401
Ejemplo1: Hallar el término enésimo y el término
del lugar 20 en: 5; 11; 17; 23; …
+6
→ T35 = 70
OBSERVACIÓN IMPORTANTE: En una
sucesión o progresión aritmética; para calcular el
número de términos, se aplicará la siguiente
relación:
Tn = r n + To pero: To = T1 – r
Tn = T1 + (n-1) r
-3 → r = -3
-3
+
+6
d) -67
Se trata de una progresión Aritmética
35
32
29
26
23
Tn= 4(n) +2
+6
c) -73
Solución
.
+r
b) -66
298
xq2
xq3
xqn
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Ejemplo:
3;
9;
36;
180; …..1080
x3
x4
x5
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 Tn = 4x 3n-1
Nos piden. T22 = 4 x 322-1 = 4 x 321
T22 = 4 x 33x7  T22 = 4x277
Ejemplo 3: Hallar el T11 en: 2 ; 2; 2 2 ; 4; …..
a) 64 2 b) 32 2 c) 128 2 d) 16 2
x6
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA (P.G): Cuando
Solución
Analizando la razón, se deduce que se trata de una
Progresión Geométrica
2;
4; …..
2;
2 2;
la razón q es constante para cada término.
T1;
T2;
xq
T3;
xq
T4;
Tn
xq  Razón Constante
xq
x 2
Ejemplo 1:
1º
2º
3º
4º
3,
12,
24;
6;
x 2
x 2
no
2.(2) 5
x2
x2
x2…Razón Geométrica
Se observa que:
T1= 3 = 3x20
T2= 3 = 3x21
T3= 12 = 3x22
T4= 24 = 3x23
T1
.
.
Tn = 3x2n-1
2.( 2 ) n1
2.( 2 )111 =
Nos piden: T11 =
…Tn.
 razón (q)
x 2
 Tn = T1.qn-1  Tn =
 T11 = 32
2.( 2 )10 =
2
3. SUCESIÓN CUADRÁTICA o de Segundo
Orden: Son aquellas en la cual la razón aparece
en segundo orden. Su término enésimo viene
dado
por
la
siguiente
expresión:
Tn  an 2  bn  c
nєN
a≠0
a; b y c se calculan aplicando una regla práctica.
Ejemplo 1:
2;
7;
16;
46; …..
29;
Razón
+5
En general: Dada una Progresión geométrica:
T1;
T2;
T3;
T4;
Tn
xq
xq
xq
xq
Su término enésimo se calcula así:
+9
+13
+17
+4
+4
+4
Ejemplo 2: Calculare el vigésimo término de la
siguiente sucesión: -1; 3; 13; 29; 51; …,
q: cte
a) 1101 b) 1111 c) 1107 d) 1201 e) 1011
Tn = T1.qn-1
Solución
1) Primero debemos hallar el término anterior a -1
c 1
-1;
3;
13;
29;
51;….
T1 = Primer término
q = Razón
n = Número de terminos
Tn = Enésimo término
a+b -2
Ejemplo 2: Hallar el vigésimo segundo término en:
4; 12; 36; 108; ….
a) 4x320
b) 4x317
c)4x312
27
7
d) 4x3
e) 4x27
Solución
Se trata de una progresión geométrica:
4;
12;
x3
36;
x3
2a
+6
+10
+6
+16
+6
+22
+6
2) Ahora hallamos los valores de : a, b y c
2a = 6  a = 3; a + b = -2  b = -5 y c = 1
Luego: Tn  an 2  bn  c  Tn = 3n2 -5n+1
3) Nos piden: T20
T20 = 3(20) – 5(20) + 1  T20 = 1101
108
x3
+4
Razón (q)
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Ejemplo 3: Hallar el número de términos en:
4; 9; 18; 31; ….;438
Solución
* Hallamos el término enésimo: Tn
c 3;
4;
9;
18;
31;….; 438
a+b +1
2a
+5
+4
+9
+4
+13
+4
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SUCESIONES NUMÉRICAS NOTABLES Y ESPECIALES A continuación mostraremos, en el
siguiente cuadro, algunas sucesiones importantes.
Nombre
S
U
C
E
S
I
O
N
E
S
Sucesión
S
U
C
E
S
I
O
N
E
S
De los números naturales
1, 2, 3, 4, 5,……….
tn = n
De los números pares
2, 4, 5, 8, 10,……….
tn = 2n
De los números impares
1, 3, 5, 7, 9,……….
tn = 2n – 1
De los números Triangulares
1, 3, 6, 10, 15, 21,…..
De los números tetraédricos
1, 4,10, 20, 35,……….
N
O
T
A
B
L
E
S
Números Pentagonales
1, 5, 12, 22,……….
tn = n(3n -1)
2
Números hexagonales
1, 6, 15, 28,……….
tn = n(2n-1)
De los números cuadrados
1, 4, 9, 6, 25,……….
tn = n 2
De los cubos perfectos
1, 8, 27, 64, 125,……
tn = n 3
De los números primos
2, 3, 5, 7, 11, 13,……
No
tiene
termino
enésimo pero si criterio
de orden.
De Fibonacci
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,..….
t1 = 1 t2 = 1
tn = tn-1 + tn-2
De Feinberg1 (“Tribonacci”)
1, 1, 2, 4, 7, 13, 24….…
De Lucas
1, 3, 4, 7, 11,…..
E
S
P
E
C
I
A
L
E
S
A=1
B=2
C=3
D =4
E =5
F =6
G=7
H=8
I=9
J = 10
K = 11
L = 12
M = 13
N = 14
Ñ = 15
O = 16
P = 17
Q = 18
R = 19
S = 20
T = 21
U = 22
V = 23
W= 24
X = 25
Y = 26
Z = 27
c) Q
d) R
 n≥ 3
t1 = 1 t2 = 1 t3 = 2
tn = tn-1 + tn-2 + tn-3
n≥ 4
t1 = 1
t3 = 3
tn = tn-1 + tn-2 ∀n≥ 3
A; B; C; D; E; F; G; H; I; J; K; L; M; N; Ñ; O; P
3
3
3
3
Luego sin temor a equivocarnos podemos
decir que nuestra razón de distancia es de tres
letras Entonces la letra que sigue en la serie: A;
E; I; M; es la letra P.
NO SE
CONSIDERA
“CH” ,” LL”
Ejemplo 1: Que letra sigue en: A; E; I; M; .
b) P
tn = n(n  1)
2
n(n
1)(n 2)
tn =
6
Solución
Para resolver esta clase de ejercicios, también s
busca una razón de distancia, entre letra y letrae
siempre se encontrará una relación de simetría,
.
Veamos nuestro caso:
SUCESIONES LITERALES.- Son sucesiones
de letras en función del alfabeto castellano. A
cada letra le corresponde un número, mediante la
siguiente tabla:
a) O
Regla de formación o
termino enésimo
e) S
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Ejemplo 2: Que letra sigue en: B; D; G; K; ..
Solución
Si recurrimos al abecedario, tenemos:
B; C; D; E; F; G; H; I; J; K; L; M; N; Ñ; O
1 Letra
2 Letras
3 Letras
4 Letras
Luego: La letra que sigue en la serie es la O
I.- SUCESIONES ARITMETICAS
(1)
a) 715
Hallar “x”
12; 6; 3; 13; 46; x
a) 100
b) 98
c) 112
Hallar el valor de “x”
1; 6; 13; 28; 63; 136; x
d) 124
a)
261
b) 271
c) 241
Hallar el valor de “x”
-20; 0; 8; 16; 42; 110; x
a)
220
b) 230
c) 250
(4) Hallar el valor de “x”
10; 15; 23; 35; 53; 80; x
d) 231
(2)
II.
(6)
a) 100
b) 110
Hallar “x”
4; 0; 0; 5; 16; x
c) 120
a) 24
b) 34
c) 28
SUCESION GEOMETRICAS
d) 280
d) 529
a) 1830 b) 1730 c) 1930 d) 1530
(14) Hallar el valor de “x”
8; 16; 20; 24; 32; x
a) 62 b) 64
c) 82
d) 72
(15) Hallar el valor de “x”
1; 28; 31; 32; 33; x
d) 160
d) 32
a) 32
Hallar el valor de “x”
1; 1; 2; 6; 24; x
b) 34
c) 36
d) 42
IV. SUCESION ALTERNADAS
(16) Hallar el valor de “x”
3; 4; 7; 7; 11; 11; 15; x
a)
12
b) 15
c) 10
d) 16
(17) Hallar el valor de “x”
6; 5; 8; 7; 11; 10; 15; 14; x
a) 17
b) 18
c) 20
d) 24
(18) Hallar el termino enésimo en:
5; 11; 19; 29;………
2
2
2
a) n + 3n+1 b) n +1 c) n +2 d) n+2
a) 100
b) 110 c) 120
d) 180
Hallar el valor de “x”
5; 10; 40; 320; x
a) 4120 b) 5120 c) 2220 d) 3420
(8) Hallar el valor de “x”
2; 4; 8; 24; 144; x
a) 2160 b) 1120 c) 1420 d) 1820
(9) Hallar el valor de “x”
1; 1; 1; 1; 2; 24; x
a) 3912 b) 6912 c) 5260 d) 8312
(7)
(19) Hallar el termino enésimo en:
2; 5; 10; 17; 26;………
(10) Hallar el valor de “x”
a) n2+ 1 b) n+2 c) n2+4 d) N.A.
3; 1; 1; 3; 27; x
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
c) 829
III.
SUCESION COMBINADAS
(11) Hallar el valor de “x”
0; 2; 4; 8; 20; x
a) 72 b) 68
c) 74
d) 70
(12) Hallar el valor de “x”
1; 2; 18; 146; 658; 1682; x
a) 2706
b) 3072 c) 1024 d) 1576
(13) Hallar el valor de “x”
4; 5; 10; 40; 250; x
(3)
(5)
b) 729
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(20) Calcular el trigésimo termino en:
3; 13; 29; 51;………
a) 7229
b) 2729
c) 563
(21) Halle el número de termino en:
2; 5; 10; 17; 26;…; 122
(28) Calcular el número que ocupa la posición
100 es:
5; 8; 11; 14; 17; 20;…
d) 654
a) 300
b) 302
c) 304
d) 306
(29) ¿Cuántos esferos hay en la figura 100?
a) 9
b) 10
c) 11
d) 12
(22) ¿Cuántos triángulos hay en la fig. 12?
Fig. 1 Fig. 2
a) 5050
Fig. 1
Fig. 2
a) 20
Fig. 3
b) 21
Fig.4
b) 4040
c) 3030
d) 8080
(30) ¿Cuántos cuadraditos habrán en la posición
60?
Fig. 4
c) 22
Fig. 3
d) 23
(23) Hallar el término que sigue:
1
C
5
?
A
a) G, 7
3
E
b) E, 8
(1)
?
c) F, 6
a) 2434
d) H, 2
(2)
(3)
(4)
b) 3424
(5)
c) 34324
d) 2443
(24) Qué número le sigue :
36
40
18
80
SUCESIONES NUMÉRICAS
12
7
Hallar el Siguiente Número
X
6
a) 14
b) 16
(1)
c) 18
9, 16, 23, 30, x
a) 37
d) 20
(2)
(25) Qué número le sigue :
3
27
(3)
X
2
(4)
7
a) 160
b) 177
c) 180
d) 182
(7)
Hallar el termino 41.
b) 1688
a) 70
(6)
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
d) 26
b) -27
c) 30
d) 40
b) 15
c) 16
d) 17
b) 71
c) 72
d) 73
c) 5
d) 6
c) 32
d) 33
8, 5, 7, 4, 6, x
b) 4
3, 5, 8, 13, 21, x
a) 30
c) 1680
c) 24
8, 16, 17, 34, 35, x
a) 3
(27) En lo siguiente sucesión: 4; 7; 12; 19; 28;….
a) 1684
(5)
b) 22
20, 18, 21, 17, 22, x
a) 14
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
(26) En un aula reparten caramelos de la siguiente
manera: a Luís 2; Alberto 7; Luz 12; Ada 17;
Olga 22; así sucesivamente ¿Cuántos
caramelos recibirá el alumno numero 36?
d) 39
33, 21, 9, -3, -15, x
a) -30
6
32
c) 36
8, 9, 12, 17, x
a) 20
8
b) 35
b) 31
d) 1900
303
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
(8)
2, 6, 18, 54, x
a) 160
(9)
R A ZO N A MIEN TO MA TEMÁ TIC O
b) 162
c) 164
a) A
d) 166
32
2 8
b) 5
3
a) B
c) 4
7
b) 39
b) 55
b) 5
b) -91
c) 40
b) 73
c) 57
b) 1
c) O
d) L
b) L
c) N
d) A
c) U
d) T
(29) D, C, S, O, D, x
d) 75
a) D
b) O
(30) AB, BD, DG, GK, x
d) -1
a) KL
b) KP
c) KO
d) KH
SUCESIONES GRAFICAS
a) 11 y 28 b)14 y 15 c) 20 y 21 d) 4 y 5
1
, 5, 1/2, 6, 1, 8, 3, a, b, x
(17)
2
(18)
d) S
b) M
a) H
(16) 2, 16, 3, 18, 6, 22, x, y,
a) 11 y 13 b) 11 y 12
c) J
(28) B, C, D, E, F, I, H, x
d) 92
c) 0
d) H
b) M
a) N
c) 74
c) L
(27) W, T, P, N, J, x
d) 15
c) 91
d) L
b) Y
a) A
c) 10
c) Ñ
(26) E, F, M, A, M, x
d) 59
(15) 3, 6, 4, 2, 4, 2,x
a) 2
b) N
a) X
(14) 2, 4, 10, 22, 42, x
a) 72
d) W
d) 41
a) M
(13) 1, 5, 14, 30, 55, x
a) 90
c) V
(25) A, B, E, J, P, x
(12) 3,-5,-9,-9,-5,x
a) -5
b) C
(24) B, A, F, C, J, E, x
(11) 5, 11, 19, 29, 41, x
a) 53
d) H
d) 8
(10) 4, 7, 12, 19, 28, x
a) 38
c) L
(23) I, K, Ñ, P, T, x
40, 10, 5 , 5 , x
a) 5
b) P
(31) Hallar El valor de x:
40
c) 14 y 13 d) 15 y 17
8
5
3
2 , 3 ,2,3, 12 , 3 3 , 4 3 , x, y
X
a) 9 y 4 15 b) 8 y 4 15 c)7 y
d) 8 y 9
4 15
(19) 2, 9, 28, 65, x
a) 114
b) 115
c) 116
d) 117
c) 46
d) 47
a) 15
b) 5
c) 24
d) 43
(32)
Hallar
la
letra
que
sigue
(32) Hallar la letra que sigue
e) 17
1
11
R
(20) 6, 0, 0, 7, 22, x
a) 44
b) 45
?
a) M
SUCESIONES LITERALES
b) R
b) N
c) P
d) A
e) B
d) 36
e) 1
(33) Hallar el valor de x:
(21) E, H, L, P, x
a) V
K
19
c) A
d) F
(22) B, C, E, H, L, x
a) 13
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
304
15
3
16
37
19
10
40
X
1
b) 9
c) 24
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
R A ZO N A MIEN TO MA TEMÁ TIC O
(34) Hallar lo que sigue:
M
P
U
A
?
9
16
a)
D
7
25
b)
36
M
49
(39) ¿ que figura sigue en la siguiente sucesión?
?
R
81
c)
d)
H
49
e)
1
8
(35) Hallar el valor de “x”
8
5
4
7
9
9
15
4
6
12
4
x
a) 10
b) 12
c) 15
(36) Hallar el valor de x:
(40) La figura que continua en :
d) 17
e) 20
d) 5
e) 1
27 4
16
8
5
X
9 27
a) 17
b) 35
c) 8
CLAVES
(37) Hallar el valor de x
16
14
X
18
25
a) 27
b) 14
c) 12
d) 72
e) 15
(38) ¿Qué figura completa adecuadamente el
recuadro?
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
305
1
a
11
c
21
a
31
a
2
c
12
a
22
b
32
d
3
b
13
c
23
c
33
b
4
c
14
a
24
a
34
d
5
a
15
b
25
b
35
b
6
d
16
a
26
c
36
d
7
b
17
b
27
a
37
b
8
b
18
a
28
b
38
e
9
b
19
a
29
a
39
e
10
a
20
c
30
b
40
c
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
R A ZO N A MIEN TO MA TEMÁ TIC O
SERIES NUMÉRICAS
1)
SERIE NUMÉRICA:- Es la adición indicada
Donde: Sn: Suma de los n siguientes términos.
de los términos de una Sucesión Numérica.
Ejemplo: La suma de los 40 primeros términos
de una P.A de razón 7 es 5580. Calcular la suma
de los 40 términos siguientes:
Solución: Sn = 5580 + 7(40)2 = 16780
Al resultado de la adicción se le llama.
VALOR DE LA SERIE
Ejemplo
1, 1, 2, 3, 5,….. ,144
1+1+2+3+5 +…….+144
t1+t2+t3+t4+t5+…..+tn
=
Término central: t  t1  t n
c
2
Ejemplo: Hallar la suma de la siguiente serie:
4 + 7 +10 +…………………+34


Solución: n = 11
SUCESION
SERIE
k n
 tk
k 1
Se lee: “Sumatoria de los números de la forma
tk desde k =1 hasta k = n”
S = 19 x 11 = 209
2. SERIE GEOMETRICA:-Es la adición indicada
n
Si tenemos la expresión:
 tk
de los términos de una sucesión Geométrica.
k a
Nº SUMANDOS = n-(a+1)
DE LA SERIE
S= t1 + t2 + t3+…+ t1.qn-1
a;n  Z
xq xq
Ejemplo: Cuantos sumandos tiene la serie:
razón cte
2.1 Serie Geometrica Finita:
30
 (2k 7) ?
k 5
S
Solución: Nº SUMANDOS = 30 -5+1=26
SERIES NUMÉRICAS IMPORTANTES
1)
2
n
t1 q  1


q 1
t1 = Primer Termino
q = Razón
n = Cantidad sumandos
Ejemplo 1: Hallar S en:
S =1 +21+ 22 23+………+215
Solución: Aplicando la fórmula se obtiene el valor
de S:
SERIE ARITMETICA: Es la adición o suma
indicada de los términos de una sucesión
aritmética.
nValor de la serie:
t1=Primer Sumando
S= (𝑡𝑛−𝑡𝑛 1)𝑛
2
tn=Ultimo Sumando
n = Cantidad de sumandos
 216  1 
  65535
S  1
 2 1 


Ejemplo 2: Hallar la suma total de:
S = 3 + 6 + 12 + 24 + …. + 3072
NOTA: Si la suma de los n
primeros términos de una P.A, de
razón r es s entonces la suma de los n
siguientes términos de dicha
a) 6142 b) 6141 c) 6072 d) 3072
Sn =s+r n2

CENTRO
DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
306
CENTRO INFORMÁTICO
tc = 1
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R A ZO N A MIEN TO MA TEMÁ TIC O
Suma de los “n” primeros Números Cuadrados
Perfectos.
n(n)(2n  1)
2
1 + 22 + 32 + 42+.....….+n2 S=
6
1)
Solución: Como
x2
x2
x2
S = 3 + 6 + 12 + 24 + …. + 3072
   

3x20 3x21 3x22 3x23
3x210
2)
Suma de los “n” primeros números cubos
perfectos.
 n(n  1) 
13 + 23 + 33 + 43+…….n3 S= 

2


11 términos

2
Luego, aplicando la fórmula se tiene:
S
3211  1
2  1 S = 6141
1)
2.2 Serie Geométrica Decreciente de Infinitos
Términos: (|q|<1)
2)
S= t1
1-q
3)
Ejemplo: Calcular S= 32,+ 16,+ 8,+ 4,+… ∞
4)
1
2
PRINCIPALES SERIES
Suma de los “n” primeros Números
Naturales
1 + 2 + 3 + 4+……………….+ n S =
b) 552
c) 608
d) 690
Calcular : S = 3 + 4 + 5 +..……………+30
6)
a) 380
b) 640
c) 462 d) 544
Calcular : S = 32 + 42 + 52 +…..………+152
7)
a) 1235 b) 1325
c) 1850 d) 1580
Calcular : S = 4 + 7 + 1 0 +.…………..+61
8)
n(n  1)
2
b) 650
c) 790
d) 870
Calcular: S = 17 + 21 + 25 +……………
20 Sumandos
a) 1000
9)
10)
b) 1200
b) 3200
307
c) 2980
d) 3440
Calcular : S = 3+6+12+24+48+….….+1536
a) 3400
1 + 3 + 5 + 7 +……..………+ (2n-1) S= n2
c) 1400 d) 1100
Calcular : S = 2 + 5 + 8 + 11 +..……..+119
a) 2420
Suma de los “n” primeros números impares
Naturales.
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
d) 740
Calcular : S = 2 + 4 + 6 + 8 + ...……….+46
a) 680
n: # sumando
4) Suma de los “n” primeros números pares
Naturales.
2 + 4 + 6+ 8+…………….+ 2n S= n(n+1)
5)
c) 590
5)
NOTA: Se está calculando la suma limite=S
3)
b) 680
a) 504
S= 32  32  64
1
2
a) 1830 b) 1420 c) 2040 d) 1940
Calcular : S = 1 + 4 + 9 +…………….+225
a) 1420
b) 1240 c) 1380 d) 128
Calcular : S = 1 + 3 + 5 + 7 +………….+47
a) 576
Solución: La razón es: q=1/2. Luego
aplicando la fórmula, se obtiene el valor de S
1
Calcular : S = 1 + 2 + 3
b) 3069
c) 2600 d) 2750
CENTRO INFORMÁTICO
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R A ZO N A MIEN TO MA TEMÁ TIC O
11)
Calcular : S = 1+21+22+23+24+…..….+215
12)
Calcular: S = 4+12+36+108+324+………
a) 65335 b) 65535 c) 45645
d) 52380
1)
10 Sumandos
2)
a) 118096 b) 108400 c) 124600 d) 136400
13)
Calcular S 
a)
3
5
3 1 1 2
    ………….
4 2 3 9
9
7
8
b)
c)
4
3)
4)
5
d)
3
5)
3 9 27 81
14) Calcular S  ,
,
,
, ………….
………….
5 20 80 320
a)
11
25
b)
12
35
c)
15)
El segundo término de una P.A es 7 y el
séptimo termino es 22, hallar la suma se los
100 primeros términos.
a) 12450 b) 13800 c) 15250 d) 14080
16)
La suma de los 20 primeros términos de una
P.A de razón 4 es 860. Calcular la suma de
los siguientes 20 términos de dicha P.A
a) 2460 b) 2380 c. 1890 d) 1680
17)
Calcular el valor de una serie Aritmética de
19 términos cuyo término central es 17.
a) 486
18)
c) 548
b) 248
c) -682
a) 140,5 b) 193,6 c) 180 d) 115,8
Hallar “X”
1 + 3 +5 + 7 + ………….…..+(2x-13)=324
a) 18
b) 30
c) 12
d) 24
Calcular :
S = 3 + 14 + 39 + 84 +…………….+3615
a) 15760 b) 14640 c) 10200 d) 12620
Calcular :
3
3
3
3
S = 3 + 4 + 5 +…………………...+18
a) 13540 b) 20640 c) 29232 d) 25416
7)
Calcular :
S = 2 + 6 + 12 +……………………+342
a) 5680 b) 9420 c) 2280 d) 4820
8)
Calcular :
S = 6 + 24 + 60 +……………….+3360 a)
14280 b) 10460 c) 12300 d) 11830
9)
Calcular :
S = 23 + 43 + 63 + ………….………+203
a) 15400 b) 16800 c) 24200 d) 19600
10) Calcular :
S= 13 + 33 + 53+……………………+173
a) 13041 b) 10240 c) 11380 d)8980
11) Hallar la suma total de:
d) 426
E  (12  3)  (22  6)  (32  9)  ...  (202  60)
Dado la P.G de 10 términos:
2,………………………….,-1024
Calcular la suma de dichos términos
a) -492
19)
b) 323
6)
10
8
d)
13
11
Hallar el valor de: S = 2 + 4 + 6 + 8 +……..
30 sumandos
a) 930
b) 840
c) 710 d) 910
Calcular :
S = 6 + 9 + 14 + 21 +……………….+149
a. 710
b. 830
c. 650 d. 620
Calcular :
S=0,1 + 0,3 + 0,5 +……………..…..+8,7
a) 2240
12)
d) 584
b) 5240 c) 2204
d) 3240
e) 1240
¿Cuántos palitos se han utilizado en la
construcción del siguiente castillo?
Calcular el valor de :
S  1  (1  4)  (1  4  7)  (1  4  7  10)  ...



20 tér min os
a) 4200
20)
b) 12820
c) 1986
d) 18620
Hallar el valor de “A”
A= 1  3  5  ...........  79
a) 50
b) 40
c) 25
1
d) 32
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
a) 820
308
2
3
39 40
b) 1640 c) 1460
d) 1600 e) 1900
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
13) Calcular :
221
211
d) 221
e) 1
E  0,1  0,3  0,5  0,7  ...  2,9
a) 22,5
14)
c) 25,2
d) 29
e) 29,5
210
211
220
Calcular la suma de todos los términos hasta
la fila 20
F1
1
F2
1 3
F3
1 3 5
F4
1 3 5 7
…
F20
a) 2780
15)
b) 8,41
R A ZO N A MIEN TO MA TEMÁ TIC O
b) 210
c) 211
a) 220
Hallar “n” en:
18)
(3n  2)  (3n  4)  (3n  6)  ...  5n  81n
a) 10
19)
b) 40
c) 25
d) 30
e) 20
Hallar la suma total
5 + 6 + 7 + 8 + 9 +…+ 20
6 + 7 + 8 + 9 + ….. + 20
7 + 8 + 9 + ………+ 20
8 + 9 + ………… + 20
b) 2880 c) 2870 d) 2890 e) 2840
Hallar la suma de las 10 primeras filas del
siguiente. arreglo.
1
3
5
7
9
13
15
21
23
a) 3025
b) 2530
16)
11
17
25
19
27
c) 100
20
29
a) 2010 b) 2020 c) 2030 d) 2050 e) 2040
20)
d) 1000 e) 4238
Calcular:
S 
Calcular:
1 3 5 7
E   3  5  7  ...  ∞
3 3 3 3
a) 15
32
b) 15
31
17) Se define:
a
b
c
c) 42
15
d) 15
17
a) 1/7
3
4
1
2
 2  3  4  ...
8 8
8
8
b) 2/21
c) 3/21
d) 5/63
e) 2/63
CLAVE
e) 18
11
1
= a
a
6
c
11
a
16
a
2
a
7
c
12
b
17
b
3
b
8
a
13
a
18
e
4
d
9
c
14
c
19
e
5
a
10
a
15
a
20
b
bxc
Calcular:
3
1
4
2
S= 1 + 2 + 4 + 7 +
2
4
11
7
... +
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
20
191
211
309
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
R A ZO N A MIEN TO MA TEMÁ TIC O
DISTRIBUCIONES Y
ANALOGÍAS NUMÉRICAS
ANALOGIAS NUMÉRICAS:- Son grupos de
cantidades numéricas que están relacionado con las
mismas leyes de formación o relaciones operativas
semejantes.
Solución
En la primera fila tenemos: 24 (41) 17
Para determinar el medio debemos hallar alguna
relación entre los extremos. Esta relación es:
24 + 17 = 41
El objetivo es determinar el número que falta
Una analogía numérica tiene como objetivo
averiguar la capacidad y rapidez de las personas
para encontrar relaciones operacionales entre
determinados números que se le proporciona como
datos y una vez encontrado esta relación en forma
análoga debe buscarse el medio del último nivel
que siempre se desconoce.
Es decir: Suma de extremos = Medio
Entonces aplicamos este criterio para la segunda
fila: 63 + 15 = X  X = 78
Ejemplo 2
Hallar “X” en: 8 (104) 13
9
(X)
7
Solución
Los datos de la primera fila son:
8 (104) 13
La relación entre los extremos para determinar el
medo es: 8x13 = 104
Es decir: Producto de los extremos = Medio
Entonces aplicamos este criterio para la segunda
fila. 9x7 = X  X = 63
Estructura
1ra Fila
2da Fila
3ra Fila
E1
E3
E5
(M1)
(M2)
(M3)
E2
E4
E6
Medios
En una analogía numérica siempre se busca un
medio, las operaciones que se realizan deben ser
entre los extremos para dar como resultado su
respectivo medio que siempre debe ir entre
paréntesis.
Ejemplo: Hallar X :
8
2
9
1
7
X
Solución: 8 + 2 + 5 = 15
9 + 1 + 5 = 15
7 + X + 4 = 15
X=4
Ejemplo 3
Hallar “X” en:
5
3
2.- Analogías Complejas.- Son aquellas que
tienen 3 o más filas, en la última se encuentra el
medio buscado. En las dos primeras filas debemos
encontrar la relación operacional existente para
aplicarlo en forma análoga en la tercera fila.
Ejemplo 1: Hallar el número que falta en:
4 (14) 3
1.- Analogías Simples.- Son aquellas que tienen
únicamente 2 filas, la primera actúa como dato y
en la segunda hay que determinar su medio.
Ejemplo 1
(41)
(X)
(49)
(X)
Solución
La relación existente en la primera fila es:
(12 – 5)2 = 49
Es decir: (Diferencia de extremos)2 = Medio
Aplicando este criterio en la segunda fila, tenemos:
(7 – 3)2 = X  X = 16
5
5
4
Clases de analogías
Hallar “X” en: 24
63
12
7
17
15
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
310
4 (14)
3
6
9
8
7
(28)
(X)
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
R A ZO N A MIEN TO MA TEMÁ TIC O
Solución
La relación existente entre la 1ra y 2da fila es:
1ra fila: (8+4+3) - (7+5+1) = 2
2da fila: (7+5+1) - (1+9+0) = 3
Aplicando este criterio operacional en la 3ra fila se
tendrá:
3ra fila: (6+6+4) – (5+5+3) = X
16 – 13 = X → X = 3
Solución
Empezamos a buscar la relación existente entre los
extremos para determinar el medio:
1ra Fila
(4 + 3)x2 = 14
2da Fila (6 + 8)x2 = 28
Es decir: (Suma de extremos)x2 = Medio
Aplicamos este criterio operacional a la Tercera
Fila
(9 + 7)x2 = X → X = 32
Ejemplo 2: Hallar “X” en:
7
4
9
(36)
(30)
(X)
5
6
2
ANALOGIAS SIMPLES
(1) Hallar “x” en:
Solución
La relación existente entre los extremos para
determinar el medio es:
1ra Fila
(7 + 5)x3 = 36
2da Fila (4 + 6)x3 = 30
a) 40
(2)
3.- Analogías Complejas de 2do Orden o
Digitales.- Son aquellas analogías donde se
realizan operaciones primeramente en cada
extremo entre sus cifras o dígitos, luego el
procedimiento es idéntico a los anteriores.
Ejemplo 1: Hallar “X” en:
124 (12) 131
214 (10) 111
532 (X) 420
Solución
La relación existente entre la 1ra y 2da fila es:
1ra fila: (1+2+4) + (1+3+1) = 12
2da fila: (2+1+4) + (1+1+1) = 10
Aplicando este criterio operacional en la 3ra fila se
tendrá:
3ra fila: (5+3+2) + (4+2+0) = X
10 + 6 = X  X = 16
d) 90
Hallar el valor natural que sigue a “X” en:
74 (121) 56
87 (X) 39
a) 121
b) 180
c) 150
Es decir: (Suma de extremos)x3 = Medio
Aplicamos este criterio operacional a la Tercera
Fila
(9 + 2)x3 = X X = 33
(3).Hallar el valor de “X” en:
57 ( 10 ) 49
28 ( X ) 79
a) 10
b) 12
c) 16
d) 181
d) 18
(4).Hallar el Valor de “X”
436 ( 7 ) 321
517 ( X ) 407
a) 2
b) 7
c) 11
d) 8
(5).Hallar el Valor de “X”
42 ( 39 ) 36
95 ( X ) 17
a) 65
b) 42
c) 56
d) 77
(6).Hallar el Valor de “X”
154 ( 15 ) 421
432 ( X ) 654
a) 6
b) 5
c) 25
d) 27
A N A LO G Í A S C OM PL E J A S
Ejemplo 2: Hallar “X” en:
(7).Hallar el Valor de
47
39
14
843 (2) 751
843
751 (2)
(3) 751
190
751
664 (3)
(x) 190
553
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
5 ( 25 ) 14
8 ( X ) 32
b) 80
c) 120
311
“X”
( 15 ) 31
( 12 ) 27
( X ) 39
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
a) 15
b) 12
c) 8
(8).Hallar el Valor de “X”
26 ( 64 ) 17
32 ( 30 ) 24
43 ( X ) 37
a) 64
b) 70
c) 55
R A ZO N A MIEN TO MA TEMÁ TIC O
d) 18
16) Hallar “X”
6 ( 9 ) 3
4 (8 ) 4
8 ( x ) 4
a)15 b)12 c)8 d)9
d) 90
(9).Hallar el Valor de “X”
16 ( 36 ) 24
18 ( 27 ) 31
24 ( 17 ) X
a) 32
b) 42
c) 24
d) 35
x
(10).Hallar el Valor de “ ”
3
36 ( 24 ) 19
18 ( 39 ) 26
42 ( X ) 51
a) 11
b. 39
c) 5
d) 30
(11).Hallar el Valor de “X+2”
76 ( 56 ) 27
43 ( 39 ) 93
54 ( X ) 64
a) 35
b) 39
c. 46
d) 44
17) Hallar “X”
423 ( 99 )
741 (120)
1403 ( x )
a)108 b)96
c) 18
4
17
120
a) 10
b) 12
(14).Hallar “X”
16
1
25
a) 8
b) 7
( 4 ) 28
( 5 ) 33
( X ) 80
c) 14
d) 5
(7) 3
(8) 7
(X) 2
c) 9
d) 5
137
532
309
c)103 d)728
e)90
18) Hallar “X”
8
(18)
5
12
(20)
4
1
(x)
3
a)2
b)3 c)7 d)5 e)1
19) Hallar “X”
8
10
3
12 16
5
2
( x)
16
a)35 b)27 c)17 d)33 e)19
(12).Hallar el Valor de anterior entero “X” en:
18 ( 9 ) 17
13 ( 15 ) 15
21 ( X ) 18
a) 17
b) 25
(13).Hallar “X”
e)16
d) 13
20) Hallar “X”
13 (2) 26
5 (4) 20
3
( x ) 39
a)9
b)10
c)11 d)12 e)13
(15).Hallar “X”
a) 10
2 ( 10 )
7 ( 10 )
4 (X)
b) 11
c.
6
3
4
13
d) 8
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
312
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
R A ZO N A MIEN TO MA TEMÁ TIC O
1ra fila: 12 – 5 = 7
2da fila: 14 – 9 = 5
Por lo tanto: 3ra fila: 11 – 3 = X
Luego: X = 8
DISTRIBUCIONES
NUMÉRICAS
DISTRIBUCION:-Es un arreglo de números,
dispuestos en forma Geométrica que guardan
entre si una ley de formación el cual es necesario
descubrir, para hallar el término de la incógnita.
A diferencia de una ANALOGÍA, es que no
interviene paréntesis que contenga a los medios.
Es decir, la relación existente puede darse a nivel
de filas, columnas o diagonales.
Ejemplo1
Hallar “X” en: 8 7 10
4 5 1
6 6 x
Solución
Observar que la suma de las filas da
valores diferentes, sin relación alguna. En
cambio, la suma de las dos primeras columnas es
igual. Es decir:
1ra columna: 8 + 4 + 6 = 18
2da columna: 7 + 5 + 6 = 18
Por lo tanto:
3ra columna: 10 + 1 + X = 18
Entonces: X = 7
Ejemplo 2
Hallar “X” en:
4 6 18
5 7 16
X 20 2
Solución
Observar que la suma de las dos primeras filas
son iguales, es decir, existen relación entre sí.
Veamos:
1ra fila: 4 + 6 + 18 = 28
2da fila: 5 + 7 + 16 = 28 Por lo tanto:
3ra fila: X + 20 + 2 = 28
Entonces: X = 6
Ejemplo 3
Hallar “X” en:
Ejemplo 4
Hallar “X” en:
Solución
La relación entre la 1ra y 2da fila es: el producto
de los números que existen en cada fila dan valores
iguales. Es decir:
1ra fila:
(4)(5)(3) = 60
2da fila: (10)(1)(6) = 60
Por lo tanto:
3ra fila: (20)(1)(X) = 60 Luego: X = 3
Ejemplo 5
Hallar “X” en:
8
16
12 10
10 13
7
11
X
Solución:
La relación entre la 1ra y 2da columna es: la
suma
de la 1ra y 2da fila dividido entre 2 da
como resultado la 3ra fila. Es decir:
1ra columna: (8+12)/2 = 10
2da columna: (16+10)/2 = 11
Por lo tanto:
3ra columna: (7+11)/2 = X Luego: X=9
EJERCICIOS PARA LA CLASE
(1)
12 5 7
14 9 5
11 3 X
(2)
Hallar x
7
13
20
a) 5
15
8
23
b) 4
a) 31
313
6
X
14
c) 3
d) 8
Hallar X:
3
6
2
Solución
La relación existente entre las dos primeras
filas es: la diferencia de los dos primeros
números de cada fila da como resultado el 3er
número, es decir:
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
4
5 3
10 1 6
20 1 X
b) 25
4
1
7
c) 14
13
37
11
d) 18
CENTRO INFORMÁTICO
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R A ZO N A MIEN TO MA TEMÁ TIC O
11. Hallar el número que falta
5
1
X
1
6
3
4
3
3
a) 2
b) 4
c) 3
12. Hallar el número que falta :
214 (20) 526
631 (24) 428
952 (?) 317
a) 30
b) 27
c) 29
13.Hallar el valor de “x”
12
(6)
2
16 (12)
3
20
(x)
4
a) 12
b) 16
c) 18
14.Hallar el valor de “x”
45 (11) 23
36
(8)
12
48
(x)
24
a) 3
b) 4
c) 5
15.Hallar el valor de “x”
6
(39)
3
8
(68)
4
10
(x)
5
a) 100 b) 105 c) 95
(3) Hallar X:
7
24
9
9
6
X
10
20
8
6
10
7
a) 8 b)11 c)6 d) 15
(4) Hallar X:
4
2
2
8
1
2
8
X
4
a) 2
b) 3
4
3
3
c) 1
d) 4
(5) Hallar X:
2
4
12
7
14
42
5
10
30
4
X
Y
a) 8 y 24 b) 6 y 14 c) 5 y 8 d) 14 y 10
(6) Hallar X:
4
5
4
b) 7
a) 6
(7)
2
6
10
c) 8
14
19
x
d) 15
Hallar X:
a) 10
4
6
2
b) 12
Hallar X:
2
3
3
2
5
1
5
X
a). 2
b) 1
1
17
4
40
5
x
c) 13
d) 9
d) 40
d) 20
d) 6
d) 85
CLAVES
(8)
Hallar X
3
2
4
6
8
1
a) 121
b) 81
d) 6
7
8
4
24
c) 3
1
6
d
a
2
7
a
d
3
8
c
a
4
9
a
b
5
10
a
a
d) 4
(9)
(10) Hallar X
1
1
6
2
3
3
a) 27
b) 36
25
100
x
c) 64
1
36
X
c. 9
d) 36
d) 18
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
314
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R A ZO N A MIEN TO MA TEMÁ TIC O
ANAL O G IAS G RÁ F ICAS
(6) Hallar “X” en:
Son figuras que están relacionadas con las
mismas leyes de formación o relaciones
operativas semejantes el objetivo es
determinar el numero que falta en la grafica.
11
53
35
9
108
c) 11
17
(1) El valor de “X” es:
4
X
21
6
24
a) 40
b) 5
c) 0
(7) Hallar el valor de “X”
(2) Hallar “x”
d) 11
14
18
13
25
17
35
27
15
X
a) 32
b) 51
c) 3
(8) Hallar el valor de “X”
85
25
a) 58
d) 39
79
33
74
X
23
b) 23
8
c) 12
21
12
d) 33
(9) Hallar el valor de “x”
(3) Hallar el valor de “X” es:
(10) Hallar el valor de “x”
(4) El Valor de “X” es:
8
7 4 10
a) 18
b. 15
3
c) 8
x
12
21
d) 5
(5) El Valor de “X” es:
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
315
315
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(11) Hallar el valor de “x”
EJERCICIOS A DOMICILIO
01.-Hallar “x+y”
(12) Hallar el valor de “x”
6
3
6
9
7
6
14
6
4
3
a) 12
x
8
5 16
b) 10
c) 14
2
d) 8
.
(13) Hallar el valor de “x”
4
1 0
5
18
1
20
2
X
2 7
1 3
a) 13
b) 18
02.-Hallar:
1
2
c) 14
d) 8
(14) Hallar el valor de “x”
10
8
4
5
8
a) 13
x
3
7
9
2
b) 10
4
c) 9
6
3
2
03.-Hallar x
3
d) 7
(15) Hallar x + y en:
04.-Hallar:
a) 20
b) 19
c) 30
d) 25
e) 23
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316
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05.-calcular X
06.- ¿Qué valor completa?
07.-¿Qué valor falta?
A.9
B.27
C.4
D.3
E.1
08.- Calcular: x
09.- Calcular: x
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
317
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R A ZO N A MIEN TO MA TEMÁ TIC O
HABILIDAD OPERATIVA
Consiste en analizar formas de solución para
problemas aparentemente complicados, pero que
con un poco de habilidad matemática e intuición
práctica llegamos a soluciones rápidas haciendo
uso de métodos de inducción y deducción o
propiedades básicas de las matemáticas.
U
2
0
0
2
RAZONAMIENTO INDUCTIVO:
Introducción
 3
U AL
Consiste en analizar
casos particulares para
conseguir ciertos resultados que al analizarlos nos
permitan llegar a una conclusión que llamaremos
Caso General
Caso
Particular
AL
0
2
0
Caso
General
Ejemplo 1
 Elías es hermano de Juan y es rico
 Jorge es hermano de Juan y es rico
3
2 1
 4
.
1 2
.
3 0
.
0 3
.
.Se observa que el número de resultados es una
más que el número de goles.
Entonces: # de resultados = n + 1
Ejemplo 3
Hallar la suma de las cifras del resultado de:
U  999 x1000 x1001x1002  1
a) 31
b)30
c)29
d)28
e) 27
Solución
Por inducción empecemos haciendo:
.
.
.
 Entonces todos los hermanos son ricos
1x2 x3x4  1  5  1x4  1
Ejemplo 2
Juanita llegó muy tarde al clásico u-Alianza y solo
pudo enterarse que en total se metieron n goles.
¿Cuántos resultados distintos se pudo haber dado?
a) n2 b) 2n c) n-1 d) n+1 e) n
Solución
Analizando tres casos simples:
# de goles
# de resultados
3x4 x5x6  1  19  3x6  1
1
U AL
1 0
0 1
2 x3x4 x5  1  11  2 x5  1
.
.
.
x( x  1)( x  2)( x  3)  1  x( x  3)  1
Luego :
999 x1000 x1001x1002  1  999 x1002  1  1000999
 cifras
 2
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
 1  0  0  0  9  9  9  28
Ejemplo 4
Calcular la suma de las cifras del resultado de:
E 
E 555....555x999....999
 555
....
555
....
999

 x999


100 cifras
100cifras
100 cifras
100cifras
a) 600
b) 700
c) 800
d) 900
Solución
Por inducción vamos a deducir una fórmula
general para calcular el producto
318
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5x9=45 …………………….. 9 = 9x1
55x99=5445 ……………….. 18 = 9x2
555x999=554445 ……….…. 27 = 9x3
.
R A ZO N A MIEN TO MA TEMÁ TIC O
Ejemplo 1
Hallar el valor de M en:
M
1984 x2016 256 
959 x1041 + 1681 
a) 32 b)64 c) 128 d)256
Solución
2
2
Recordar que: (a  b)(a  b)  a  b
.
.
5
e)1024
555....555 999....999
100 cifras
Dando forma a la expresión
100 cifras
 (2000  16)(2000  16)  16 2 2 5 5
 
M   (2000  16)(2000  16)  16
2
M (1000  41)(1000  41)  41 2 
 (1000  41)(1000 5 41)  41 
 2000 2  162  16 2 
 5
M  
 20002 2  162 2  162 2 

M  
2
2
2 
1000 41
41 4141 
1000
Ejemplo 5
Hallar “K” en:
a) n b) n+1 c) n+2 d) n-1 e) 2n
Solución
Por el problema 4 se tiene:
n(n  3)  1  K 2  n
2
 2000
 2000
200022 
 2000
  
M
 
M 
MM   

2 

2
1000
1000


1000 
 1000 

 
10



M  2  M  1024
M  210  M  1024
2
n 2  2n  1  K 2
(n  1) 2  K 2
Ejemplo 2
Hallar el valor de: abc
K  n 1
Ejemplo 6
Calcular:
x
2010sumandos
mnp
b x mnp  350
a)22010 b)2010 c) 22010-1 d) 22010+1
Se trata de la suma de los términos de una
Progresión Geométrica, cuya razón q=2 Además
T1=1; n=2010
Solución
Utilizaremos la fórmula:
a) 54975
d) 56175
b) 55875
e) 55675
Solución
Sabemos que:
c).45975
mnp 
abc
T1 (q  1)
(1)(2  1)
T 
 T  22010  1
q 1
2 1
n




mnp x a  525
Si: mnp x c  175
T  1

2
 4

8 
16
.......




T
25 5
55
n  3n  1  K  n
2
2010
c mnp 
b  mnp
a mnp
RAZONAMIENTO DEDUCTIVO
Reemplazando:
mnp 
abc
Es un tipo de razonamiento que va de un caso
general ya comprobado, a casos particulares; se
parte de un conocimiento general cuya verdad ya
ha sido demostrada y se aplica a un caso particular.
175
350
525
56175
También se dice que es un método por el cual se
procede de manera lógica de lo universal a lo
particular.
Caso1
Caso
General
Caso2
Deducción
(1)
Caso
Particular
Hallar la suma de cifras de :
E= (1111……..111)2
19 Cifras
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
319
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I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
a) 366
(2)
b) 361
R A ZO N A MIEN TO MA TEMÁ TIC O
c) 150
2
2
(12) Calcular la suma de los números de la fila 18
d) 250
2
Calcular: (135) + (85) + (65) + (145)
2
Fila 1
Fila 2
a) 517001 b) 36015 c) 15000 d) 50700
(3) Calcular la suma de términos de la fila 23
1
Fila 1
3
Fila 2
7
Fila 3
Fila 4
Fila 3
Fila 4
Fila 5
13 15
1
1
1
1 2 1
1 3
3 1
1 4
6
4 1
5
9 11
17 19
a) 131072 b)131073
c)131075 d)131078
(13) Si (+)(+) = (-)(-)
a) 12167 b) 12216 c) 12267 d) 12180
(4)
Hallar la última cifra luego de efectuarse el
producto.
P = (22000+1) (21999+1)(21998+1)…..(22+1)
a) 6
(5)
d) 8
Hallar a + b si : (1.3.5.7.9….) = ....ab
b) 7
c) 10
b) 51
c) 45
d) 8
b) 257
c) 246
d) 43
Sabiendo que la diferencia de los términos es 3
a) 10
d) 280
(16) Efectuar
a)
c) 900
d) 910
(10) Calcular M =
d)243
a) 10
99.100.101.102  1
(11) En que cifra termina:
P= (10+1) (102+3) (103+5)…(10500+99)+4
b) 10
c) 8
2  4  6  8  ...  4444
1  3  5  7  ...  4443
b) 6
400
c) 2
?
d) 8
b) 8
c) 9
d) 5
2
4
2
(19) Efectuar 11 123 x 10  42 x 10 .Indicar
suma de cifra del resultado:
a) 10099 b) 10109 c) 10089 d) 10098
a) 9
d) 400
(18) Resolver
123456789  2468 Indicar la
suma de cifras de la raíz cuadrada.
27 cifras
c) 241
c) 200
2222
2221
4444
2223
b)
d)
c)
4443
2221
2220
2222
a) 4
E = (999 . . . 999)2
b) 240
b) 15
(17) En que cifra termina: 34
Calcular la suma de cifras del resultado
a) 238
d) 0
4 0 0cifra s
100 Cifras
b) 1000
d) 8
4 0 0cifra s




222...222
333
...333




Calcular la suma de cifras del resultado
P = ( 3333… 333 )2
a) 950
c) 2
b) - 8010 c) -7350
Hallar las 3 ultimas cifras de “n” si:
a) 264
(9)
b) 4
(15) Hallar la suma de los términos de una
fracción equivalente a:
n . 18=…8428….(1)
n . 28=…0888….(2)
(8)
a) 3
a) 8010
Calcular la suma de cifras del resultado.
E = (12345678)2 - (12345676)2
a) 41
(7)
c) 10
SUMA
AMOR

SUMENO MORENO
(14) Hallar el resultado de la siguiente
multiplicación.
(79-1)(78-2) (77-3)…(3-77) (2-78) (1-79)
2
a) 6
(6)
b) 5
Hallar: K
a) 3
b) 4
c) 5
la
d) 8
d) 11
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
320
298
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R A ZO N A MIEN TO MA TEMÁ TIC O
4
 4
x

(20) Efectuar   315
 
x 285
 225
x586
 196
Efectuar: 614
 

315 285
225
(8) Si a - b = b- c = 6
(8) Si a - b = b- c = 6

Calcular:
Calcular: (a  c) 6  (b  c) 6  (a  b) 6   66


(a  c) 6  (b  c) 6  (a  b) 6   66
 a) 1

b) 2
c) 3 
d) 6
a) 1
b) 2
c) 3
d) 6
 614x586  196 
36
a)
b)
65
315
c)
614
1
256
d)
1
64
(9)
Indicar el valor de:
P
200.201.202.203  1
a) 30901 b) 40202 c) 40701 d) 40601
(1)
b) 10
a) 5
(2)
b) 4339
c) 4379
b) 3
c) 0
6
b)
d) 1
c) 1
1
2
3
4
5
1
Si:
3
a) 2
(6) Calcular
d) 5
(7)
a) 16
2
b) 18
1 2 3
n+1
d) 12
c) 23
d) 20
c) 4d) 5
c) 630
d) 710
a) 1
b) 0
c) 3
d) 5
(16) Hallar la suma de los dos últimos cifras del
resultado de:
S = 176+ (2376)2+ (123576)3+ (84376)5
d) 5
a) 8
abc.9  d 833
c) 15
b) 580
19 20 21
(15) Hallar la última cifra del resultado de:
E=196532 + 196928 + 196730
n-1
b) 2 -1 c) 2 +1 d) 2 -1
32 255 x 257 x 65537 1
b) 14
c) 4
1
Hallar: a+b+c; si:
a) 13
b) 2
(14) Hallar el total de puntos de contacto en:
n -1
Calcular
2 4
a) 1 a) 1 b) 2 b) c)
(6)
d) 31
1
1 n
n+1
c) 33
Q  8 425.375.160625  625.625
a) 610
n-1
b) 34
(13) Calcular:
1
3 1
6
4 1
1 4
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1
1
d) 22


8 ANITA  P EP ITO


; 0 = CERO
a) 1
Calcular la suma de todo los términos de:
Fila
Fila
Fila
Fila
Fila
c) 19
(12) Calcular el valor de:
S= 666(555)+334(300)+445(666)+700(334)
Indicar la suma de sus cifras.
622x 628  9
2
b) 18
a) 35
d) 4329
15627 x 15623 4
Calcular el valor de 4
a)
(5)
d) 15
Cuál es el resto de dividir:
14 x 24 x 34 x 44 x… x 324 entre 5?
a) 4
(4)
c) 12
a) 23
(11) Hallar: P + E+ T +I +N +A
Cuál es el menor número que multiplicado
por 77 me da un producto formado solamente
por cifras 3?
a) 4349
(3)
(10) Calcular la suma de cifras de:
P = 111+112+113+114+115
Hallar la raíz cuadrada de:
9 x 1014 + 12x1010 + 4x106 e indicar la suma
de cifras del resultado
b) 3
c) 5
d) 4
d) 16
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321
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(17)
R A ZO N A MIEN TO MA TEMÁ TIC O
1

12
 123
1234
 ...
...
abc
90




2.-
HALLAR EL CUADRADO DE UN
NUMERO
FORMADO
EXCLUSIVAMENTE POR LA CIFRA 1
Los números de esta forma dan como resultado
siempre un NUMERO CAPICUA, cuyo término
central es un número igual a la cantidad de cifras
del número dado. Esta regla se cumple solo hasta
el cuadrado de un numero formado por 9 cifras
uno.
Ejemplo:
(11)2= 121
(111)2 = 12321
(1111)2 =1234321
(11111)º = 123454321
3.- HALLAR EL CUADRADO DE UN
NUMERO QUE TERMINA EN 5
Para elevar al cuadrado un número que terminan
en 5, se prescinde del cinco, el número que queda
se multiplica por el numero consecutivo en forma
ascendente y a la derecha del producto se escribe
el numero 25
9 sumandos
Calcular: a + b + c
a) 14
b) 15
c) 16
d) 18
(18) Simplificar:
1111111088888889
123456787654322  1
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
8  18  32
50  18
(19) A 
a) 4,5
b) 3,5
c) 2,5
d) 1,5
(20) Calcular la suma de cifras del resultado
A  666-66 
2
15 cifras
a) 125
b) 135
c) 145
d) 150
a5
CLAVES
2
1
a
2
d
3
d
4
d
5
b
6
b
7
c
8
d
9
d
10
d
11
a
12
a
13
d
14
c
15
d
16
d
17
c
18
c
19
a
20
b
Ejemplos:
 (65) 2  4225
 (7)(6)  42
 (85) 2  7225
CÁLCULO MENTAL
1.- MULTIPLICACION POR 11
Para multiplicar, mentalmente por 11 se hace lo
siguiente:
La cifra de las unidades del número es la misma
del resultado, luego se van sumando de dos en dos
así:
Unidades más decenas, decenas más centenas,… y
así sucesivamente hasta llegar a la primera cifra de
la izquierda que al no tener con quien sumarse solo
se agrega lo que se lleva de la operación anterior:
Ejemplo:
847 x 11 =
7
7+4=11 PONGO 1, Llevo 1
4+8+1=13 PONGO 3,
llevo1
Luego: 847 x 11 = 9317
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
 (a  1)  a25
321
322
 (8)(9)  72
2
 (45)  2025
 (5)(4)  20
4.- CUADRADO DE UN NÚMERO
Para elevar al cuadrado mentalmente un número,
empleamos la identidad:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Donde de la primera operación es b2, luego la
segunda operación es 2ab y por ultimo a2
Ejemplo:
(47)2 =………..
Descomponiendo 47 en 4 y 7
 1ero (7) 2 = 49, escribo 9 y llevo 4
 2do 2(4)(7) + levo (4) = 60, escribo 0 y llevo 6
 3ro (4)2 + levo (6) = 22, escribo 22
Es decir: (47)2= 2209
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Ejemplo:
 471 x 1001 = 471471

892 x 1001 = 892892
5.- MULTIPLICACION POR 1001 ( # DE 3
CIFRAS )
Para multiplicar mentalmente un número de tres
cifras por 1001, se escribe el número dos veces
uno a continuación del otro.
PROMEDIOS
Definición: Se llama promedio o cantidad media
de varias cantidades diferentes a un número que es
mayor que la menor cantidad y menor que la
n
mayor cantidad.
Solución:
PP = 12(2) +8(4) +16(6)
2+4+6
2. Se compran las siguientes cantidades de a los
correspondientes precios que se indican a
continuación.
30 kg
a
S/.1, 50
cada
kilo
20 kg
a
S/.1, 80
cada
kilo
10 kg
a
S/.1, 60
cada
kilo
Son las cantidades: a1, a2, a3, ..…an
Donde
promedio.
Entonces “P” es el
a1 < p < an
PRINCIPALES PROMEDIOS
a)
Promedio Aritmético( PA ) o Media
Aritmética Simple ( MA ): Es la suma de “n”
cantidades dividida entre “n”
Calcular el precio promedio de la mezcla
Solución:
Aplicamos la definición de promedio ponderado
( PP )
Ejemplo:
Calcular el promedio aritmético de 20,30
Solución:
y40
Por definición aritmética, obtenemos
PP = 30(S / .1,50) +20(S / .1,80) +10(S / .1,60)
PA = 20 30 40 = 90 = 3 0
3
b)
30 + 20 + 10
3
PP =
Promedio Ponderado ( PP ) o Media
Aritmética Compuesta:- Se presenta cuando
una de las cantidades o varias de ellas se
repiten 2 o mas veces. La ponderación en los
problemas viene representada con pesos,
calificaciones, etc.
c)
S / .45  S / .36  S / .16 S / .97
 S/. 1.616

60
60
Promedio Geométrico ( PG ) o Media
Geométrica ( MG ), se llama así a la raíz
enésima del producto de “n” factores.
Sean las cantidades que intervienen: a1, a2, a3,…an.
Ejemplos:
1. Calcular el promedio geométrico ( PG ) de los
números2, 4 y 8
Sean las cantidades: a1; a2; a3;…; an
Los pesos: p1, p2, p3,…,pn
Luego el promedio ponderado ( PP )
Solución:
Por definición de PG , obtenemos:
Ejemplos:
1. Hallar el promedio de dos alumnos con nota
12, 4 alumnos con nota 8 y 6 con nota 16.
PG = 3 2 x4 x8  PG  3 64  3 63  4
2.
PG  4
Hallar la media geométrica de 2;3;9
Solución
MG =
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
322
323
3 1x3x9  3 27  3 33  3 
MG =3
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Solución:
3.Hallar el promedio geométrica de: 60, 25, 60 y 9
Solución:
Por definición:
PG  4 60x25x60x9  4 2040  PG  30
PH 
d) Promedio Armónico: (PH) o Media Armónica
(MH): Se denomina promedio armónico de varias
cantidades a la inversa del promedio Aritmético de
los recíprocos de dichas cantidades.
Media Cuadrática ( MC ) o Promedio
Cuadrático ( PC ).
n
a k
2
MC 
k 1
n
 MC 
a12  a22  a32  ...  an2
n
Ejemplo:
Hallar con media cuadrática de 1,2,3 y 6
Solución:
1 1 1
1
,
,
,...,
a1 a2 a3
an
1
1
1
1 
 1


 ... 


a
a
a
a
 1
2
2
n 


n




Ejemplos:
1. Calcular
el
promedio
de:
3,
4y5
Solución: Por definición de tenemos:
MC 
PH 
12  22  32  62

4
50
 3,53
4
1. Hallar
el
promedio
1,2,3,4,……..…,20
Solución:
PC 
12  22  32  ...  .202

20
cuadrático
20(21)(41)
 PC  11,97
6.20
Dentro de las medias más importantes tenemos las
siguientes:
1.
180
47
Media Aritmética ( ma ): Es el promedio
aritmético de dos cantidades o números. Sean las
cantidades o números: A y B
ma (A,B)= A  B
PROPIEDAD: Para un conjunto de números no
iguales, su promedio aritmético es siempre
mayor que su promedio geométrico y este a sus
vez mayor que su promedio armónico.
2
2.
PA
 PG  PH
PA  PG  PH
Media Geométrica ( mg ): Es el promedio
geométrico de dos cantidades o números. Sean
las cantidades o números: A y B
mg (A,B) =
3.
1.Hallar la media armónica de “a” y “b”
Solución:
2
2
2ab

 MH 
1 1
ab
ab

a b
ab
AxB
Media Armónica ( mh ): Es el promedio
armónico de dos cantidades o números. Sean las
cantidades o números: A y B
mh( A, B) 
2 AB
A B
2. Hallar la media armónica 2; 8 ;8; 1 y16
3
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de
M E D I A S
3
3
3(60)
PH 


1 1 1
20  15  12
47
 
(
)
3 4 5
60
MH 
80
49
e)
Sean las cantidades que intervienen
a1, a2, a3,…an, sus inversos de dichas cantidades
serán:
PH 
5
5

1 3 1
1
8  6  2  32  1
  2
2 8 8
16
16
PH 
2
323
324
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Propiedades
8.si el promedio aritmético de dos números es 36 y su
respectiva diferencia es 8; cual es el mayor de dichos
números?
a)20 b) 40 c) 60 d) 50
La mg de dos números “a” y “b”,
1.
es mg entre la ma y mh
La mg =
maxmh 
maxmh
9.si el promedio aritmético de dos números es 3 y uno
de ellos es 6, ¿Cuál es el otro numero?
a)2 b) 8 c) 6 d) 1
2.El producto de dos números es igual a su ma
por su mh . Sean los números: a y b, entonces:
axb  maxmh
3.La
10.si se toma el P.A., P.G. y P.H. de los siguientes
números: 7;7;7 y 7 ¿Qué promedio es mayor?
a)P.A. b) P.H c) P.G
ma es mayor que la mg y esta a su vez
11. Calcular el promedio armónico de 6,12 y 20
a) 12 b) 10 c) 18 d) 13
mayor que la mh
ma  mg  mh
12. Calcular el promedio geométrico de 3;6;9 y 8
a)
9 b) 6 c) 3 d) 8
1.
Calcular el promedio de las siguientes notas:
13;12;00;07 y 14
a)6 b) 9,2 c) 12 d) 20
2.
Calcular el promedio geométrico de 4 , 16 y 8
a)11 b) 6 c) 8 d) 3
3.
Calcular el promedio geométrico de:
3;9;27 y 81
a) 4√2,5,7 b) 45 c) 26 d) 41
4.
Calcular el promedio armónico de: 2; 6 y 12
a)2 b) 4 c) 8 d) 5
5.
Si el P.A. de los números es 16 y su P.H. es 4,
¿Cuál es su promedio geométrico?
a)12 b) 6 c) 11,3 d) 10
6.
13.El promedio aritmético de 4 números es 12 y uno de
ellos es 8, ¿Cuál es la suma de los otros tres números?
a)40 b) 10 c) 20 d) 45
14.El promedio aritmético de dos números es 60 y su
promedio armónico es 15, ¿Cuál es su promedio
geométrico?
a)10 b) 30 c) 40 d) 60
15.El mayor promedio de dos números es 12 y su
menor promedio es 3, ¿Cuál es el promedio geométrico
de dichos números?
a)8 b) 1 c) 6 d) 4
16.El promedio de estatuas de un salón de 40 alumnos
es 1,6 metros, si 20 de ellos tienen un promedio de 1,50
m. ¿Cuál es el promedio de los 20 restantes?
a)1,71 b) 1,80 c) 1,70 d) 1,51
17.Al calcular el promedio armónico de 2; 20; 12 y 6
da como resultado “a” calcular “a”
a)18 b) 10 c) 13 d) 17
Si el promedio aritmético de dos números es 160
y u promedio geométrico es 60, calcular el
promedio armónico.
a)11,25 b) 11,4 c)12 d) 10,5
18.El promedio geométrico de 3 números diferentes es
2 ¿Cuáles son esos números?
a)1,2 y 4 b) 1,8 y 2 c) 1,1 y 4 d) 1,5 y 6
7.Calcular el promedio geométrico de:
5;5;5;5;5;………..;5;5
19. El promedio geométrico de 3 números diferentes es
2, ¿Cuáles son esos números?
a)1,2 y 4 b) 1,8 y 2 c) 1,1 y 4 d) 1,5 y 6
133 números
a)5 b) 9 c) 7 d) 2
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324
325
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(1) Gloria obtuvo notas de 13; 08; 11; 14; 16; 15;
(2) El promedio geométrico de 3 números es 6; si
 de ellos son 4 y 3. Hallar el tercer número.
dos

a) 16
b) 18 c) 20
d) 22
(3) Si la media geométrica de dos números es 4 y la
media armónica es 32 ¿Cuál es el menor de 17
los 2 números?
a) 16
b) 1
c) 15
d) 2
(4)La media Cuadrática de: a, x y 2a es: 2 2 ;
hallar “x”.
b) 20  a 2
a) 24  5a 2
d) 12–a2
c) 14-a
(1)
La media aritmética de un conjunto de 10 números
es 16. Si incluimos los números 8 y 12 en el
conjunto. ¿Cuantos es la media aritmética de este
nuevo conjunto?
a) 17
b) 12
c) 15
d) 18
(2) Promedio de cuatro números es x, si uno de los
números es (x-3)
¿Cuál es el valor promedio de los otros 3?
a) x-1
(3)
(4)
(5)El promedio de 50 números es 38, siendo 39 y
61 dos de los números, eliminado estos dos
números, el promedio de los restante es:
a) 36,5
b) 38,5 c) 37,5 d) 40,5
(5)
(6) El promedio geométrico de 4 números pares
distintos es 6 3 . Hallar el promedio aritmético de
ellos.
a) 20
b) 40
c) 50
d) 30
(7) El promedio aritmético de 5 números pares
consecutivos es 24. Hallar el promedio geométrico
de la quinta parte del menor séptima parte del
mayor.
a) 6
b) 8
c) 4
d) 5
(8) La media Aritmética es a media geométrica de
dos números como 25 es a 24. Hallar la relación
geométrica de los números.
a) 5
b) 5
c) 15
d) 16
6
7
4
9
(9)La edad promedio de “n” hombres es “h” años y
ninguno de ellos tienen menor de “h/2” años. ¿Cuál
es la máxima edad que puede tener uno de ellos?
a)
 h2


 h
 2



b) h(h  1) c)
2
 h2  2 


 2 


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d)
h(h  1)
2
b) x+1
c) 3(x+1) d)
x 1
3
La suma de 2 números es 100 y su media
geométrica es 40, la media armónica es:
a) 28
b)30
c) 32
d) 34
Un automóvil viaja de A a B por la misma carretera
a 120km/n ¿Cuál es la velocidad media de viaje
redondo?
a) 60
b) 70
c) 80
d) 90
La media aritmética de 2 números es 40, cuando se
considera un número más la medida aritmética
disminuye en una unidad. El numero considerando
es:
a) 19
b)20
c) 21
d) 22
(6)
La medida aritmética de ab y ba es 66,hallar a y b
,si se cumple que: a2+ b2 =90
a)3y 10 b) 4y7
c) 5y8 d) 9y3
(7) El promedio de las edades de un grupo de 16
alumnos es 54. si ninguno de ellos obtuvo menos
de 60¿Cuál es el máximo edad común que y de
ellos pueden obtener?
a)36
b) 18
c) 40
d) 52
(8) El promedio de edad de 18 hombres es 16 años y la
edad promedio de 12 mujeres es 14 años. Calcular
el promedio de salón.
a) 15
b) 15,2 c) 16,2 d) 17.2
(9) El promedio de las edades de cinco personas es
48. si ninguna de ellas tiene, mas de 56 años
¿Cuál es la mínima edad que puede tener una de
ellas?
a) 24
b) 18
c) 19
d) 24
(10) El promedio armónico de:
2; 6; 12; 20; 30;…..…;600
a) 20
b) 22
c) 24
d) 25
6
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CLAVES
1
c
2
b
3
c
4
c
5
a
6
d
7
a
8
b
9
d
10
d
CONSIDERACIONES GENERALES PARA
RENDIR UN EXAMEN DE ADMISIÓN
1.- Lee atentamente las instrucciones y escucha las
indicaciones del observador.
2.- Lee las preguntas y trata de entender que es lo que
realmente está en cuestión, no cometas el error de estar
adivinando o respondiendo al azar.
3.- Recuerda que no existe bonificación por contestar
preguntas difíciles, esto significa que hay que
organizarse para responder con eficacia el examen.
ESTRATEGIAS PARA AFRONTAR CON
ÉXITO UN EXAMEN DE ADMISIÓN
I. LA VUELTA RÁPIDA
Consiste en invertir un breve tiempo en revisar la
prueba, como quien hojea un periódico fijándose en los
titulares, resolviendo preguntas de acceso inmediato.
II. LA SEGUNDA VUELTA
Aquí es donde se empieza a resolver propiamente el
examen y el objetivo principal es administrar
productivamente el trabajo y el tiempo. Las preguntas de
fácil desarrollo son el objetivo principal, pero si nos
tropezamos con una de mayor dificultad procede a
señalarla para regresar a ella más adelante. Cuidado con
las preguntas “gancho”, llamadas así por ser atractivas e
interesantes; estas tienden a absorber nuestra atención por
una cierta “fascinación”.
III. LA TERCERA VUELTA
Es este el momento más delicado del examen, ya que la
prudencia debe colocarse en primer orden. El objetivo
es regresar a las preguntas que fueron “abandonadas” por
su grado de dificultad para lo cual una nueva lectura del
problema es fundamental.
1.- Cada pregunta que respondas debes marcarla
inmediatamente en la tarjeta de respuestas, no debes
cometer el error de marcar al final.
2.- Siempre al término debes revisar todo tu examen, lo
mismo que tu tarjeta de respuestas, para corregir
eventuales errores no previstos.
3.- Revisa que tu código esté escrito correctamente,
además de tus otros datos.
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7
327
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OPERADORES MATEMÁTICOS
Operados Matemático: Es un símbolo que por si
solo no tiene significación:
 Símbolo sujeto a reglas o leyes que representa
una determinada operación matemática.
I. Operadores universales o usuales: Son
aquellos conocidos en cualquier parte del mundo
Sen
 Suma
 Resta
(+)
(-)
 Multiplicación
(*)
 División
(/)
 Radicación
(
 Cos tg
log
b) 30
etc.
x∆y = 3 x - 2 y
Calcular: 25∆9
a) 8
b) 11
c) 9
d) 20
(4).- Sea la operación (#) definida en los números
reales como:
a# b 
ab
a b
Calcular el valor de “x”; si: x # 2 = 2x # 3
a) 0
b) 5
c) 2
d) 6
Operación Matemática: Es un procedimiento que
valiéndose de reglas o leyes previamente
establecidas, transforma una o más cantidades o
funciones
en
otra
cantidad
llamada
RESULTADO.
Primera componente
Segunda componente
(5).- Sean las operaciones (%) y (∆), definidas en
los números reales por:
a % b = a + ab + b
a∆b = a2 + ab - b2
Calcular: (2%4) % (3∆2)
a) 124
b) 160
c) 179
(6).- Si a  b  ab
(a+b) y a
d) 168
b = 2a + b
Calcular: 2  3
A * B = A2 – 2B
a) 12
Regla de cómo
operar
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d) 50
(3).- Se define la operación (∆) para cualquier par
de números reales positivos “x” e “y” como :
)
% = Operador porcentaje.
= Operador triangulo.
* = Operador asterisco.
= Operador Cuadrado.
= Operador rectángulo.
# = Operador numero.
 = Operador Alfa.
 = Operador Beta.
Operador
Asterisco
c) 40
(2).- Si se define la operación (…) en los números
reales como: a…b = 3a + b2
Calcular: 4…3
a) 19
b) 21
c) 23
d) 18
II. Operadores no usuales o arbitrarios: Son
nuevos definidos en función a los operaciones
universales
Ejemplo de operadores
(1) Si A  B = A2-2B. Calcular 5  2 a) 21
328
328
b) 14
c) 16
d) 17
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(7).- Sabiendo que:
a � b = 2a – 5b
a � b = 3a - 7b
si a > b
Si a < b
Calcular: (-2 � -1) - ( -1 � -2)
a) -8
b) -7
c) -6
d) - 5
y a = ya  y-2
(8).- Si:
8
Donde:
8
3 = 81
2
x
3 1
Calcular el valor de “x”
a) 3
b) 9
c) 81
d) 1/3
b
(9) .-Si
a
c
=
a+b+c
y a = a2
1
1
1
-3
Hallar el valor de: -2
a) 16
b) 4
c) 1
d) 196
3n  2
(10).- Sea la operación: n =
2n
Entonces el valor de “n” en
a) 1
(11).- Si
b) 2
c) 3
d) 4
= ad – bc. Hallar “y” en:
a c
b d
a) 1
n = n es:
4 1
6 5
+
b) 3
3 x
1 y
=
c) 5
5 1
x y
d) 7
(12).- Hallar el resultado de la siguiente
operación, evaluando de la izquierda
a la derecha.
4 1 2 2 0 3
y consultando esta tabla

4
3
2
1
0
4
0
4
3
1
1
3
2
1
2
4
2
2
1
3
2
4
3
1
2
4
0
3
4
0
3
2
1
2
0
a) 2
b) 3
c) 6
d) 4
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(5)
(1) Si se define la operación (%) para cualquier
par de numero reales “a” y “b”, como:
a % b = a2 –a . b
Calcular el valor de “x”, si: (x+2) % (x-1) = 5x
a) 3
b) 6
c) -3
d) -6
(2) Si : 2 ∗ 3 = 2
3∗ 2=2
5 ∗ 4 = 27
1∗ 5=5
2
5 ∗ 2 = 36
Calcular el valor de: 2152 ∗ 3543
(4) En el conjunto M = {1;2;3;4}definimos una
operación mediante la siguiente tabla:

1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
2
1
3
1
2
3
4
4
4
1
2
3
a) 4  4
b) 1
Según esta tabla Calcular:
E = (1  2)  [3  (4  1)]
abc
c) 2
d) 4
1
(
x

2
)(
X  3)
(5) Si x + 1 =
Hallar “n”
S = 1 + 2 + 3
n = 6
13
a) 18 b) 19 c) 20 d) 24 e) 25


(6) Definimos:
a
a= a
aa
M = (2 ) . (4 )
Calcular:
a)
64
2
b)
32
a=a a
a = a –a
2
c)
16
2
d)
8
2
e)
4
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2
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3.
En la columna de las decenas vemos que:
a+b=8 y como podemos estar llevando 1 (de
las columnas de las unidades) o sea a+b=8.
4.
De las dos observaciones anteriores deducidos
que: a+b=8, entonces analizamos las
posibilidades hasta encontrar la válida.
CRIPTO ARITMÉTICO
Definición: Es el arte de encontrar las cifras
representadas con letras y símbolos en una
operación aritmética, teniendo en cuenta las
propiedades de las mismas y sobre todo de la
habilidad deductiva:
Representación de un numeral
a
: Numeral de 1 cifra
ab
: Numeral de 2 cifras
abc
: Numeral de 3 cifras
CRIPTO
ARITMÉTICA
CON
SUSTRACCIÓN.- Para realizar la sustracción hay
que tomar en cuenta tres pasos fundamentales
cripto aritméticas:
Ejemplo
 Hallar S+A+N, sabiendo que: 666–SAN =NAS.
Cifras en el Sistema de base 10
Solución:
{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
1. Siempre que tengamos una sustracción, la
convertimos a adición: Si 666–SAN=N A S o sea
SAN+NAS=666.
NOTA: En un numeral dado en una base
cualquiera siempre las cifras son menores que la
base.
Cada uno de los problemas deberá ser tratado en
forma particular, ya que no existen formas preestablecidas y solo es materia del INGENIO y
RAZONAMIENTO al encontrar SU solución o
soluciones.
2. Colocar según el orden posicional :
C D U
S A N
+ N A S
6 6 6
3. Analizamos cada orden y deducimos:
CRIPTO ARITMÉTICA CON SUMA.- Para
resolver la adición se deben de tomar en cuenta
cuatro pasos fundamentales de Cripto aritmética:
 En la columna de las unidades: N+S=6 ó 16
Ejemplo
 En la columna de las centenas: S+N=6
 Sabiendo que ab+ba = 88 y que a>b, hallar el
máximo valor que puede tomar a . b .
 En la columna de decenas: A+A=6 o sea A=3
Como: N+S=6 y A=3 o sea S+A+N=9
Solución:
2.
En la columna de las unidades observamos
que: b+a termina en 8 o sea b+a=8 ó 18.
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axb
7
12
15 = Si
4 x 4 = 16 → No porque 4 = 4 no cumple
el requisito de a > b.
Descomposición de un número:

2345 = 2(10)3 + 3(10)2 +4(10) + 5

2325 = 2300 + 25

2345 = 2000 + 345

2345 = 2000 + 300 + 45

2345 = 2340 + 5
Ubicamos las cifras de los números sumados
de acuerdo a su valor posicional, una con
respecto a la otra.
b
1
2
3
Porque 5>3; 5+3=8 y 15 es el mayor posible.
abcd : Numeral de 4 cifras
1.
a
7
6
5
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1).- Hallar a+b+c, si: a7c  c6a  5b9  1c2b
a)15 b) 30 c) 8 d) 4 e) N.A.
(1)
SIN  SIN  NADA
Solución:
Hallar: S + I + N + A + D + A
Escribiendo verticalmente la adición:
a7c  * Unidades: c+a+9=16  c+a=7 (1)
* Decenas: 1+7+6+b=22  b=8
c6a
* Centenas: 2+a+c+5=10+c  a=3
Reemplazando en (1) se tiene: c=4
Se no pide: a+b+c+=3+8+4=15
5b9
1c26
Sabiendo Que:
a) 20
(2)
b) 21
DALE +
CREMA
GARRA
Si,
c) 22
d) 23
;donde:
GA es un cuadrado perfecto y R=7; D=L
2).- Si se cumple que: abc  6  .344 (a>c>b).
Hallar el valor de: ab  bc  ac
a) 26 b) 24 c) 22 d) 28 e) N.A.
Solución
El producto dado se puede escribir como:
Hallar el valor; C + R + E + M + A
(3)
a) 27
b) 26
D
DALE  D
Si,
c) 23
d) 30
Calcular: D + A + L + E
abc 
a) 15
6
.344
(4)
i) cx6=.4 Donde “c” puede tomar valores de 4 ó
9. Probemos con 4:
 4x6=24 (Pongo 4 y llevo 2)
abc
b) 16
c) 17
d) 18
FELIZ  DIA  MAMA , donde: 1<L<1<Z<6
Calcular: F + A + M + I + L + I + A
a) 30
6
ii) bx6+2=4  bx6=2 Donde “b”
._ _4
puede tomar los valores 2 ó 7
Probemos con 2  2x6=12 (Pongo
2 y llevo 1)
iii) ax6+1= .3 Donde “a” puede tomar el valor de
2ó7
Como a>b y c; entonces a tomará el
abc 
valor de 7.
6
Probemos: 7x6+1=43 (Se coloca al
--44
resultado final)
(5)
b) 31
c) 32
d) 36
Determinar las sumas de las cifras del
producto n:
9 8
a) 15
(6)
b) 16
c) 17
d) 18
Si, RAMOx4  OMAR
Calcular: A + M + O + R
abc 
6
4344

a) 17
(7)
Luego:
abc 
6
4344

724
6
4344
b) 18
PERU x
HOY
Hallar :
Perú x H = 8312
Perú x H = 8312
Perú x 0 = 12468
Perú x 0 = 12468
Perú x Y = 29092
Perú x Y = 29092
c) 19
d) 20
Sabiendo que:
a)984972 b) 974913 c) 93483 d) 97298
Ahora calculamos el valor de:
ab  bc  ac  72  24  74  22
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(8) Hallar un número de 2 cifras cuyo
producto por 23 termina en 035.
a) 30
b) 35
c) 45
d) 50
(9) Si, REZOx99  RE6214
Hallar el valor de: R + E + Z + O
a) 19
b) 20
c) 21
d) 22
(10) Si, UNO = ( U + N + O )
O
Calcular: U N
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
CLAVES
1
d
2
c
3
d
4
b
5
a
6
b
7
c
8
c
9
c
10
c
11
a
12
c
13
d
14
b
15
a
16
b
17
c
18
c
19
c
20
c
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