UN BREVE REPASO DE FÍSICA CLÁSICA

UN BREVE REPASO DE FÍSICA CLÁSICA
1
1.
2.
3.
4.
Partícula clásica: su estado
queda determinado a partir
de su posición y su
cantidad de movimiento.
movimiento
Ambas variables tienen
valores precisos, bien
d f d en cada
definidos
d instante
de tiempo.
Siempre es posible, al
menos en principio, medir
ambos valores sin
perturbar apreciablemente
el sistema.
Conociendo las fuerzas que
actúan sobre la partícula
partícula, la
aplicación de la 2ª ley de
Newton permite determinar
su estado en cualquier
instante de tiempo, a partir
de las condiciones iniciales.

r
m

F

v
 d ( mv )
F
dt
1
La Mecánica Cuántica



La Representación matemática de la
Mecánica Cuántica se desarrolla en
espacios
p
vectoriales lineales complejos
p j
denominados espacios de Hilbert.
Hilbert.
Los escalares son NÚMEROS COMPLEJOS
COMPLEJOS.
Los elementos ((vectores)) de este espacio
p
se representan mediante los “kets
“kets”:
”:

2
I LOS POSTULADOS DE LA
I.
MECÁNICA
C
C CU
CUÁNTICA
C






Postulado 1:
cuántico
á ti
Postulado 2:
fí i
físicas
Postulado 3:
Postulado 4:
Postulado 5:
de estado.
Postulado 6:
La descripción del estado
La descripción de las magnitudes
Resultados de las medidas.
Probabilidades de los resultados
La medida. El colapso del vector
La ecuación de Schrödinger.
3
Postulado 1: La descripción
del estado cuántico
Cada sistema cuántico tiene
asociado un espacio de Hilbert H.
H
El estado del sistema se representa
p
por un vector de H.
Sistema S
Estado de S
Espacio de Hilbert H

 H
4
Postulado 2: La descripción
p
de las magnitudes físicas
Cada magnitud física del sistema
está representada por un operador
autoadjunto (observable).
(observable)
Un operador autoadjunto está representado por una matriz hermítica
(aquella que es igual a su traspuesta conjugada). Sus propiedades son:
1)Sus valores propios son reales.
2) En el caso no degenerado, los vectores propios forman una base del
espacio de Hilbert.
5
Postulado 3: Los resultados
d las
de
l medidas
dd
Cuando se mide una magnitud
física de un sistema cuántico, los
únicos valores que se pueden
obtener son los valores propios de
la matriz correspondiente a dicha
magnitud.
Aˆ  i  ai  i
Resultados posibles al medir:
; ai  R
a1 , a 2 , ............., a n
6
Postulado 4:Probabilidades
de los resultados
La probabilidad de obtener el valor propio ai
d lla magnitud
de
it d A es iiguall all cuadrado
d d d
dell
módulo del producto escalar de la función
propia correspondiente a dicho autovalor,
por la función de onda que representa al
estado del sistema.
P(ai ) |  i |  |
2
7
Postulado 5: La medida. El
colapso del vector de estado.
El vector de estado inmediatamente
después de la medida es el vector
propio
i correspondiente
di t all valor
l
obtenido de dicha magnitud.
Se produce lo que se denomina “colapso
del vector de estado”
estado .
8







Supongamos n=2 (espacio de Hilbert bidimensional)
Estado 
Magnitud A
Observable: Â
a1 y a 2
V l
Valores
propios
i
y 2
Vectores propios 1
Probabilidades:
  c1 1  c2  2

P (a1 ) | c1 |2
P(a2 ) | c2 |2
EJEMPLO GRÁFICO (no riguroso) DEL COLAPSO:
2
 (t  )
MEDIDA
1
a1
 (t  )   1
9
Vector propio 2
De la magnitud A
A
estado
Vector propio 1
Se mide la magnitud A
g
A
De la magnitud
SISTEMA
Estado después de la
medida=vector propio 1
a1
Se obtiene uno de los
autovalores
10
Postulado 6: La ecuación de Schrödinger
La evolución temporal del vector de estado del sistema,
cuando no se producen medidas, está gobernada por
la ecuación de Schrödinger
d
i |  (t ) 
 Hˆ |  (t ) 
dt
Ĥ es el observable asociado a la energía del sistema,
H
sistema y
se denomina Hamiltoniano
h

; h  6.626  10 34 J .s
2
cte de Planck
Planck.
La evolución temporal del vector de estado está caracterizada por una
transformación
f
ió unitaria
i i (el
( l operador
d de
d evolución
l ió es unitario):
i i )
|  ( t )  Uˆ ( t , t 0 ) |  ( t 0 ) 
Uˆ ( t , t 0 )  e
i


t
t0 Hˆ dt
,
Uˆ  ( t , t 0 )  Uˆ  1 ( t , t 0 )
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Sistema S
Espacio de Hilbert H
E t d d
Estado
de S
Magnitud física “M”
M de
S
¿Qué
¿Q
é podemos
d
obtener
bt
all medir
di
“M”?
¿Qué nos proporciona el vector
de estado?
¿Cómo cambia el estado del
sistema en la
l medida?
dd ?
¿Cómo evoluciona el estado
cuando no se mide?

 H
Matriz hermítica
M̂
Uno de los
autovalores
Las probabilidades de
los autovalores
Colapsa al autovector
correspondiente al valor
obtenido
Ecuación
ó de
d
12
Schrödinger
Valores medios
•
Supongamos que realizamos un gran número de experimentos, donde se mide, siempre en el mismo estado
cuántico un observable.
cuántico,
observable Por ejemplo,
ejemplo sobre un número muy grande de sistemas idénticos preparados en el
mismo estado, se mide la misma magnitud.

M medidas de la magnitud
A  Aˆ
a1  N1 veces,
N
a2  N 2 veces,
i
M
i
..........
ai  N i veces,
• PROBABILIDADES Y VALORES MEDIOS
Ni
p (ai ) 
M
Experimental
n
;
n
Ni
A   ai p (ai )   ai
M
i 1
i 1
Predicciones de la Mecánica Cuántica
p (ai )   i 
Postulado 4
2
n
2
A   ai  i 
i 1
n
Si
   ci  i
i 1
A 
n
a
i 1
i
ci
2
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Dispersión
A 
Mide cuánto se desvían del valor medio los resultados de las
medidas.
(A  A )
2

A  A 2 A A 
2
2
A  A
2
2
Supongamos que el estado de un sistema cuántico es
uno de los vectores propios correspondientes a cierta
magnitud A. Entonces, se puede predecir con certeza
que el resultado de la medida de A sobre dicho estado es
el valor propio correspondiente a dicho vector propio. En
esta situación, la dispersión vale cero.
A  Aˆ
p(a j )   j 
A  0
  j
Aˆ  i  ai  i
2
 j j
2
1
p (ai | i  j )  0
A los vectores propios de un observable14
se les denomina también autoestados
ESTADOS ESTACIONARIOS
El Hamiltoniano no depende
explícitamente del tiempo
SISTEMA CUÁNTICO
Á
CONSERVATIVO
Hˆ n  E n n
E  Hˆ
d
ii
 |  (t )  Hˆ |  (t ) 
dt
Los vectores propios y los valores
propios de la energía no dependen del
tiempo. En este caso, los vectores
propios del hamiltoniano se
denominan estados estacionarios.
dc n
i
 En cn
dt
 (t )   c n (t ) n
n
 (t )   c n (0)e
 iEn t

c n (t )  c n (0)e
n

iE n t

n
p ( E n , t )  c n ( 0) e
iE n t 2


 c n ( 0) e

iE n t

c  n ( 0) e

iE n t

| c n (0) | 2  p ( E n , t  0)
• En un sistema cuántico conservativo, las probabilidades asociadas a los valores que
se pueden obtener al medir la energía no dependen del tiempo.
• Por tanto, ni el valor medio ni la dispersión de la energía tampoco dependen del
tiempo.
• Si el sistema se encuentra inicialmente en un estado propio de la energía (estado
estacionario), sus propiedades físicas no cambiarán con el tiempo. Esto es debido a
que el estado en un instante cualquiera está relacionado con el estado inicial a través
de un factor de fase,
fase que no tiene relevancia física.
física En este caso,
caso las probabilidades de
los autovalores de cualquier observable, son independientes del tiempo.
 ( 0)  j
Aˆ  i  ai  i
 (t )  e
 iE j t

j
; ai  R
p (ak , t ) |  k  (t ) |2 | e
 iE j t

 k j |2 |  k j |2  p(ak , t  0)
El Principio
p de incertidumbre de Heisenberg
g
El conmutador de dos operadores se define como:
[ Aˆ , Bˆ ]  Aˆ Bˆ  Bˆ Aˆ
Los operadores conmutan cuando satisfacen la relación:
[ Aˆ , Bˆ ]  0  Aˆ Bˆ  Bˆ Aˆ
RELACIÓN
Ó DE INCERTIDUMBRE
Magnitudes A y B
Observables
A B 
Â
B
B̂
Estado del sistema

|  [ Aˆ , Bˆ ]  |
2
El producto de las desviaciones estándar asociadas a
la medidas de dos observables en un estado cuántico,
es mayor
y o igual
g
que
q el módulo del valor medio del
conmutador de ambos observables en dicho estado,
17
dividido por 2.
Magnitudes compatibles e incompatibles
Magnitudes A y B
Operadores
Â
B̂
B
Magnitudes Compatibles
Si se miden de forma consecutiva, y “simultáneamente”, primero A, B
después,
é y en tercer lugar A, el resultado de la primera medida coincidiráá con
el de la tercera medida.
Magnitudes Incompatibles
Si se miden de forma consecutiva, y “simultáneamente”, primero A, B
después y en tercer lugar A,
después,
A el resultado de la primera medida no coincidirá
coincidirá,
en general, con el de la tercera medida.
Teorema de compatibilidad

1.
2.
3.
Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
A y B son compatibles.
Los observables asociados a dichas magnitudes
conmutan.
t
Los observables asociados a dichas magnitudes
poseen una base común de vectores propios.
Para Magnitudes Incompatibles:
1.
A y B son incompatibles
2.
Los observables asociados a dichas magnitudes
no conmutan.
conmutan
3.
Los observables asociados a dichas magnitudes
no poseen una base común de vectores propios.
MAGNITUDES COMPATIBLES
Magnitudes A y B
Observables
Â
B̂
[ Aˆ , Bˆ ]  0  Aˆ Bˆ  Bˆ Aˆ
1) Se mide A: hay probabilidad no nula de
obtener a1 y de obtener a2. Supongamos
que se obtiene a2
2  2
Aˆ 1  a1 1
Aˆ  2  a2  2
Bˆ 1  b1 1
Bˆ  2  b2  2
| desp.   2   2
| antes 
2) Inmediatamente después se
mide B: se obtiene con certeza el
valor b2
3) Inmediatamente después se
mide de nuevo A: se obtiene con
certeza el valor a2
1   1
Si ell valor
l de
d la
l magnitud
it d A se puede
d predecir
d i con certeza,
t
también
t bié se puede
d
predecir con certeza el valor de la magnitud B.
Si se miden de forma consecutiva, y “simultáneamente”,
simultáneamente , primero A, B
después, y en tercer lugar A, el resultado de la primera medida coincidirá con
el de la tercera.
MAGNITUDES INCOMPATIBLES
[ Aˆ , Bˆ ]  0  Aˆ Bˆ  Bˆ Aˆ
2
2
Se hacen tres medidas
consecutivas y “simultáneas”:
2
2) Se mide B
2
3) Se mide A
1) Se mide A
| 
1
| ' 
1
1
1
Si el valor de una de las magnitudes se puede predecir con certeza, entonces
no se p
puede predecir
p
con certeza el valor de la otra magnitud.
g
Si se miden de forma consecutiva, y “simultáneamente”, primero A, B después, y
en tercer lugar A,
A el resultado de la primera medida,
medida en general,
general no coincidirá
con el de la tercera medida.