Interfaz entre dos medios

IMPEDANCIA DE ONDAS
Hasta ahora sólo vimos la definición de impedancia para las líneas de transmisión. Lo cierto es que
también se puede definir la impedancia para las demás ondas que conocemos. Es a través del cociente
entre dos ondas asociadas, en el caso de onda plana y progresiva:
Cuerda:
− τ~
Z = ~Y
v
Sonido en fluidos:
~
p
Z= ~
v
Sonido en sólidos:
− σ~
Z= ~
v
Electromagnética:
~
E
Z= ~
H
Líneas de transmisión:
~
V
Z= ~
I
Es fácil de recordar. Los términos de los cocientes son aquellos que intervienen en la ecuación de S,
pero formando un cociente en lugar de un producto.
Por ejemplo, para el sonido en fluidos, supongamos:
p = p MAX cos(kx − ω t ) ⇒ ~
p = p MAX e j ( kx −ωt )
de donde:
Φ = − K ad ∫ p dx = −
v=
K ad p MAX
sin(kx − ω t )
k
K p ω
∂Φ K ad p MAX ω
=
cos( kx − ωt ) ⇒ ~
v = ad MAX e j( kx −ωt )
∂t
k
k
Haciendo el cociente, nos queda, para la onda sonora en fluidos:
~
p
p MAX e j ( kx −ωt )
1
Z= ~ =
=
=
K ad p MAX ω j (kx −ωt ) K ad c
v
e
k
δ
K ad
Si el medio no presenta pérdidas de energía, como en este caso, Z es un número real. Entonces, Z
relaciona también a las funciones p(x,t) con v(x,t):
Z=
p(x, t )
v( x , t )
Mediante un procedimiento similar, puede hallarse la impedancia para las demás ondas. En resumen,
para medios sin pérdidas:
Cuerda:
Sonido en fluidos: Sonido en sólidos: Electromagnética:
Líneas de transmisión:
Z = Tµ
Z=
δ
K ad
Z = Eδ
Z=
µ
ε
Z=
L
C
Queda como conclusión que la impedancia depende del medio de propagación. A todo medio de
propagación se la puede asignar una impedancia.
ONDA ARMONICA QUE INCIDE SOBRE UNA INTERFAZ ENTRE DOS MEDIOS
Sea una interfaz entre dos medios
situada en x = x0 como en la figura.
Sea la onda incidente:
INTERFAZ
ONDA INCIDENTE
Φ INC = Φ 0 INC cos( k1 x − ω t + δ 0 )
ONDA TRANSMITIDA
Entonces,
siempre
la
onda
transmitida estará en fase con la
onda incidente, en x=x0 , para todo
valor de t. En este caso, resultará:
ONDA REFLEJADA
Medio #1 con Z=Z1
Medio #2 con Z=Z2
x
xo
Φ TR = Φ 0TR cos(k 2 x − ω t + δ 0 + k1 x 0 − k 2 x0 )
¿Por qué tuvimos que agregar el término (k1 x0 – k2 x0 ) en la fase de Φ T R?. Obsérvese que si
reemplazamos x por x0 , tanto en la fase de Φ INC como en la fase de Φ T R, la fase de ambas será la misma:
ϕ INC ( x 0 , t ) = ϕ TR ( x0 , t ) = k1 x 0 − ωt + δ 0
En cuanto a la onda reflejada, hay dos posibilidades:
a) Que la onda reflejada esté en fase con la onda incidente, en x=x0 , para todo valor de t. En este
caso, resultará:
Φ REF = Φ 0 REF cos(− k1 x − ωt + δ 0 + 2 k1 x 0 )
b) Que la onda reflejada esté en contrafase con la onda incidente, en x=x0 , para todo valor de t. En
este caso, resultará:
Φ REF = Φ 0 REF cos( − k 1 x − ω t + δ 0 + 2k 1 x 0 + π )
Dado que la onda reflejada avanza hacia (-x), debe cumplirse que sgn(x)=sgn(t), tal cual hemos escrito.
¿Cuándo se refleja en fase y cuándo en contrafase?. Depende de la relación entre las impedancias Z1 y
Z2 . Cuando Z2 >Z1 , el término que es numerador en la definición de Z se refleja en fase, mientras que el
término que es denominador se refleja en contrafase. Esto se resume en la siguiente tabla:
Cuerda
Z2 >Z1
Z1 >Z2
Sonido en
fluidos
Sonido en
sólidos
τy en fase p en fase σ en fase
v, Φ, en
v, Φ, en
v, Φ, en
contrafase
contrafase
contrafa se
v, Φ, en
v, Φ, en
v, Φ, en
fase
fase
fase
p en
τy en
σ en
contrafase contrafase contrafase
Onda
electromagnética
E en fase
H, B, en
contrafase
H, B, en fase
E en contrafase
Onda en
línea de
transmisión
V en fase
I en
contrafase
I en fase
V en
contrafase
Dado que deberemos resolver ejercicios sin la ayuda de la tabla, lo que usaremos es una regla
mnemotécnica que funciona casi siempre (siempre, en los casos que veremos nosotros): si la onda pasa
desde un medio “más liviano ” a uno “más pesado”, la onda reflejada de φ está en contrafase con la onda
incidente. Esto es así porque, al ser el segundo medio “pesado para mover”, la amplitud en x=x0 debe ser
pequeña. Por lo tanto, la onda reflejada, que se suma con la incidente, debe restarse a la incidente en
x=x0 .
¿Qué es un medio “más pesado” en cada caso?
Cuerda: el que posee más densidad lineal µ. Si µ2 >µ1 , la φ reflejada estará en contrafase.
Sonido: el que posee más densidad δ. Si δ 2 >δ1 , la φ reflejada estará en contrafase.
Electromagnética: el que posee más permitividad ε. Si ε 2 >ε1 , el E reflejado estará en contrafase.
Líneas: el que posee menos Z (menos Z = más corriente). Si Z2 <Z1 , el V reflejado estará en contrafase.