1 GDL

MECÀNICA II
PROBLEMES DE VIBRACIONS
REVISIÓ SET. 2012
2 de 28
1.- Anàlisi de senyals
1.1. Dibuixa l’espectre de freqüències ideal pel senyal:
f(t)=3*sin(2.π.2.t)+6.cos(2. π.4.t)+5
1.2. Es vol mesurar una senyal de vibració que es preveu que tindrà una amplitud de
l’ordre de 1 m/s2 amb un acceleròmetre de sensibilitat 1,028 V/(m/s2). L’equip
d’adquisició de dades permet escollir entre diferents rangs dinàmics d’entrada : ±0,316
V, ±1 V, ±3,16 V o ±10 V. Quin creus que és el més adequat? Digues perquè.
Rta: ±3,16 V
1.3. Es vol fer l’espectre freqüencial de les vibracions d’un motor, a tal efecte s’ha fixat
una freqüència de mostreig de 5kHz. S’intueix a priori que apareixerà un pic a 1000Hz
i un altre a 1005Hz i se’ls vol poder distingir clarament. Respon justificadament.
a) Quina serà la màxima freqüència per la qual s’obtindrà l’espectre?
b) Quin valor de block size escolliries si aquest ha de ser una potència de 2?
Rta: No es produeix aliasing si fmax≤ 1953.125 Hz
Agafant ∆f=5Hz obtenim N=210
1.4. Observa aquest senyal i digues quina freqüència de mostreig s’ha utilitzat per
obtenir-lo, explica com has deduït el valor.
Rta: fm=100 Hz
1.5. Si s’augmenta la freqüència de mostreig d’una mesura, s’obtindrà:
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més resolució
més mostres de la senyal per segon
menys mostres de la senyal per segon
una freqüència màxima més petita
1.6. En l’ espectre freqüencial d’una senyal no purament periòdica, es volen distingir
dos pics que estan molt propers, quina d’aquestes accions no ens ajudaria a
aconseguir-ho:
augmentar el blocksize alhora de fer l’anàlisi de Fourier
canviar la finestra a rectangular alhora de fer l’anàlisi de Fourier
tornar a mesurar utilitzant un sensor amb més sensibilitat
tornar a mesurar reduint la freqüència de mostreig
1.7. Sobre unes dades adquirides a una freqüència de mostreig de 50 kHz s’aplica
anàlisi de Fourier utilitzant un blocksize de 8192 mostres. Quina resolució freqüencial
s’obtindrà?
Rta: ∆f=6.1035 Hz
1.8. Si l’acceleròmetre de l’esquema següent està perfectament calibrat, calcula quin
serà el valor d’acceleració en dB que proporcionarà l’equip.
dB
0,1 m/s2
Rta: Prenent aref =10-6 m/s2 obtenim |Acceleració|dB = 20 dB
1.9. La sensibilitat d’un acceleròmetre és de 0,01 [v] / [m/s2], però per error se li ha
definit, a l’equip d’adquisició de dades, una sensibilitat de 0,0001 [v] / [m/s2]. En el
registre acceleració-temps procedent d’aquest acceleròmetre es veurà que la magnitud
de l’acceleració és:
4 de 28
100 cops major del que realment és
10 cops major del que realment és
10 cops menor del que realment és
100 cops menor del que realment és
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2.- Oscil.lacions lliures sense esmorteïment
2.1.- Un bidón de petróleo, parcialmente
lleno, flota en el mar. Suponiendo que el
bidón
flota
oscilando
verticalmente,
determínese la frecuencia del movimiento
oscilatorio. La densidad del agua del mar es
ρa
Sol.: f 
1
2
g
h  ho
2.2.- El sistema mecánico que se ilustra en la
figura P2.1 está constituido por dos poleas de masa despreciable, un muelle de
constante de recuperación k y una masa suspendida m. Determinar la frecuencia
natural del sistema cuando realiza pequeñas oscilaciones alrededor de la posición de
equilibrio estático. Los rozamientos son despreciables.
Sol.:  n  4
k
m
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2.3.- En la figura P3.1 se ilustra el denominado péndulo vertical. El dispositivo consiste
en una masa m fijada en el extremo de una barra vertical de masa despreciable. Dicha
barra vertical está articulada en el punto O, a una distancia c desde la masa m, a la
bancada fija. En el otro extremo de la barra vertical, a una distancia b del punto O,
están montados sendos resortes idénticos de constante de recuperación k cada uno
de ellos.
Determinar la frecuencia natural de vibración, para pequeñas amplitudes alrededor de
la posición de equilibrio.
Sol.: n 
2kb 2 g

mc 2 c
2.4.- Un vehículo de masa M está montado sobre una suspensión como la que se
ilustra en la figura P4.1. Las constantes de recuperación de los resortes son iguales y
de valor k. Determinar la frecuencia natural del movimiento de traslación vertical (en
este caso se puede suponer que el centro de la rueda permanece fijo)
Sol.:  n 
a
k
ab m
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2.5.- Un disco homogéneo de masa m y
radio r, está suspendido por medio de
tres hilos de igual longitud ℓ, distribuidos
uniformemente por la periferia del disco.
Se gira el disco, un ángulo pequeño
alrededor del eje vertical aa que pasa por
su centro, y se abandona éste al
movimiento libre. Determinar el periodo
del movimiento oscilatorio del disco.
Sol.: n 
2g
l
 
2l
g
2.6.- Supóngase una guía recta de lados
paralelos que gira, en un plano horizontal,
alrededor de su punto medio. Por el interior
de la guía puede deslizar un bloque de masa
m. Dicho bloque está unido, mediante un
resorte de constante de elasticidad k, al punto
medio de la guía. Llamando ro a la longitud
natural del resorte y suponiendo que la guía
gira con velocidad angular constante ω,
determinar la pulsación natural del sistema.
Sol.: n 
k
 2
m
2.7.- Determinar la pulsación natural de las
pequeñas oscilaciones del sistema que se ilustra en
la figura P7.1. El dispositivo consiste en un disco de
masa m que esta dispuesto sobre una correa sin que
se produzca deslizamiento entre la periferia del disco
y la propia correa. En la parte vertical derecha se ha
dispuesto un resorte de constante de recuperación k.
Sol.: n  2
2k
3m
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2.8.- Determinar la pulsación natural de las
pequeñas oscilaciones, alrededor de la
posición de equilibrio, del sistema mecánico
que se ilustra en la figura P8.1. El bloque es
de masa m, el cable es inextensible y las
poleas carecen de masa frente a la del bloque.
Sol.: n  2
k
m
2.10.- Determinar la pulsación natural de las pequeñas oscilaciones del péndulo que
se ilustra, constituido por una barra rígida de masa despreciable, una lenteja de masa
m y un resorte de constante de recuperación k.
Sol.: n 
g kh 2

l ml 2
2.11.- Determinar la frecuencia natural de
oscilación del líquido de un manómetro en
U. Plantear el problema por el método
energético y por el método vectorial (2ª
Ley de Newton). La columna líquida es de
una longitud total L.
Sol.: n 
2g
l
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2.12.- Una partícula esférica de masa m se encuentra apoyada en una superficie
horizontal lisa. El movimiento de la esfera está restringido por dos hilos de longitud ℓ1 y
ℓ2. Los hilos están unidos a la esfera por uno de sus extremos, y a sendas bancadas
fijas por el otro. Si se desplaza levemente la esfera de su posición de equilibrio en
sentido transversal a los hilos y se abandona, Determinar la frecuencia natural de las
pequeñas oscilaciones. En el equilibrio la tensión en los hilos es T.
Sol: n 
T 1 1
  
m  l1 l2 
2.14.- Las dos masas de la figura deslizan sobre superficies horizontales lisas. Los
muelles están siempre sometidos a tracción, las poleas son de masa despreciable
frente a la de los bloques y los cables son indeformables. Determínese la frecuencia
de oscilación del sistema.
Sol: n 
5k
4m1  m2
2.15. Determineu l’equació del moviment d’una massa m suspesa per un fil de massa
negligible.
g
Sol:     0
l
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2.16. El sistema de la figura está en
equilibrio en la posición que se muestra. Se
encuentra en el plano vertical y el disco
rueda sin deslizar. La masa de la barra OA
es despreciable, la barra AB y el disco son
homogéneos y de masa m cada uno de
ellos. El muelle tiene una rigidez conocida
k. Las barras tienen longitud  . Determinar
la frecuencia propia del sistema para
pequeñas oscilaciones alrededor de la
posición de equilibrio.
Sol:  
k
12 sin 2 
m 1  24 sin 2 
2.17. El dispositivo de la figura está situado en un plano vertical y se muestra en la
posición de equilibrio. La barra homogénea AB tiene longitud  y masa m. Su extremo
B está articulado a un collar que puede deslizar, sin rozamiento, por la guía vertical
BO. El otro extremo, A, está unido por un pasador al centro de un disco homogéneo,
de masa m y radio r, que rueda sin deslizar. El resorte OB tiene una rigidez k
conocida. Determinar la frecuencia propia del sistema para pequeñas oscilaciones
alrededor de la posición de equilibrio
Sol:  
k
m
sin 2 
4 1
 cos 2 
3 2
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2.18. El dispositivo de la figura se muestra en su posición de equilibrio. Consta de un
disco 1 que rueda sin deslizar en el punto C.
En el centro del disco se ha dispuesto un
resorte de constante k. En este mismo
punto, el disco está unido por medio de una
articulación de pasador a la barra 2, cuyo
extremo opuesto desliza, sin rozamiento, por

el interior de una guía vertical. El sólido 4 se
cuelga del extremo B de la barra 2 mediante

un cable inextensible que pasa por una
polea fija 3. Tanto el disco como la polea
tienen radio r, la barra tiene longitud  . Los
cuatro sólidos tienen masa m cada uno de
ellos. Determinar la freqüència natural del
sistema
Sol:
kl 2 cos 2 
 
;
I eq
2
n
I eq  I c
l2
ml 2
l2
2
sin



I

I
cos 2   ml 2 cos 2 
G
2
r2
4
r
E
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Oscil.lacions lliures amb esmorteïment
3.1.- El sistema mostrado consta de una
varilla de masa despreciable y longitud b,
articulada en O a la bancada. En la varilla
se fija una masa puntual, m, y un
amortiguador viscoso, de constante c, a
una distancia a de la articulación. En el
extremo de la varilla se instala un resorte
lineal de constante de recuperación k .
Determinar la frecuencia de oscilación
amortiguada y el amortiguamiento crítico
del sistema.
Sol.: n 
b k
a m

kb 2  c 


ma 2  2m 
2
cc  2
b
km
a
3.2.- Supóngase un sistema mecánico de masa m y cuya rigidez equivalentes es k. Si
se comprueba experimentalmente que la amplitud de las oscilaciones se reduce a la
mitad al cabo de t segundos, determínese el factor de amortiguamiento del sistema.
Sol.:  
ln 2 m

t
k
3.4.- Determinar la pulsación natural y el
factor de amortiguamiento del dispositivo
que se ilustra en la figura P4.1. La barra
vertical es de masa despreciable (se
propone como coordenada independiente
el ángulo θ girado por el brazo vertical,
entorno del punto O).
Sol.:  
cl3
2
2 ( kl2  mgl1 )ml12
2
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3.5.- Un bloque de 5 kg se encuentra en reposo en un plano inclinado sin rozamiento,
tal como se ilustra en la figura P5.1. En un instante determinado se desplaza el bloque
50 mm hacia arriba, desde la posición de equilibrio, y se suelta con una velocidad
hacia debajo de 1,25 m/s. Se conoce la constante de rigidez de los muelles (k = 2000
N/m) y también la de amortiguamiento (c = 24.88 Ns/m). En estas condiciones
determinar:
a) El período del movimiento amortiguado.
b) La ecuación que describe la posición del bloque en función del tiempo.
c) El tiempo transcurrido hasta que la amplitud se reduce a un 1% del valor inicial.
Sol.: a) T 
2
n
siendo n 

b) x( t )   X 0 cos d t  

c) t  0,92 s
2k
m

sen d t  e -nt
d

X0
3.6.- En el dispositivo que se ilustra
en la figura P6.1, determinar el
factor de amortiguamiento del
sistema y el valor que debe darse a
la distancia a para que el
amortiguamiento sea crítico. Todos
los contactos son lisos y los valores
numéricos de los parámetros del
sistema son:
m1 = 10 kg , m2 = 15kg
c = 600 Ns/m
k = 2 kN/m
a = 0,1 m , b = 0,2 m
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cb 2
Sol.:  
2(m1a 2  m2b 2 )n
a  0,188m
3.7.-Un niño de 30 kg. de peso oscila, arriba y abajo,
en un columpio elástico. Se observa que la amplitud
de oscilación disminuye en un 3% al cabo de 6,5
segundos. Durante este intervalo de tiempo se han
contado cinco oscilaciones completas. Determínese
el coeficiente de amortiguación y la constante
recuperadora de los resortes.
Sol.:   9.69 10 4
k  350.41 N
m
3.10.- En el mecanismo plano que
se ilustra, el casquillo C está
articulado a la bancada en el punto
P. El movimiento de rotación del
casquillo comprime un muelle plano
dispuesto entorno al punto P. La
constante de recuperación del
resorte es 2 Nm/rad. Por el interior
del casquillo se introduce una barra
AGB rígida, uniforme, de masa 2,4
kg y de longitud 0,5 m. Dicha barra se fija al casquillo en una posición en la que el
centro de masas G se halla a una distancia x del punto de articulación P. En el punto
G de la barra se instala un amortiguador viscoso de coeficiente c=27 N/(m/s), el
amortiguador apoya su otro extremo en la bancada justo en la vertical del punto G.
El mecanismo queda en equilibrio estático de manera que el muelle se comprime lo
necesario para que la barra quede en posición horizontal. Suponiendo pequeñas
oscilaciones de la barra alrededor de su posición de equilibrio, determinar:

El periodo y el decremento logarítmico de las oscilaciones amortiguadas,
sabiendo que x=0,12 m.
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
Valor que debería adoptar x para que el movimiento fuera críticamente
amortiguado.
Sol: el valor de x para que el movimiento sea críticamente amortiguado sale de
resolver la ecuación de cuarto grado siguiente: x 4 
4km 2 4k
x  2 I G  0 . Sustituyendo
c2
c
los valores del enunciado se halla que x= 0.13 m.
3.12.- Escribir la ecuación diferencial del
movimiento del sistema que se ilustra,
constituido por una varilla, de masa
despreciable y longitud b, articulada en O
a la bancada. En la varilla se fija un
resorte
lineal
de
constante
de
recuperación k y un amortiguador viscoso,
de constante c, a una distancia a de la
articulación. En el extremo de la varilla se
instala una masa puntual, m. Determinar
la frecuencia de oscilación amortiguada y
el amortiguamiento crítico del sistema.
Sol:
 ca 2    ka 2 


   2    2   0
 mb   mb 

c
a2
2 mkb 2
cc  2
mb 2 k
a2
3.13.- Una barra esbelta y uniforme de
masa 3kg y longitud 0,15 m, está en
equilibrio en la posición horizontal que se
representa. Cuando se desplaza levemente
de la posición de equilibrio y se abandona a
su movimiento libre, se observa que la
amplitud de cada oscilación es un 90% de
la amplitud del pico anterior. Si la constante
de recuperación del resorte es 400 N/m
determinar:

El valor del coeficiente de amortiguamiento
16 de 28

El periodo del movimiento amortiguado resultante.
Sol:   0.0167
T  0.36275s
3.14. Determinar les constants de la sol.lució a un sistema massa molla amb
condicions d’esmorteïment sobrecrític. Les condicions inicials són:
x(0)  x0
x (0)  x 0
Proposeu unes condicions inicials que donin un moviment d’aquest tipus:
q(m)
t(s)
X o
Xo
1

(Xo 
)
2
2
n   1
 2 1
Sol:
X o
Xo
1

A2  ( X o 
)
2
n  2  1
 2 1
A1 
3.15. Determinar les constants de la sol.lució a un sistema massa molla amb
condicions d’esmorteïment crític. Les condicions inicials són:
x(0)  x0
x (0)  x 0
Sol:
A1  X o
A2  X o  X on
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4.- Vibracions Forçades
4.0- Un parachoques hidráulico consta de dos
unidades, cada una de las cuales dispone de un
resorte
(K=3·10
amortiguador
4
N/m)
viscoso
en
paralelo
(C=1,2·10
5
con
un
Ns/m).
El
parachoques, en reposo, se halla precomprimido
una distancia de 0,3 m. Si un tren de 100 T, que se
está moviendo a 2 m/s, choca con el dispositivo, sin
que se produzca rebote, determínese la distancia
que se moverá el tren hasta detenerse.
Sol: x=0,641 m;
4.02.- Un bloque de masa m se encuentra en
reposo suspendido de un resorte de constante de
recuperación k. Desde una altura h cae sobre el
bloque una pequeña esfera de masa me. El
choque es perfectamente elástico (se conserva la
energía cinética y la cantidad de movimiento).
Determinar la posición del bloque en función del
tiempo.
Sol: y( t ) 
2me
2 gh
me  m
m
sen nt
k
4.1.- Se utiliza un sistema de masas
excéntricas con objeto de provocar
oscilaciones forzadas en una masa sísmica.
Variando la velocidad de giro del sistema, se
llega a obtener que, a la frecuencia de
resonancia, la amplitud del movimiento es de
xR=15,24 cm. Cuando la velocidad de giro
aumenta de forma considerable, la amplitud es de 0,2032 cm. Determinar el factor de
amortiguamiento del sistema (asumiendo que la frecuencia de resonancia es la misma
que la frecuencia natural del sistema). Determinar también la verdadera relación de la
frecuencia de resonancia (máxima amplitud del movimiento) con la frecuencia natural.
Sol.:   6,6  10 3 ; r 
n
1  2 2
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4.2.- Una estructura vertical soporta un ventilador
centrífugo. Cuando gira a 400 rpm, se observa una
amplitud máxima horizontal de 4,5 mm. Cuando la
velocidad de giro es de 500 rpm la amplitud pasa a
ser de 10 mm. En el paso de 400 a 500 rpm no se
observan condiciones de resonancia. Para disminuir
esta vibración se propone colocar un bloque de
hormigón que doble la masa del sistema.
Determínese, en estas nuevas condiciones, la
amplitud del movimiento a 400 y 500 rpm.
Considérese
que
el
amortiguamiento
es
despreciable.
Sol: x(400 rpm)=9,55mm
4.3.- Dos discos de masa despreciable y radio r se lastran con una masa mo cada uno.
En una primera experiencia se conectan mediante una barra de masa 4mo. Hallar el
período de las pequeñas oscilaciones entorno de θ=0.
En otra experiencia, se montan como se
indica en la figura P8 y se hacen girar en
sentido contrario, una de otra, con una
velocidad angular de 900 rpm. Los valores
de los parámetros conocidos son: r=10 cm,
mo=900g y la masa total del dispositivo que
es de 180 kg. Cuando el dispositivo está en
funcionamiento se observan oscilaciones
verticales de 20 mm de amplitud. Cuando
las masas mo ocupan la posición más alta el
sistema pasa por su posición de equilibrio
estático.
Determínese la frecuencia natural del
sistema, su factor de amortiguamiento y,
para una velocidad de giro de 1200 rpm, la amplitud.

n    900 rpm
3r
; Sol:   0 ,1
Sol: T  2
g
x  1.7  10 2 m
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4.4.- Un elemento de máquina, que pesa 2 kg, realiza un movimiento vibratorio en el
seno de un medio viscoso. Determínese el coeficiente de amortiguamiento del medio
si se sabe que cuando se aplica una excitación armónica de valor máximo 2,5 N, la
amplitud de resonancia es de 12 mm y el período de 0,2 s. Encontrar asimismo cuál
seria la amplificación que se presentaría si la fuerza de excitación tuviera un
frecuencia de 4 Hz.
Sol.:   0.05277
x
 2,7
xo
4.5.- Un bloque esta montado sobre un resorte lineal de constante k=500 N/m y un
amortiguador viscoso. Cuando se desplaza de la posición de equilibrio y se deja
oscilar libremente se puede determinar que el período de oscilación es de 1,8 s y la
relación entre dos amplitudes sucesivas es de 4,2:1. Determínese la amplitud de
vibración del bloque cuando el sistema se somete a una oscilación forzada F=9cos3t.
Sol.: x  0,0376m
4.6. Supóngase un sistema mecánico tal como
el que se ilustra en la figura. El sistema está
constituido por un cilindro de diámetro d (15
cm.), en cuyo interior puede moverse un
émbolo de masa m (704 gr). Dicho émbolo
actúa sobre un resorte de constante de
recuperación k (250N/m). Uno de los lados del
cilindro está sometido a una presión que varia
periódicamente con el tiempo, de modo que la
función P(t) es triangular de período T (1 s) y
valor máximo P0 (7kg/cm2), tal como se ilustra
en la gráfica. El amortiguamiento reducido del
sistema es ζ=0,05. Determínese la amplitud
de las vibraciones del émbolo (de
desplazamiento y aceleración). ¿Cómo se
podría mejorar el diseño del sistema con el fin de reducir la amplitud de las vibraciones
del mismo?
Sol:
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x( t )  x0  x1 cos( t  1 )  x3 cos( 3t   3 )  x5 cos( 5t   5 )  ...
  2
x0  24 ,7  10 3
x1  27 ,5  10 3 1  0,075
x3  11,1  10 3  3  1,56
x5  0,44  10 3  5  0,185
4.7. Se desea instalar una máquina rotativa de peso 500 kg y que gira a 1500 rpm. Se
decide utilizar apoyos elásticos cuya constante lineal equivalente es de 10750 N/cm.
Sabiendo que la fuerza centrifuga de excitación es de Fc =5.w2 (N), determinar la
fuerza y la amplitud de oscilación que se transmitirán a la bancada, en caso de que el
amortiguamiento sea
a) Sin amortiguamiento.
b) Con un factor de amortiguamiento de 0,07
c) Con un factor de amortiguamiento de 0,4
Sol:
a) FT  11,7 kN
b) FT  13 kN
Q 0  0,0109 m
Q 0  0,0109 m
c) FT  32,9 kN
Q 0  0,0106 m
4.8. El rodete de un ventilador centrifugo pesa 50 kg y gira a 1000 rpm. El
amortiguamiento viscoso equivalente del sistema tiene un factor de amortiguamiento
de ζ=0,4. Si la transmisión máxima aceptable, a la bancada, es del 10% de la fuerza,
¿cuál debe ser la rigidez del resorte lineal equivalente que se emplee?.
Sol: k  8202 N / m
4.9. En una furgoneta-laboratorio se instala un equipo de medida delicado. El
dispositivo se monta sobre aisladores de bajo amortiguamiento, los aisladores se
deforman 0,3 cm bajo un peso de 25 kg. La frecuencia de vibración del vehiculo es de
2000 rpm. ¿Cuál es el porcentaje de movimiento transmitido al instrumento?
Sol: 8%
T
 0,08
4.10. Una máquina, que trabaja 2400 rpm, está montada sobre un bloque de inercia. El
sistema total pesa 907 N y se reparte de manera uniforme. Se desea seleccionar
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cuatro resortes iguales sobre los que sustentar la masa sísmica para que exista un
aislamiento del 90%.
Sol: 1,33*10-5 N/m
4.11. Un motor que gira a 1200 rpm arrastra un ventilador que gira a 600 rpm. Ambos
elementos están montados en una base común. La carga está distribuida de modo que
el peso por apoyo es:
- Los dos apoyos bajo el motor a 181,4 N (cada uno)
- Los dos apoyos bajo el ventilador a 90,7 N (cada uno)
Se trata de determinar el conjunto de cuatro resortes que permitirán conseguir un 85%
de aislamiento, con un factor de amortiguamiento estimado de 0.1.
Sol: k1  8.7 kN m ; k 2  4.35 kN m
4.12. Una máquina grande se instala
sobre una base de hormigón. La
menor de las frecuencias de
excitación es de 60 Hz. Suponiendo
que la máxima presión de carga que
puede resistir el soporte es de 7.104
Pa. La gráfica adjunta muestra la
relación entre frecuencia natural y
carga para tres materiales diferentes
Determínese el material más
apropiado para conseguir un
aislamiento mínimo de (alrededor
de) un 80 %. El factor de amortiguamiento es de 0,05.
Sol: f n  24,2 Hz . Los modelos A y B cumplen; C no.
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4.13.- La bancada de una prensa de gravedad
tiene una masa M=2000 kg, presenta una rigidez
equivalente de 9,8 MN/m y un amortiguamiento
viscoso de constante c=28 kNs/m. El punzón, de
una masa m=500 kg cae desde una altura de 1,2 m
y el coeficiente de restitución del choque es de
0,35.
Determinar:
a) La velocidad de la bancada tras el impacto.
b) Amplitud máxima del movimiento de la
bancada.
c) Fuerza dinámica máxima transmitida a la estructura
Nota: El coeficiente de restitución del choque se define como : C r  
Siendo a: antes del impacto y d después del impacto.
Sol.:
vMd  1.35m / s
x  19.4 mm
4.14. Un primer modelo de suspensión de un
vehículo consiste en intercalar un resorte de
constante k entre la masa del chasis y la
rueda. Determínese el desplazamiento del
chasis y la velocidad más desfavorable.
Solución:
X
v
YkL2
kL2  4v 2 m
L
2
k
m
vMd  vmd
vMa  vma
23 de 28
4.15. El dispositivo de la figura está en
equilibrio en la posición indicada. El bloque,
de masa m, esta suspendido de un disco
cuyo momento de inercia respecto del centro
O es I.
a) Pulsación de las pequeñas oscilaciones
del sistema si no hay amortiguamiento.
b) Factor de amortiguamiento
c) Amplitud θ de las oscilaciones forzadas del
dispositivo si el soporte efectúa oscilaciones
dadas por y=Yocosωt. (OA =r, OB=b
AÔB=90º)
Solución:
a)  n 
b)  
c)  
kr 2
I  mr 2
cb 2

2 kr 2 I  mr 2
kr

cb
2
 ( I  mr 2 ) 2
  cb  
2
2
2 2
4.16.- La figura ilustra una puerta de
seguridad, de masa 200kg, que puede
moverse por unas guías verticales. En
una situación de emergencia el
pasador libera la puerta que cae
libremente una altura de 0,35 m hasta
adherirse
a
un
dispositivo
amortiguador constituido por sendos
conjuntos de muelle (K=3,6 kN/m) y
amortiguador
(C=1,2
kN/(m/s).
Determinar el tiempo que transcurrirá
desde que el pasador abandona la
puerta hasta que ésta queda cerrada y determinar también la máxima compresión del
sistema de amortiguamiento.
Sol:
t1 s
6
x  0.1606 m
24 de 28
4.17. Es disposa d’un equip que genera vibracions a 200 Hz. La seva massa és de 200
kg i es coneix que la força de desequilibri és de 200 N. Es pretén reduir la transmissió
de vibracions al forjat i, de forma temptativa, es decideix un objectiu de coeficient de
transmissibilitat de 0.1. S’assumeix que el factor d’esmorteïment és de l’ordre de 0.1.
Es suposa que el centre de masses de l’equip està raonablement centrat respecte als
quatre recolzaments
a) Determineu la rigidesa equivalent (conjunta) dels aïlladors. Re: 23687018 N/m.
b) Determineu, sota aquestes condicions, quina és la amplitud de vibració de
l’equip (en m/s2 i el seu valor corresponent en dB (nivell d’acceleració). Sol:
6.5·10-7 m/s2; 117 dB.
c) Determineu el coeficient d’esmorteïment (c) del sistema assumint que el factor
d’esmorteïment és de l’ordre de 0.1. Sol: 13765 Ns/m.
d) Rigidesa de cada aïllador. Sol: 23687018/4.
Com que el nivell de vibració de la màquina resulta inacceptablement alt, es decideix
muntar l’equip sobre una bancada de formigó de 400 kg, mantenint els mateixos
aïlladors.
e) Determineu el nou coeficient de transmissió. Sol: 0.03.
f) Determineu el nivell d’acceleració de l’equip. Sol: 107 dB.
4.18. Es disposa d’una biga que suporta un motor de freqüència de gir variable i que
genera vibració sobre la mateixa biga. Amb la finalitat de determinar la freqüència de
ressonància de la biga, s’utilitza una bola que es deixa lliurament sobre sobre la viga.
S’observa que la bola perd contacte amb la biga entre 600 i 1200 rpm. Quina és la
freqüència natural de la biga (suposant esmorteïment nul)?
Sol: 68.15 rad/s; 651 rpm.
25 de 28
4.19. (Ignoreu-lo si no s’ha fet a classe) Se
desea instalar un ascensor eléctrico, con el
motor en la sala de máquinas superior y
capacidad
para
6
personas.
Las
características de la instalación son: a. Peso
del
conjunto
cabina,
contrapeso
y
ocupantes:1800 kg. b. Peso del motor: 300
kg • Velocidad angular del motor: • 375 rpm
(arranque) y 1500 rpm (funcionamiento).
Recciones dinámicas en los apoyos: 1050
kg/soporte. Escoger uno de los aislantes
sugeridos.
26 de 28
5.- 2 gdl
5.0. Una aproximación más exacta al modelo
de suspensión del problema 4.14 incluye un
amortiguador viscoso entre la dicha masa y el
centro de la rueda, así como la elasticidad de
los neumáticos k1, y la masa m1 de la rueda,
formando un sistema de 2 gdl. Suponiendo
una trayectoria rugosa de carácter sinusoidal,
de longitud de onda L, que es recorrida a una
velocidad v. Determínese la relación
(compleja) entre la amplitud del movimiento
del chasis y la amplitud de la rugosidad Y.
Solución:
X 
  jc  k k1
Y
2
  m  jc  k   2 m1  jc  k  k1   jc  k 


2

5.1. Determineu les pulsacions naturals del doble pèndul de la
figura. Suposeu les masses concentrades en les boles
indicades.
Sol: 1 
3
4
g
L
2  1,86
g
rad / s
L
5.2. Determineu les pulsacions naturals del
sistema indicat. Suposi’s que la longitud
natural de la molla és zero.
27 de 28
2
Sol:
mg k 1  2mg
 4mgk
 
k 
1 

l
2 2  l
l

2
mg k 1  2mg
 4mgk
2 
 
k 

l
2 2  l
l

5.3. La figura muestra la disposición de las constantes elásticas k1 y k2 equivalentes a
la rigidez de los trenes de aterrizaje del avión considerado, de masa m y momento de
inercia J0 alrededor de su centroide. Considerando l1=l, l2=2l, k1=k, k2=5k, obtener las
frecuencias naturales y la forma de los modos de vibración para un modelo de 2
grados de libertad.
C.G.
k2
k1
l1
l2


k
150  21m  (150  21m) 2  100  45  m 2
50m 2
Sol:
k
2 
150  21m  (150  21m) 2  100  45  m 2
2
50m
1 


5.4. El perfil representado en la figura, de masa m, está suspendido de un muelle de
rigidez lineal k y rigidez torsional kt, en el interior de un túnel de viento. El centro de
gravedad está situado a una distancia e del punto O. El momento de inercia del perfil
alrededor del eje que pasa por O es J0. Obtener las frecuencias naturales del perfil.
k
kt
O
C.G.
e




Sol: Ambas frecuencias se obtienen de  4 J o m  m 2 e 2   2 k1m  kJ o  kme 2  kk1  0
28 de 28
5.6. Un absorbidor de vibracions és un sistema massa molla que s’implanta en un sòlid
sotmès a una força que varia a una freqüència . Determinar la k de l’absorbidor de
massa m que s’aplica a la bancada que es mostra a la figura. Interpreteu el resultat.
Sol:
k  m 2
5.7. Determinar les pulsacions naturals del
sistema que es mostra a la figura. La deformació
inicial del sistema és x0.
Resposta:
Després de linealitzar les equacions, resulta en
un sistema desacoblat, amb les equacions del
moviment corresponents:
mx02  mgx0
mx  cx  kx  0
