EJERCICIOS DE CARÁCTER ECONÓMICO DE DERIVADAS

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 7. Funciones reales de variable real
Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal
EJERCICIOS DE CARÁCTER ECONÓMICO DE DERIVADAS
1. Sea la función de demanda general de un bien A, qa =
y − 9 pa + 5pb + 3pc
, siendo y renta, pa el
5pa
precio del bien A, pb y pc los precios de otros bienes.
2. Sabiendo que inicialmente y = 186, pa =9, pb =6 y pc =15.
a) Determinar la cantidad de ese bien que inicialmente se demanda.
b) Obtener la expresión de su demanda directa y calcular su elasticidad.
c) Calcular la elasticidad-renta del bien A e interpretar el resultado.
Solución
a) Sustituyendo los valores iniciales en la función demanda queda
qa =
186 − 9.9 + 5.6 + 3.15 186 − 81 + 30 + 45
=
=4
5.9
45
b) Hay que encontrar la función que nos da el valor de la demanda de A en función de su precio,
qa = f( pa ). Sustituyendo en qa las condiciones iniciales de y, pb y pc , se tiene:
qa =
186 − 9 pa + 30 + 45 261 − 9 pa
=
5pa
5pa
dqa
dpa
p dqa
=− a
La elasticidad viene dada por la expresión e = −
.
qa
qa dpa
pa
Derivando la función qa =
obtiene e = −
261 − 9 pa
dqa
−261
queda
==
y sustituyendo en la definición de e se
5pa
dpa
5pa2
pa
−261
261
=
.
2
261 − 9 pa 5p
261 − 9 pa
a
5pa
c) Hay que encontrar la función que nos da el valor de la demanda de A en función de la renta y,
qa = f(y). Sustituyendo en qa las condiciones iniciales de pa , pb y pc , se tiene:
qa =
y − 81 + 30 + 45 y − 6
=
45
45
dqa
y dqa
dy
=−
La elasticidad-renta viene dada por la expresión E = −
.
qa
qa dy
y
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CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 7. Funciones reales de variable real
Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal
Como la derivada de qa =
dqa
y −6
1
y dqa
y
y
1
es
se tiene que E = −
.
=
.
=
=
6
y
−
dy
45 y − 6
45
45
qa dy
45
2. En una empresa el coste total de producir q unidades viene dado por la función:
C (q) =
1 3
q − 12q2 + 150q + 2304 .
3
a) Obtener la función de coste marginal y la de coste total medio.
b) Determinar el coste marginal y el coste medio cuando la producción es de 3 y de 6 unidades.
Solución
a) Derivando C (q) nos da la función de coste marginal CMa (q) = C ′(q) = q2 − 24q + 150 .
Dividiendo C (q) por q se obtiene la función de coste total medio:
CMe (q) =
1 2
2304
q − 12q + 150 +
3
q
b) Sustituyendo en las funciones del apartado anterior q = 3 se tiene: CMa (3) = 87 y CMe (3) = 885 ,
y sustituyendo por q = 6 queda: CMa (6) = 42 y CMe (3) = 474 .
3. La función de ingresos de una empresa es, I(q) = −
función de coste total es C (q) =
2
102
6
6
10
q3 +
18
3
10
q2 − 2q + 100 , con q > 100, y la
2
q − 24q + 11000 , siendo q el número de unidades vendidas.
Hallar el ingreso marginal y el coste marginal.
Solución
El ingreso marginal IMa (q) se obtiene derivando la función ingreso total quedando:
IMa (q) = I ′(q) = −
18
6
10
q2 +
36
103
q−2
El coste marginal CMa (q) se obtiene derivando la función coste total quedando:
CMa (q) = C ′(q) =
4
2
10
q − 24 =
1
q − 24
25
4. Las funciones de oferta y demanda de un bien en un mercado competitivo son:
q s ( p) =
10 p − 20
4
y
qd ( p) =
450 − p
6
a) Obtener la expresión de la elasticidad de la demanda.
b) Hallar el precio de equilibrio del mercado.
Solución
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a) Teniendo en cuenta que
−1
dqd
=
, la elasticidad de la demanda es:
dp
6
e=−
p dqd
p
p
−1
.
=−
=
d dp
450
p
−
6
450 − p
q
6
b) Para calcular el precio de equilibrio se igualan la oferta y la demanda, q s ( p) = qd ( p) , y se
resuelve la ecuación obtenida:
450 − p
10 p − 20
=
⇔ 60 p − 120 = 1800 − 4 p
6
4
⇔
64 p = 1920
⇔
p=
1920
= 30
64
Por tanto, el precio de equilibrio del mercado es 30.
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