Para valores de tiempo en

Un objeto se desplaza en una dimensión con una función de posición con respecto al tiempo dada
por:
Para valores de tiempo entre 0 y 5/2.
a) ¿Cuántas veces el objeto da la vuelta?
Para encontrar el número de vueltas es necesario conocer los puntos estacionarios. Para ello
primero encontramos la derivada:
La igualamos a cero y encontramos las raíces:
Sus soluciones son:
La primera de estas raíces es negativa, por lo que se descarta al estar fuera del rango de
movimiento. Lo que significa que el móvil da 2 vueltas durante su recorrido.
b) ¿Cuál es la distancia más corta al origen que alcanza?
Para conocer la respuesta a esta pregunta es necesario encontrar el valor de la posición
tanto en los puntos estacionarios como en los extremos para poder comparar.
En los puntos estacionarios tenemos:
Mientras que en los extremos:
De comparar estos puntos podemos notar que el objeto de hecho pasa por el origen en
t = ½, por lo que la distancia más corta que alcanza es 0.
c) ¿Cuál es la distancia máxima que alcanza antes de dar la vuelta?
Analizando los datos que hemos calculado podemos inferir lo siguiente sobre el móvil:
Comenzó a moverse en x = −3/16 acercándose hasta que en t = ½ alcanzó el punto de
observación. Entonces dio la vuelta para alejarse hasta que en t = ½ +1/√2 llega a x = −1/4
y gira para acercarse al observador, alcanzarlo y seguir su camino hasta terminar en x = 12.
De esta forma podemos deducir que la única vuelta que dio para regresar fue en
t = ½ +1/√2 por lo que la distancia que alcanzó fue de ¼.
d) ¿Cuál es la mayor distancia a la que se encuentra del origen y a qué tiempo?
Del análisis anterior podemos notar que después de su regreso al seguirse de largo alcanza
la mayor distancia al final del recorrido, es decir llega a x = 12 en t = 5/2.
e) ¿Cuál es la rapidez máxima que alcanza?
Para esta pregunta es necesario conocer los puntos estacionarios de la velocidad así como
sus valores en los extremos.
Para los puntos estacionarios, primero se deriva la velocidad de modo que:
Y se iguala a cero para encontrar las raíces, es decir:
Sus raíces son:
Y la velocidad en estos puntos es:
En los extremos los valores de la velocidad son:
Al comparar estos valores podemos notar que el móvil alcanza la mayor velocidad cuando
se aleja hasta el final de su recorrido, por lo tanto la rapidez máxima que alcanza es de 28
en un tiempo de 5/2.
Las gráficas correspondientes al movimiento descrito son:
Posición
Velocidad
10
25
8
20
6
15
v
30
x
12
4
10
2
5
0
0
-2
0
0.5
1
1.5
t
2
2.5
-5
0
0.5
1
1.5
t
2
2.5