soluciones - Gobierno de Canarias

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
L.O.E.
CURSO 2013 - 2014
CONVOCATORIA:
MATERIA: MATEMATICAS APLICADAS A LAS CC. SS.
- Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B).
- Cada una de las preguntas tiene una puntuación máxima de 2.5 puntos.
PRUEBA A
1. En una asesoría fiscal se ha contratado a tres personas para hacer declaraciones de la renta. La primera de ellas
se encarga de efectuar el 30% de las declaraciones, la segunda el 45% y la tercera el resto. Se ha comprobado
que, de las declaraciones realizadas por la primera persona, el 1% son erróneas. La segunda comete errores en el
3% de los casos y la tercera en el 2% de los casos.
Para declaraciones realizadas en dicha asesoría:
a) Calcular la probabilidad de que una declaración elegida al azar sea errónea.
b) Si se elige al azar una declaración correcta ¿cuál es la probabilidad de que la haya realizado la segunda
persona?
SOLUCIÓN
( ) = 0,3, ( ) = 0,45, ( ) = 0,25. ( / ) = 0,01, ( / ) = 0,03, ( / ) = 0,02.
a)
( ) = ( / ) ( ) + ( / ) ( ) + ( / ) ( ) = 0,0215 (
) = 0,9785
b)
( /
(
)=
/ ) ( ) 0,4365
=
= 0,446090956 ( )
0,9785
2. Se sabe que cada familia tira a la basura una media de 40 kg. de plástico al año, con una desviación típica de
5,8 kg. Después de una campaña para intentar que se tire ese plástico en el contenedor amarillo de “Reciclables”,
se toma una muestra de 81 familias y se observa que la media muestral de kilos de plástico depositados en dicho
contenedor es de 38,6
a) Con una significación del 5%, ¿se puede rechazar la hipótesis de que familias no han modificado sus
hábitos y el peso del plástico que se tira a la basura no ha disminuido?
b) ¿Cuál es la conclusión si se toma un nivel de significación del 1%?
SOLUCIÓN
a) Contraste:
: ≥
: <
= 1,645, = 81, = 5,8
= 0,05,
Región crítica (región de rechazo):
̅<
Sustituyendo,
−
√
= 40 − 1,645
= 40
−
,
ó =
√
√
= 38,93988889
Como ̅ = 38,6 < 38,93988889, se rechaza
̅−
.
<−
Otra forma:
Sustituyendo,
Como −
=
̅
=
√
,
= −2,1724
, /
= −1,645 > −2,1724, se rechaza
b) = 0,01,
= 2,33,
Región crítica:
= 81,
= 5,8
̅<
Sustituyendo,
−
√
.
−
= 40 − 2,33
,
√
<−
√
= 38,49844444
Como ̅ = 38,6 ≥ 38,93988889, no se rechaza
Otra forma:
Como ahora −
̅−
ó =
.
= −2,33 ≤ −2,1724, no se rechaza
.
3. La profundidad de la capa de arena en una playa se verá afectada por la construcción de un dique. En una zona
de la playa, esa profundidad vendrá dada por la siguiente función:
2+√
0 ≤ ≤ 1
( )= 8 −2
> 1
2
P es la profundidad en metros y t el tiempo en años desde el inicio de la construcción. Si la profundidad llegara a
superar los 4 metros, se debería elevar la altura del paseo marítimo.
a) ¿Es continua esta función? ¿Es siempre creciente? Justificar la respuesta.
b) ¿Cuál será la profundidad de la capa de arena al pasar 2 años desde el inicio de la construcción?
c) ¿Será necesario elevar la altura del paseo con el paso del tiempo, por causa de la profundidad de la arena?
Justificar la respuesta.
SOLUCIÓN
a) Esta función es continua en 0, ∞ ya que lim
La derivada es:
→
( ) = lim
1
′( ) = 2√
1
→
( ) = 3 = (1).
0 < < 1
> 1
Por tanto, aunque la función no es derivable en 1, su derivada siempre es positiva y, por ello, es creciente en
(0,1) y en (1, ∞).
) (2) = 3,5 metros.
c) Como ( ) es creciente y lim
→
( ) = 4, no hará falta elevar la altura del paseo.
4. Una agencia de viajes ha vendido un total de 128 cruceros de los tipos Alegría, Belleza y Concordia, cuyos
precios por persona son 1500, 600 y 900 euros, respectivamente, recaudando 112800 euros.
Si por cada persona que va al crucero Alegría hay dos que van al crucero Concordia,
a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones.
b) ¿Cuántas personas van a cada tipo de crucero?
SOLUCIÓN
a) El sistema a plantear es:
+ + = 128
1500 + 600 + 900 = 112800
=2
b) La solución es:
= 24,
= 56,
= 48
PRUEBA B
1. En un periódico se lee la siguiente información: “Se ha tomado una muestra aleatoria de 36 facturas
de consumo mensual de luz (en euros) y el intervalo de confianza al 95% para el consumo medio ha
sido [60,1, 69,9]”. Según esta información:
a) ¿Cuál fue el consumo medio muestral en luz?
b) ¿Cuál fue la desviación típica?
c) Determinar un intervalo de confianza al 90% para el consumo medio de luz.
SOLUCIÓN
a) Consumo medio
b)
c)
√
,
=
= 1,96 = 4,9,
,
= 65 euros.
× ,
=
,
= 15
= 1,645
−
√
,
+
√
= 65 − 1,645
15
15
, 65 + 1,645 = 60,8875, 69,1125]
6
6
2. Ciertos móviles de nueva generación tienen una vida útil de dos años y medio con una desviación
típica de tres meses. Elegido uno de estos móviles al azar hallar la probabilidad de que:
a) Dure más de dos años y nueve meses.
b) Dure entre dos y tres años.
c) Una muestra de 4 de estos móviles tenga una duración media de más de dos años y siete meses y
medio.
SOLUCIÓN
Midiendo el tiempo en años, 6 meses es 0,5 años, 9 meses es 0,75 años, 1 mes medio es 0,125 años, 2
años y siete meses y medio es 2,625 años
~ (2,5, 0,25)
,
,
a) ( > 2,75) =
>
= ( > 1) = 1 − 0,8413 = 0,1587
,
b) (2 ≤
c)
,
≤ 3) =
= 4, ~
2,5,
,
≤
≤
,
,
= ( ≤ 2) − 1 − ( ≤ 2) =
= 0,9772 − 0,0228 =0,9544 ,
( > 2,625) =
>
2,625 − 2,5
= ( > 1) = 1 − 0,8413 = 0,1587 0,25/2
3. El número de vehículos que ha pasado cierto día por el peaje de una autopista viene dado por la
función:
−3
+2
0 < ≤ 9
3
( )=
− 15
10 −
9 < ≤ 24
3
donde indica el número de vehículos y el tiempo transcurrido en horas desde las 0:00 h.
a) ¿Es continua esta función? Justificar la respuesta.
b) ¿Entre qué horas aumentó el número de vehículos que pasaba por el peaje? Justificar la
respuesta.
c) ¿A qué hora pasó el mayor número de vehículos? ¿Cuántos fueron?
SOLUCION
a) Solo podría presentar discontinuidad en = 9. Como:
lim ( ) = lim ( ) = 6 =
La función es continua en ( ,
→
].
(9)
→
2
( − 3)
0 < < 9
3
′( ) =
2
9 < < 24
− ( − 15)
3
También es derivable en = 9 ya que las derivadas por la izquierda y por la derecha valen 6.
El número de vehículos aumentó en el intervalo ( , ) ya que la derivada es positiva. Disminuyó
en los intervalos (0,3) y (15,24) porque la derivada es negativa.
c) ( ) = 0 para = 3 y = 15. Como
2
0 < < 9
′′( ) = 3
2
−
9 < < 24
3
en = 3 hay un mínimo. En = 15 hay un máximo. Por lo tanto, el mayor número de vehículos pasó
a las 15 horas y fueron un total de 10 vehículos.
4. Un ebanista dispone de 3200 m2 de madera de teca y 2000 m2 de madera de pino para fabricar
pérgolas. Las pérgolas tipo celosía se venden a 800 euros y las pérgolas tipo gran sombrilla se venden a
900 euros. Las primeras necesitan 32 m2 de teca y 16 m2 de pino. Las segundas necesitan 25 m2 de cada
tipo de madera.
a) Plantear el problema para hallar el número de pérgolas de ambos tipos que ha de fabricar el
ebanista para maximizar los beneficios.
b) ¿Cuál es la solución óptima?
SOLUCIÓN
a) El problema a plantear es:
max 800 + 900
. :32 + 25 ≤ 3200
16 + 25 ≤ 2000
≥ 0, ≥ 0
(0,80)
(75,32)
(0,0)
(100,0)
b) Los vértices son (0,0), (100,0), (0,80) y (75,32) con valores iguales a 0, 80000, 72000 y 88800. Por
tanto, el óptimo es (75,32); es decir, 75 tipo celosía y 32 tipo gran sombrilla.