Progresiones aritméticas

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Progresiones aritméticas
Como dicta el sentido común, primero vamos a dejar claro qué es una progresión aritmética.
Observa las siguientes series de números:
3,8,13,18,23...
12,10,8,6,4...
Si te fijas un poco, verás que en la primera los números se van formando sumando 5 sucesivamente,
y en la segunda restando 2. Este tipo de series de números se denominan progresiones (o
sucesiones) aritméticas.
Todas las progresiones aritméticas pueden expresarse con una fórmula, también llamada término
general:
an = a1 + (n-1)·d
an es cualquier término de la sucesión que queramos calcular. Por ejemplo, a3 es el tercer término, a8
el octavo, etc.
a1, por supuesto, es el primer término.
n depende de qué an estemos calculando. Si queremos ver cuál es el octavo término (a8), n valdría 8.
d es la diferencia, el número que continuamente sumamos o restamos para formar la serie.
Antes de seguir leyendo, intenta escribir cuáles serían los términos generales de las dos sucesiones
del principio.
¿Ya? Las soluciones son:
3,8,13,18,23...
→
an = 3 + (n-1)·5
12,10,8,6,4...
→
an = 12 + (n-1)·(-2)
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De estos ejemplos debes sacar una idea clara (además de aprenderte la fórmula del término
general): cuando un problema nos pide el término general de una progresión aritmética, no debemos
calcular an ni n. Las únicas cosas que debemos calcular y sustituir son el primer término y la
diferencia (y tampoco es que hagan falta muchos cálculos).
Suma de los términos de una progresión aritmética
Cuentan que, de pequeño, un maestro de escuela castigó a sus revoltosos alumnos a sumar todos los
números del uno al cien. Esperaba tenerlos así entretenidos un buen rato. Pero cuál no sería su
sorpresa cuando al cabo de unos instantes uno de los chavales levantó la mano anunciando que la
suma daba exactamente 5050. Se trataba ni más ni menos que del joven Gauss, que llegaría a ser
considerado uno de los mayores matemáticos de todos los tiempos. Y no es para menos, porque si la
anécdota es cierta, siendo niño había deducido por su cuenta la fórmula de la suma de los términos
de una progresión aritmética.
¿Pero cómo pudo llegar tan rápido al resultado? El razonamiento es de lo más sencillo y elegante:
Gauss dijo que si cojemos el primer término y el último (el 1 y el 100), sumaban 101. Haciendo lo
mismo con el segundo y el penúltimo (2 y 99) volvía a dar 101. En resumen, se podían formar 50
parejas de números, cada una de las cuales sumaba 101. Por lo tanto, la suma de los 100 primeros
números se podía calcular así:
101 x 50 = 50501
Puesta en lenguaje matemático, la fórmula sería:
Sn = (an + a1)· n/2
Es decir, la suma de los n primeros términos de una sucesión aritmética se calcularía sumando el
primer término y el último del grupo (an), y multiplicando el resultado por la mitad de los números
que estamos sumando.
Un ejemplo práctico: imagina que nos piden la suma de los 100 primeros términos de la sucesión
que habíamos visto como ejemplo al principio de esta explicación:
3,8,13,18,23...
1
cuyo término general era
an = 3 + (n-1)·5
Esto demuestra que las ideas geniales no tienen por qué ser complicadas ni estar reservadas a los catedráticos de las
universidades. Basta con pensar algo que nadie haya pensado antes, o pensarlo de otra manera.
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Lo primero que tenemos que hacer para poder aplicar la fórmula de la suma es calcular el último
término, a100. Pero eso podemos hacerlo fácilmente con el término general:
a100 = 3 + (100-1)·5 = 3 + 99·5 = 3 + 495 = 498
Ahora ya podemos colocar todos los datos en la fórmula de la suma:
Sn = (an + a1)· n/2
S100 = (a100 + a1)· 100/2
S100 = (498 + 3)· 50
S100 = 501·50 = 25050
Cómo calcular el término general cuando no tengo los datos de siempre
Puede ocurrir que en lugar de darnos la sucesión (en cuyo caso es fácil sacar el primer término y la
diferencia), nos den datos sueltos. Veámoslo con dos ejemplos:
Ejemplo 1: Calcula el término general de la sucesión aritmética cuyo cuarto término vale 14 y la
diferencia vale -3.
Ejemplo 2: Calcula el término general de la sucesión cuyo tercer término vale 21 y el sexto 30.
Para estos casos podemos hacer uso de la siguiente fórmula, que no obliga a saber cuál es el primer
término:
an = ak + (n-k)·d2
Para resolver el ejemplo 1, colocaríamos a4 (que vale 14) en lugar de ak, y k, por lo tanto valdría 4.
an lo sustiuimos por a1, que es lo único que nos falta para tener el término general completo:
an = ak + (n-k)·d
a1 = a4 + (1-4)·d
a1 = 14 + (1-4)·(-3)
a1 = 14 + (-3)·(-3)
a1 = 14+9 = 23
Y por lo tanto el término general sería
2
an = 23 + (n-1)·(-3)
Fíjate que si k = 1 lo que nos sale es la fórmula del término general
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Veamos el ejemplo 2. Ahora nos falta conocer a1 y la diferencia. Por lo tanto, usaremos dos veces la
fórmula anterior; la primera, para calcular la diferencia:
an = ak + (n-k)·d
a6 = a3 + (6-3)·d
30 = 21 + (6-3)·d
30 - 21 = 3d
9 = 3d
d=3
Ahora el probema es como el ejemplo 1. Podemos usar a6 o a3 y la diferencia para calcular a1:
a6 = a1 + (6-1)·d
30 = a1 + 5·3
30 – 15 = a1
a1 = 15
Para terminar, respondemos diciendo que el término general que nos piden es:
an = 15 + (n – 1)·3
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