Capı́tulo 2 Normas de Vectores y Matrices 2.1. Introducción En este capı́tulo repasaremos brevemente el concepto de norma de un vector para centrarnos en el estudio de las normas de matrices o, si se quiere, en las normas de los operadores lineales. El estudio de las normas de matrices es importante por varias razones. Es necesario, por ejemplo, para definir de forma precisa conceptos tales como series de potencias de matrices; y desde luego es básico para precisar lo que se entiende por proximidad o lejanı́a entre matrices, aspectos fundamentales en el análisis de algoritmos en la computación numérica. Un par de ejemplos pueden servir para ilustrar estas ideas. Es conocido que si x es un número complejo de módulo menor que 1 entonces p1 xq1 1 x x2 x3 pI Aq1 I A A2 A3 ... Esto sugiere la fórmula 31 ... 32 Normas de Vectores y Matrices para calcular la inversa de la matriz I A. Pero ¿cuándo es tal fórmula válida?. Resulta que es suficiente que una norma de la matriz A sea menor que 1, y además cualquier norma sirve. De forma parecida se puede ver que bajo ciertas condiciones relativas a la norma de A la serie 8̧ 1 Ak k i0 es convergente y sirve para definir la función matricial eA . Por otra parte, el cálculo numérico con matrices que proceden de datos experimentales, no es exacto; por lo general matrices están sometidas, bien sea por errores de redondeo o por imprecisión en las mediciones,a pequeñas perturbaciones. Cuán pequeñas son estas perturbaciones, o lo que es lo mismo, cuán lejos está la matriz verdadera de la calculada son conceptos que se pueden hacer precisos utilizando normas. En todo este capı́tulo supondremos que F es el cuerpo R de los números reales o el cuerpo C de los números complejos. 2.2. Normas de Vectores 2.2.1. Definición y Ejemplos Como es bien sabido, el concepto de norma de un vector es una generalización del concepto de valor absoluto o módulo de un número complejo. Definición 2.1 .-Sea V un espacio vectorial sobre F (R o C). Una función ν : V ÝÑ R es una norma en V si ν satiface las siguientes propiedades: (i) x 0 ñ ν pxq ¡ 0. (ii) ν pαxq |α|ν pxq, (iii) ν px y q ¤ ν pxq @α P F. ν py q, @x P V (desigualdad triangular) 2.2. NORMAS DE VECTORES 33 Tres importante propiedades se siguen de forma inmediata de la Definición 2.2. Para cualquier norma ν 1. ν p0q 0 porque ν p0q ν p0xq 0ν pxq 0. 2. ν pxq ν pxq porque ν pxq | 1|ν pxq ν pxq 3. |ν pxq ν py q| ¤ ν px y q. En efecto, hay dos posibilidades: a) ν pxq ¥ ν py q. En este caso |ν pxq ν py q| ν pxq ν py q y por la desigualdad triangular ν pxq ν ppx y q y q ¤ ν px y q ν py q. b) ν pxq ν py q. Entonces |ν pxq ν py q| ν py q ν pxq y de nuevo por la desigualdad triangular ν py q ¤ ν py xq ν pxq ν px y q ν pxq. Ejemplo 2.2 Se puede definir una infinidad de normas en Fn , sin embargo las más utilizadas son las llamadas normas de Hölder o normas `p . En lo que sigue supondremos que x px1 , x2 , . . . , xn q P Fn es un vector de Fn . Para cada una de las normas dibujamos, a modo de ilustración la correspondiente bola unidad en R2 ; i.e., el conjunto B p0, 1q tx P R2 | k x k¤ 1u. (a) La norma `1 : k x k1 n ¸ | xi | . i 1 (b) La norma `2 o norma euclı́dea: k x k2 dn ¸ i 1 | xi | 2 . 34 Normas de Vectores y Matrices (c) La norma `8 : k x k8 máx |xi |. ¤¤ 1 i n (d) La norma `p general (p ¥ 2): k x kp n ¸ | xi | p 1{p . i 1 Demostrar que las normas `p son, en efecto, normas es fácil salvo la desigualdad triangular que, en el caso general, se conoce como desigualdad de Minkowsky. ésta a su vez, es consecuencia de otra desigualdad importante; la desigualdad de Hölder: Si p y q son números reales tales que p1 1q 1 entonces |xy| ¤k x kpk y kq . En el caso particular en que p 2 (y entonces también q Hölder se convierte en una desigualdad bien conocida: 2) la desigualdad de |xy| ¤k x k2k y k2, la desigualdad de Cauchy-Schwartz. Aparentemente la norma `8 no es una norma `p . Sin embargo se la puede considerar como tal porque para cualquier x P Fn se tiene que k x k8 lı́m k x kp . Ñ8 p 2.2. NORMAS DE VECTORES 35 Algo de esto ya se intuye en la forma que tienen las bolas unidad en R2 para las normas `p . También admite, claro está, una demostración rigurosa: Sea k x kp p|x1 |p xn |p q1{p , y supongamos que k x k8 máx |xi | |xi1 | |xiq | m. ¤¤ 1 i n Es decir, que las componentes i1 , . . . , iq son, en módulo, mayores que todas las demás, y que en todas ellas el valor de dicho módulo es el mismo e igual a m. Ası́, si tj1 , . . . , jnq u t1, . . . , nuzti1 , . . . , iq u tenemos que k x kp pqm p |xj |p |xj |pq1{p p 1{p p m q xmj xjm . n q 1 n q 1 x jk Como p xj 0 y lı́m k x k m k x k , tal y 1 concluı́mos que plı́m p 8 Ñ8 m pÑ8 k m como se deseaba demostrar. 2.2.2. Equivalencia de normas Las normas son herramientas básicas para definir y analizar la convergencia de una sucesión de vectores en espacios vectoriales. Como es habitual, una sucesión txk u V se dice que converge a x (y se escribe xk Ñ x) si la sucesión de números reales tν pxk xqu converge a cero, ν pxk xq Ñ 0, siendo ν una norma definida en V . Esta definición depende de la norma ν. En principio podrı́a suceder que una sucesión de vectores convergiera para una norma pero no para otra. De hecho, esto es perfectamente posible en espacios de dimensión infinita, pero no en espacios de dimensión finita. Ello es consecuencia de que todas las normas en un espacio vectorial de dimensión finita son equivalentes en el siguiente sentido: Definición 2.3 Sean µ y ν normas definidas en V , espacio vectorial sobre F. Se dice que µ y ν son equivalentes si existen números reales positivos c1 y c2 tales que c1 ¤ µν ppxxqq ¤ c2, @x P V. 36 Normas de Vectores y Matrices Debe notarse que ası́ se define, en efecto, una relación de equivalencia en el conjunto de todas las normas definibles en un espacio vectorial. (Se verá en los ejercicios que hay una infinidad de normas definibles en cualquier espacio vectorial). Nuestro objetivo es demostrar que todas las normas en un espacio de dimensión finita son equivalentes. Para ello debemos recordar algunos resultados básicos de topologı́a. En todo espacio normado, pM, k . kq podemos definir una distancia: dpx, y q k x y k, que hace de pM, dq un espacio métrico, y por lo tanto topológico con una base de abiertos dada por las bolas abiertas centradas en cada punto de M . Por consiguiente, si V es un espacio vectorial en el que tenemos definida una norma, automáticamente tenemos en V estructuras de espacio métrico y topológico. Si en M tenemos definidas dos normas, las bolas abiertas definidas por ambas normas pueden ser diferentes (veáse el Ejemplo 2.2). A pesar de que las bases de abiertos determinadas por dichas normas sean diferentes, las topologı́as determinadas por éstos pueden ser iguales. La propiedad de que las normas son equivalentes determina que, en efecto, las topologı́as inducidas por ellas son la misma; es decir, todo abierto respecto de una de las normas lo es respecto de la otra. En efecto, recordemos que si ν es una norma en M , un conjunto A M es abierto si para cada x P A existe un número real ρ ¡ 0 tal que B px, ρq ty P V |ν px y q ρu está contenido en A. Ahora, si en M hay definidas dos normas equivalentes, digamos ν y µ, entonces existen constantes positivas c1 y c2 tales que c1 µpxq ¤ ν pxq ¤ c2 µpxq para todo x P M . Supongamos que A es abierto respecto de la norma ν. Esto significa que para todo x P A existe r ¡ 0 tal que ν px y q r implica que y P A. Veamos que A es abierto respecto de µ. Sea x P A un elemento cualquiera y definamos s de modo que 0 s cr2 . Si µpx y q s tenemos que ν px y q ¤ c2 µpx y q c2 r c2 r. Por lo tanto y P A y A es abierto respecto a µ. La demostración de que todo abierto respecto a µ lo es respecto a ν se hace igual. Ası́ pues, todas las normas equivalentes definidas en un conjunto M inducen la misma topologı́a en dicho conjunto. En consecuencia, todos los invariantes topológicos (compacidad, conexión, . . . ) se mantienen. Es decir, si un conjunto es compacto o conexo respecto de una de las normas lo es respecto de la otra. 2.2. NORMAS DE VECTORES 37 Estas propiedades tienen un interés sobre todo teórico, pero nos ahorra tener que estar prestando atención continuamente a las normas empleadas cuando se prueban resultados topológicos. En cualquier caso, una primera consecuencia es que la convergencia de sucesiones de vectores en espacios de dimensión finita es independiente de la norma elegida. La demostración de que todas las normas definidas en un espacio vectorial de dimensión finita son equivalentes se puede hacer de diversas formas. La que adoptamos aquı́ no es la más directa pero tiene la virtud de poner de manifiesto una propiedad fundamental de los espacios vectoriales de dimensión finita: estos espacios vectoriales están caracterizados por el hecho de que las esferas unidades respecto de cualquier norma son conjuntos compactos. Demostraremos esta importante propiedad (que usaremos de manera significativa posteriormente) en el siguiente Lema. En la prueba usaremos que las normas `1 y `2 en Fn son equivalentes. En efecto, tal y como se propone demostrar en los ejercicios, se tiene la siguiente desigualdad para todo xıFn : ? (2.1) }x}2 ¤ }x}1 ¤ n}x}2. Una última observación: nótese que la acotación no se conserva por homeomorfismo (el intervalo p0, 1q es homeormorfo a R) pero si dos normas son equivalentes y un conjunto es acotado respecto de una de ellas lo es, por la definición de equivalencia de normas, respecto de la otra. Lema 2.4 (a) Todas las normas definidas en V , espacio vectorial sobre F, son funciones continuas cuando en V se considera la topologı́a inducida por ν y en R la topologı́a habitual (la inducida por el valor absoluto). (b) Sea V un espacio vectorial de dimensión finita y ν una norma en V . La esfera unidad de V respecto de la norma ν, Sν tx P V |ν pxq 1u, es un conjunto compacto con la topologı́a en V inducida por dicha norma. Demostración.(a) Sea ν una norma definida en V y consideremos en V la topologı́a inducida por esta norma. Sea ε ¡ 0 un número real arbitrario. Escogemos 0 δ ε. Entonces, como para todo x, y P V |ν pxq ν pyq| ¤ ν px yq, 38 Normas de Vectores y Matrices resulta que si ν px y q es continua. δ entonces |ν pxq ν pyq| ε. Esto demuestra que ν (b) Supongamos que dim V siguiente función: g : n y sea tv1, . . . , vnu una base de V . Definimos la Fn a pa1 , . . . , an q Ñ Ñ V v a1 v 1 an v n donde la topologı́a en V es la derivada de la norma ν. Esta aplicación es un isomorfismo de espacios vectoriales; es decir, es una aplicación lineal y biyectiva. Y desde el punto de vista topológico es también un homeomorfismo cuando en V y Fn se consideran las topologı́as derivadas de las normas ν y `1 . Es decir, g es una aplicación continua con inversa continua. No obstante, para llegar al resultado deseado sólo necesitamos que g sea continua. Aunque, tal y como se acaba de decir, éste es un hecho conocido, lo demostramos porque la demostración es muy sencilla y esta propiedad se usará con frecuencia en este curso. Que la inversa de g también es continua requiere más trabajo. Aunque no se va a utilizar, demostraremos esta propiedad al final de la sección. Sea ε ¡ 0 un número real dado. Tenemos que encontrar un número real δ tal que si k a b k1 δ entonces ν pg paq g pbqq ε. Ahora bien ν pg paq g pbqq n ° ν ¤ ¤ |ai bi|ν pviq M k a b k1 , n ° ¡0 paivi biviq ¤ i 1 i 1 donde M máxtν pv1 q, . . . , ν pvn qu. Observamos que M ¡ 0 porque vi 0 para todo i 1, . . . , n por ser vectores de una base de V . Basta escoger 0 δ Mε para obtener el resultado deseado. Sea Sν V la esfera unidad respecto de la norma ν: Sν tx P V |ν pxq 1u. Este conjunto es acotado respecto de la métrica determinada por ν. Y también es cerrado porque es la anteimagen por la aplicación continua ν del cerrado t1u de R. Como g es continua, g 1 pSµ q es cerrado. El conjunto g 1 pS q también es acotado. Esto es, en realidad, una consecuencia inmediata de un resultado que veremos en la próxima lección. Sin dicho resultado, necesitamos 2.2. NORMAS DE VECTORES 39 una demostración. Ya hemos visto que g : Fn Ñ V y ν : V continuas. Entonces, la composición de ambas f : Fn p a1 , . . . , a n q ÝÑ ; ν pa1 v1 R Ñ R son funciones an v n q también lo es. Sea S1n1 tx P Fn |}x}1 1u la esfera unidad de Fn respecto de la norma `1 . Este conjunto es cerrado y acotado respecto de la norma `1 . Por (2.1) también es cerrado y acotado respecto de la norma euclı́dea. Ahora bien, sabemos (Teorema de Heine-Borel) que ser cerrado y acotado en Fn (F R o C) respecto de la norma euclı́dea equivale a ser compacto. Ası́ pues S1n1 es compacto. Consecuentemente, f restringida a S1n1 alcanza su mı́nimo. Sea m mı́nyPS1n1 f py q. Notemos que m ¡ 0 porque si y P S1n1 entonces y 0, por lo que vy y1 v1 yn vn 0 y f py q ν pvy q ¡ 0. Sea ahora a pa1 , . . . , an q P g 1 pSν q. Esto significa que x a1 v1 Sν y ası́ 1 ν pxq Pero como a1 , . . . aan1 a 1 }} }} ν ν }a}1 vi f P }a}1 vi i 1 P S1n1 resulta que an vn n ° ai vi i1 n ° ai } a} 1 ν n ¸ ai i 1 a1 an ,... }a}1 }a}1 ¥ m. Por lo tanto 1 ν pxq ¥ }a}1 m, 1 y como m ¡ 0 obtenemos }a}1 ¤ . Ası́ pues, g 1 pSν q está acotado en m la norma `1 (y por lo tanto en al norma `2 ). Y como también es cerrado en ambas normas por ser equivalentes, y F R o C, g 1 pSν q es compacto. Finalmente, como g biyectiva, g pg 1 pSν qq Sν . Ahora bien, la imagen de un compacto por una aplicación continua es compacto. Concluı́mos entonces que Sν es compacto, tal y como se deseaba demostrar. El recı́proco del apartado (b) del lema anterior también es verdadero. Aunque no lo vamos a utilizar lo exponemos por completitud. La demostración usa el siguiente resultado de Riesz, que no demostramos: 40 Normas de Vectores y Matrices Lema 2.5 (Lemma de Riesz) Sea E un espacio vectorial y ν una norma definida en él. Sea S E un subespacio propio y 0 α 1. Existe xα P E zS tal que ν pxα q 1 y ν ps xα q ¡ α para cada s P S. Teorema 2.6 Un espacio vectorial V es de dimensión finita si y sólo si la esfera unidad en V , respecto de cualquier norma, es un conjunto compacto. Demostración.- La necesidad de que la esfera unidad sea un conjunto compacto para que V sea de dimensión finita se ha probado en el Lema 2.4. Demostremos ahora la suficiencia. Sea ν una norma en V y supongamos que V es de dimensión infinita. Sea x1 P V cualquier vector tal que ν px1 q 1. Sea V1 x1 ¡ el subespacio generado por x1 . Como V es de dimensión infinita, V1 es un subespacio propio de V , por el Lema de Riesz, existe x2 P V tal que ν px2 q 1 y ν px2 y q ¥ 21 para todo y P V1 . Sea V2 x1 , x2 ¡ el subespacio generado por x1 y x2 . De nuevo, V2 V es un subespacio propio de V . Aplicando otra vez el Lema de Riesz, existe x3 P V tal que ν px3 q 1 y ν px3 y q ¥ 21 para todo y P V2 . Siguiendo ası́ sucesivamente, construı́mos una sucesión de vectores txn u con las siguientes propiedades: (a) ν pxn q 1 para n 1, 2, . . . (b) ν pxn xm q ¥ 1 2 para n m, n, m P N. Por lo tanto hemos construı́do una sucesión de vectores en la esfera unidad de V , respecto de la norma ν, que no admite una subsucesión convergente. Esto significa que la esfera unidad no es un conjunto compacto en V , contradiciendo la hipótesis. Demostramos finalmente el resultado sobre la equivalencia de normas que buscábamos. Teorema 2.7 Todas las normas definidas en un espacio vectorial de dimensión finita son equivalentes. 2.2. NORMAS DE VECTORES 41 Demostración.- Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre F, y sean ν y µ dos normas definidas en V . Sea Sµ tx P V |µpxq 1u. Por una parte, este conjunto es compacto con la topologı́a en V inducida por la norma µ. Hemos visto en la demostración del Lema 2.4 que si g : Fn a pa1 , . . . , an q Ñ Ñ V v a1 v 1 an vn entonces g 1 pSµ q es compacto en Fn con la topologı́a habitual (la derivada de la norma euclı́dea o de la `1 ). También se ha demostrado g es continua cuando en V se considera la topologı́a derivada de cualquier norma, en particular, de la norma ν. Como la imagen de un compacto por una aplicación continua es un compacto y g es biyectiva, concluı́mos que Sµ es compacto en V con la topologı́a inducida por la norma ν. Ası́ pues, cuando en V consideramos la topologı́a inducida por ν tenemos que ν es una aplicación continua y Sµ un compacto. Por lo tanto, ν alcanza en Sµ su máximo y su mı́nimo. Pongamos c2 mı́n ν py q y c1 máx ν py q. Entonces, para y PSµ y PSµ x P Sµ y x P V , tenemos que µ p xq ν pxq µpxqν Y de la misma forma ν pxq µpxqν x µpxq x µpxq ¥ µpxq mı́n ν py q c2 µpxq. y PS µ ¤ µpxq máx ν py q c1 µpxq. y PS µ Una consecuencia inmediata de la equivalencia de normas en espacios de dimensión finita es que los isomorfismos algebraicos de espacios vectoriales normados son isomorfismos topológicos u homeomorfismos: Corolario 2.8 Sean V1 y V2 dos espacios vectoriales de dimensión finita n sobre F y sea f : V1 Ñ V2 un isomorfismo. Sean ν y µ normas definidas en V1 y V2 , respectivamente. Entonces f y f 1 son aplicaciones continuas cuando en V1 y V2 se consideran las topologı́as inducidas por estas normas. 42 Normas de Vectores y Matrices Demostración Probamos la continuidad de f , la de f 1 se demuestra igual. En primer lugar, es fácil demostrar que la aplicación η : V1 Ñ R definida por η pxq µpf pxqq es una norma en V1 . Como V1 es de dimensión finita, η y ν son equivalentes. Existe una constante positiva c2 tal que η pxq ¤ c2 ν pxq para todo x P V1 . Sea ahora ε ¡ 0 un número real dado. Escojamos δ de modo que 0 Entonces, si x, y P V1 cumplen que ν px y q δ, se sigue µpf pxq f py qq µpf px y qq η px y q ¤ c2 ν px y q c2 δ δ ε . c2 ε. Esto demuestra que f es uniformemente continua en V1 . Una consecuencia inmediata es el siguiente resultado anunciado en la demostración del Lema 2.4: la inversa de g : Fn a pa1 , . . . , an q Ñ Ñ V v a1v1 an vn es una aplicación continua. 2.3. 2.3.1. Normas de Matrices Definiciones, Ejemplos y Primeras Propiedades Dado que Fmn es un espacio vectorial todo lo dicho en la sección anterior es de aplicación a las matrices de tamaño m n con elementos en el cuerpo de los números reales o complejos. En particular, todas las normas definidas en Fmn son equivalentes; i.e. generan la misma topologı́a,y son funciones continuas. Debemos observar que las propiedades que definen una norma tienen en cuenta las operaciones propias de la estructura de espacio vectorial sobre el que se definen: el producto por escalares y la suma de vectores (desigualdad triangular). Sin embargo las matrices, en algunos casos, se pueden multiplicar. Una norma sobre Fnn se dirá que es una norma de matriz cuando respecto al producto se verifica una propiedad similar a la desigualdad triangular para la suma. Tomar en consideración esta propiedad de las matrices nos conduce a la siguiente definición: 2.3. NORMAS DE MATRICES 43 Definición 2.9 .- Sean µ, ν y ρ normas definidas en Fmn , Fnp y Fmp , respectivamente. Diremos que µ, ν y ρ son consistentes si para todas matrices A P Fmn y B P Fnp se verifica ρpAB q ¤ µpAqν pB q. En particular una norma ν definida en Fnn se dice que es consistente si ν pAB q ¤ ν pAqν pB q para todas A, B P Fnn . Una norma ν definida en Fnn consistente también se dice que es multiplicativa o submultiplicativa. Una norma definida en Fnn se dice que es una norma de matriz si es consistente. Un caso particular importante es el de las normas consistentes (también llamadas en este caso compatibles) con las normas de vector: Si µ es una norma definida en Fnn y ν es una norma definida en Fn entonces se dice que µ es consistente o compatible con la norma de vector ν si para toda matriz A P Fnn y todo vector x P Fn se tiene que ν pAxq ¤ µpAqν pxq Ejemplo 2.10 1. - La norma euclı́dea en Fmn será k A k m n ¸¸ | aij |2 12 i 1j 1 A esta norma se le llama también norma de Frobenius y se suele representar por k A kF . En algunos sitios se le llama también norma de Schur o de HilbertSchmidt. Nosotros utilizaremos el nombre de norma euclı́dea o de Frobenius. La norma de Frobenius en Fnn es una norma de matriz. Más general, las normas de Frobenius en Fmn , Fnp y Fmp son consistentes. En efecto, supongamos que A P Fmn y B P Fnp . Entonces AB P Fmp y, llamando a1j a la j-ésima columna de A , tenemos: k AB k2F p m ¸ ¸ i 1j 1 | ai b j | 2 p m ¸ ¸ i 1j 1 |a1ibj |2 44 Normas de Vectores y Matrices Usamos ahora la desigualdad de Cauchy-Schwartz: |x y | ¤ }x}2 }y }2 . Ası́ ¤ k AB k2F p m ° ° i 1j 1 n m }a1i}22}bj }22 ° ° 1 |a k 1i 1 m n ° ° i 1k 1 ° 2 ki | p ° n |aik | 2 k 1j 1 p n ° ° k 1j 1 |bkj |2 |bkj |2 }A}2F }B }2F donde hemos usado que para un número complejo |z | |z̄ |. 2. - La norma `8 en Fmn será: k A k máx |ai,j | ¤¤ ¤¤ 1 i m 1 j n Esta norma en Fnn no es una norma de matriz como lo demuestra el siguiente ejemplo: 1 1 2 2 2 A A AA 1 1 2 2 y k AA k 2 ¡ 1 k A kk A k 3. - En general la norma `p en Fmn se definirá como: k A k m n ¸¸ |aij |2 p1 i 1j 1 Utilizando la desigualdad de Hölder se puede demostrar que en Fnn esta norma es una norma de matriz si y sólo si 1 ¤ p ¤ 2. 4. - Una pequeña modificación en la definición de la norma `8 nos permite obtener una norma de matriz en Fnn : k A k n máx |ai,j | ¤ ¤ 1 i,j n En efecto, si a máx |aij | y b máx |bij | entonces ¤ ¤ ¤ ¤ 1 i,j n 1 i,j n n n ° ° k AB k n máx aik bkj ¤ n máx |aik bkj | ¤ 1¤i,j ¤n 1¤i,j ¤n k 1 k1 n ° ¤n máx ¤ ¤ 1 i,j n k 1 ab na nb k A kk B k 2.3. NORMAS DE MATRICES 45 La norma de Frobenius se puede escribir alternativamente de cualquiera de las dos formas siguientes: a) k A kF a trpA Aq b) k A k2F k a1 k22 k a2 k22 . . . k an k22 , donde A está escrita en términos de sus vectores columna. 2.3.2. ra1 a2 an s P Fnn Normas de Matriz Inducidas Una técnica general para obtener normas de matriz a partir de normas vectoriales es la siguiente: Sea A P Fmn y pensemos en A como una transformación u operador lineal: A : Fn Ñ Fm x Ñ Ax Consideremos en Fn y Fm normas }}n y }}m , respectivamente. Es un hecho conocido que las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales normados de dimensión finita son operadores acotados. Que un operador h : E1 Ñ E2 entre dos espacios normados es acotado significa que @x P E1 existe una constante M ¡ 0 tal que }hpxq} ¤ M }x} donde hemos representado con el mismo signo, }}, y sin posibilidad de confusión,las dos normas definidas en E1 y E2 . Lo que sigue es una demostración de esta propiedad. Si E1 y E2 son espacios vectoriales de dimensión finita, hemos visto en el Corolario x 2.8 que las aplicaciones lineales son continuas. Si x P E1 entonces }x} está en la esfera unidad S1 de E1 que, por el Lema 2.4, es un conjunto compacto en E1 . Por consiguiente, si h es lineal entonces, como las normas son siempre funciones continuas, }} h restringido a S1 alcanza su máximo y mı́nimo. Sea M máx }hpy q}. Entonces }hp }xx} } M }x}. ¤ M . Pero }hp }xx} } P y S1 } } }hpxq}, de donde se sigue que }hpxq} ¤ 1 x En particular para la aplicación lineal A se tiene que @x P Fn existe una constante M ¡ 0 tal que }Ax}m ¤ M }x}n . Y esto significa que el conjunto " }Ax}m : x P Fn, x 0* }x}n 46 Normas de Vectores y Matrices está acotado superiormente. Consecuentemente, tiene un supremo. Podemos ası́ definir la siguiente función: f : Fmn Ñ R A Ñ f pAq donde f pAq sup n P 0 x F k Ax km k x kn Es claro que el cociente k Ax km k x kn es no negativo. Probaremos que f es una norma consistente con las normas de vector que sirven para definirla. Comenzaremos observando que el sup se alcanza y que, por lo tanto, podemos sustituir sup por max. Para ello probamos, en primer lugar, que (supondremos siempre x P Fn ): f pAq sup k Ax km . kxkn 1 En efecto si M sup 0 x kAxkm kxkn entonces M ¥ kAxkm , kxkn Ax km , @x P Fn tal que k x kn 1, con lo que M te, si M sup kxkn 1 k Ax km , entonces M ¥ @x 0. En particular M ¥k sup kxkn 1 k Ax km . Recı́procamen- ¥k Ax km, @x P Fn tal que k x kn 1. Sea P Fn un vector no nulo arbitrario; entonces kxkx es un vector unitario, de modo x 1 km kxk k Ax km . Por lo tanto M ¥ sup kAxk . En conclusión que M ¥k A kxk kxk 0xPF f pAq sup k Ax kn . kxk 1 x n m n n n n n Ahora bien, k km es una función continua respecto de cualquier norma de Fn y también A es una función continua (por ser una función lineal). Por otra parte, la esfera unidad es un conjunto compacto (respecto de cualquier norma) de Fn , y cualquier función continua alcanza sus valores máximo y su mı́nimo en ella. Ası́ pues f pAq máx kxkn 1 k Ax km máxn P 0 x F k Ax km . k x kn Demostraremos ahora que f pAq es una norma vectorial consistente con las normas } }m y } }n . A estas normas se les llama también normas de operador. 2.3. NORMAS DE MATRICES 47 Teorema 2.11 .- Sea k kn y k km normas definidas en Fn y Fm , respectivamente. a) La función real f definida en Fmn por f pAq máx kxkn 1 k Ax km máxn P 0 x F k Ax km k x kn es una norma que denotaremos con k km,n . b) Si A P Fmn y B c) d) P Fnp entonces }AB }m,p ¤ }A}m,n}B }n,p. En particular, si m n entonces la norma } }n,n es una norma de matriz. Las normas k km,n , k km y k kn son consistentes. Si µ es cualquier otra norma de matriz consistente con k km y k kn , entonces k A km,n ¤ µpAq, @A P Fmn . En lo sucesivo, y para evitar una notación excesivamente pesada, no escribiremos los subı́ndices que asocian cada norma al espacio en el que está definida y representaremos todas las normas con el sı́mbolo } }. La razón es que en todo momento es claro en qué espacio está el vector o la matriz sobre el que actúa la norma. Ası́, escribiremos }x} y }A} en vez de }x}n o }A}m,n porque si A P Fmn entonces la norma en Fmn es }}m,n y no se necesita precisar los subı́ndices; y, además, Ax sólo tiene sentido si x P Fn y no se precisa especificar el subı́ndice en el correspondiente sı́mbolo de la norma. Demostración.- a) Debemos verificar todos los axiomas que definen las normas de matriz (i) Si A 0 existe x máx k Ax k¡ 0. P Fn tal que Ax 0. Por lo tanto k Ax k¡ 0 y k A k kxk 1 (ii) Para todo λ P F k λA k máx k λAx kv máx |λ| k Ax k kxk 1 |λ| kxk máx 1 kxk 1 k Ax k |λ| k A k . 48 Normas de Vectores y Matrices (iii) Probamos ahora que si A, B efecto kA ¤ P Fmn entonces k A B k máx k pA kxk 1 máx pk Ax k kxk 1 k A k B k¤k A k B qx k máx k Ax kxk 1 k Bx kq ¤ máx k Ax k kxk 1 k B k. En Bx k¤ máx k Bx k kxk 1 kBk. b) Sean A P Fmn y B P Fnp. Por definición k AB k máx k ABx k . }x}1 Sea x0 P Fp un vector con k x0 k 1 donde se alcanza el máximo: k AB kk ABx0 k. Ahora bien, para cada matriz X k X k máx y 0 de donde resulta que k Xy k¤k X k k y k, @y k Xy k kyk 0. Ası́ k AB kk ApBx0 q k¤k A k k Bx0 k¤ ¤k A k k B k k x0 kk A k k B k, porque k x0 k 1; que es lo que se querı́a demostrar. En particular si m n p y A, B P Fnn entonces }AB }n,n ¤ }A}n,n }B }n,n. Es decir, } }n,n es una norma de matriz. c) Ya hemos visto que @A P Fnn y @x P Fn , x 0, se tiene que k Ax km ¤k A km,n k x kn . Y para x 0 se obtiene la igualdad de forma evidente. Por consiguiente, las normas k km,n , k km y k kn son consistentes. 2.3. NORMAS DE MATRICES 49 d) También hemos visto más arriba que existe x0 P Fn con k x0 k 1 tal que k A kk Ax0 k . Como µ es consistente con k km y k kn resulta que k A kk Ax0 km ¤ µpAq k x0 kn µpAq, tal y como se deseaba demostrar. Ejemplo 2.12 .- Vamos a ver cómo se definen explı́citamente las normas de matriz `p para p 1, 2, 8. 1. - La norma de matriz `1 : Sea A P Fmn y escribamos esta matriz en función de sus columnas A ra1 a2 an s. Vamos a probar que la norma de matriz inducida por la norma `1 es : k A k1 máx ¤¤ 1 j n o, equivalentemente, m ¸ |aij | i 1 k A k1 máx k aj k1 ¤¤ 1 j n 1máx }a } . Vamos a demostrar que M }máx }Ax}1. ¤j ¤n j 1 x} 1 Para ello probamos primero que M ¥ }Ax}1 para todo x P Fn con }x}1 1; En efecto, pongamos M 1 i.e. que M es una cota superior del conjunto t}Ax}1 : }x}1 1, x P Fnu, Y a continuación que esta cota se alcanza. Es decir, que existe x0 }x0} 1 y M }Ax0}1. Sea x P Fn con }x}1 P Fn tal que 1, y sean px1, . . . , xn) sus componentes. Entonces }Ax}1 }x1a1 xnan}1 ¤ ¤ p|x1|}a1}1 |xn|}an}1q ¤ ¤ p|x1| |xn|q 1máx }a } M }x}1 M ¤j ¤n j 1 50 Normas de Vectores y Matrices Por lo tanto, M es una cota superior de t}Ax}1 : }x}1 1, x P Fn u. Ahora, si el máx }aj }1 se alcanza, digamos, para la columna k entonces M }ak }1 . ¤¤ 1 j n k Tomando x0 Ó ek p0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0q P Fn, tenemos que }x0}1 1 y }ak }1 }Aek }1 }Ax0}, M de modo que M es una cota superior de t}Ax}1 : }x}1 alcanza. Esto es máx }aj }1 máx }Ax}1 }A}1 ¤¤ 1, x P Fnu que se }x}1 1 1 j n 2. - La norma de matriz `8 : De forma similar a lo que hemos visto más arriba, vamos a demostrar que la norma de matriz inducida por la norma `8 es k A k8 máx ¤¤ 1 i n n ¸ |aij |. j 1 ° 1máx |aij |. Por una parte ¤i¤n n Pongamos M j 1 ° n n ° |a x | ¤ k Ax k8 máx aij xj ¤ máx 1¤i¤n j 1 1¤i¤n j 1 ij j n n ° ° ¤ 1máx |a ¤i¤n j 1 ij M }x}8. Ası́ pues máx |xk | ¤¤ 1 k n }A}8 máx kxk8 1 máx ¤¤ 1 i n j 1 |aij | k Ax k8 ¤ M. k x k8 (2.2) Para demostrar la desigualdad en sentido contrario vamos a probar que para cada i 1, . . . , n existe un vector xi con }xi }8 1 tal que n ¸ |aij | aij xij , j 1 j 1 n ¸ donde xij es la j-ésima componente de xi . (2.3) 2.4. SUCESIONES Y SERIES DE MATRICES Supuesto esto demostrado es fácil ver que }A}8 i 1, . . . , n }A}8 51 ¥ M . En efecto, para cada ° n máx }Ax}8 ¥ }Axi } máx aij xij 1 ¤ i ¤ n j 1 }x}8 1 n ° máx ¤¤ 1 i nj 1 |aij | M Ası́ pues, debemos demostrar (2.3). Basta encontrar xi tal que aij xij Pero esta misma identidad nos sirve de definición: āij xij |aij | |aij |. siempre que aij 0 y xij 1 si aij 0. Con esta definición de xi tenemos que }xi}8 1 y se verifica (2.3) porque cada sumando aij xij |aij | es positivo. En conclusión }A1}8 }xmáx }Ax}8 M 1máx ¤i¤n }8 1 n ¸ |aij | j 1 tal y como se deseaba demostrar. 3. - La norma de matriz `2 : A la norma de matriz inducida por la norma `2 se le llama también Norma Espectral. Veremos en un tema posterior que tiene un significado muy importante que todavı́a no estamos en condiciones de comprender bien. 2.4. Sucesiones y Series de Matrices Tal y como hemos dicho en la sección anterior, el uso de normas nos permite hablar de convergencia de sucesiones de vectores y, por lo tanto, de matrices. El objetivo de esta sección es introducir las serie de matrices y demostrar un resultado que necesitaremos en un tema posterior. nm Sea tAk u8 , recordemos k0 una sucesión infinita de matrices con elementos en F que F R o C. Con esta sucesión formamos otra, la de las sumas parciales Sk k ¸ j 0 Aj , k ¥ 0. 52 Normas de Vectores y Matrices Definición 2.13 La serie 8 ° j 0 Aj converge si la sucesión tSk u es convergente; i.e. si existe el lı́m Sk . Además, si S k Ñ8 klı́m S entonces escribiremos Ñ8 k 8̧ Aj S. j 0 La convergencia de la serie 8 ° j 0 8 ° Aj se puede reducir a la de la serie numérica j 0 }Aj } de la siguiente forma: Proposición 2.14 Si la serie numérica 8 ° j 0 matriz, también converge la serie matricial }Aj } 8 ° converge para alguna norma de Aj . j 0 Demostración.- Sea ε ¡ 0 un número real dado. Veremos que existe un entero N ¡ 0 tal que si p, q ¥ N entonces k Sp Sq k ε. Esto demuestra que la sucesión tSnu de sumas parciales es una sucesión de Cauchy. Como Fmn es completo, tSnu converge. En efecto q p q q ¸ ¸ ¸ ¸ k Sp Sq k Aj ¤ } Aj } }Aj } } Aj } . j p 1 j p 1 j 0 j 0 Ahora bien, si 8 ° j 0 }Aj } converge, existe N ¡ 0 tal que si p, q ¥ N entonces p q ¸ }A } ¸ }A } ε, j j j 0 j 0 que es lo que se querı́a demostrar. 2.4. SUCESIONES Y SERIES DE MATRICES 53 En particular, para matrices cuadradas la serie de potencias aj Aj es conver- j 0 8 ° gente si lo es la serie numérica 8 ° j 0 |aj | }A}j . En realidad, este resultado no es un caso particular de la Proposición 2.14 pero se demuestra igual teniendo en cuenta que la norma elegida es una norma de matriz. En efecto, basta observar que si Bj aj Aj entonces }Bj } ¤ |aj | }Aj } ¤ |aj | }A}j , donde la última desigualdad se debe a que las normas de matriz tienen la propiedad submultiplicativa. Como muchas funciones escalares se pueden definir como series de potencias convergentes en ciertas regiones del plano complejo, la posibilidad de reducir la convergencia de una serie de potencias matriciales a la de sus correspondientes normas permite definir de forma sencilla algunas funciones matriciales. Concretamente, sea f pz q 8 ° aj z j en un entorno de z j 0 convergencia R y consideremos la serie matricial 8 ° aj Aj con A j 0 alguna norma de matriz para la que }A} podemos definir f pAq 8̧ 0 con un radio de R, la serie 8 ° j 0 P Fnn . Si hay |aj | }A}j converge y aj Aj . j 0 En particular, cada una de las siguientes funciones está perfectamente definidas: 8 ° j!1 Aj , @A P Fnn. j 0 8 p1qj ° senpAq A2j 1 , @A P Fnn . p 2j 1 q ! j 0 8 p1qj ° 2j nn cospAq p2j q! A , @A P F . eA j 0 De la misma forma se podrı́an definir otras funciones matriciales como ln A, tanpAq, etc. Nos interesa especialmente la serie geométrica 8 ° j 0 a 1 1z p1 zq1 si |z| 1: z j que sabemos que converge 54 Normas de Vectores y Matrices P Fnn y }A} 1 para alguna norma de matriz, entonces 8 ° In A es invertible. Además, en tal caso pIn Aq1 Aj y }pIn Aq1 } ¤ Proposición 2.15 Si A j 0 1 1 }A} . Demostración.- Si }A} 1 entonces la serie geométrica te, y por la Proposición 2.14 la serie matricial 8 ° 8 ° j 0 }A}j es convergen- Aj converge. Sea B j 0 pongamos Sk k ¸ 8 ° Aj y j 0 Aj . j 0 Entonces pI AqSk pIn AqpIn Como lı́m Sk B resulta que kÑ8 A lı́m pIn AqSk k y también Ñ8 Ak q In Ak 1 . pIn AqB, lı́m pIn AqSk klı́m pI Ak 1q. Ñ8 n Ahora bien, lı́m pIn Ak 1 q In porque }In Ak 1 In } ¤ }A}k kÑ8 numérica t}A}k u converge a cero por ser }A} 1. En consecuencia pIn AqB In y k Ñ8 pIn Aq1 B 8̧ 1 y la sucesión Aj . j 0 Finalmente, como B 8 k j 0 ° j ° Aj klı́m A y } } es continua, Ñ8 j 0 8̧ k k k 8̧ Aj }B } lı́m ¸ Aj ¤ lı́m ¸ }Aj } ¤ lı́m ¸ }A}j }A}j , kÑ8 kÑ8 j 0 kÑ8 j 0 j 0 j 0 j 0 2.4. SUCESIONES Y SERIES DE MATRICES donde hemos usado la desigualdad triangular de las normas y que de matriz. Ası́ pues 8̧ 8̧ }pIn Aq1} Aj ¤ }A}j 1 1}A} . j 0 j 0 55 } } una norma 56 Normas de Vectores y Matrices