MATE 4081: ´Algebra Abstracta Solución Asignación 5. 1. Suponga

Universidad de Puerto Rico, Rı́o Piedras
Facultad de Ciencias Naturales
Departamento de Matemáticas
San Juan, Puerto Rico
MATE 4081: Álgebra Abstracta
Solución Asignación 5.
1. Suponga que G es un grupo y N < G tal que el ı́ndice de N en G es 2 (notación
[G : N ] = 2). Demuestre que N C G.
Demostración: Suponga que a ∈ G, pero a ∈
/ N . Como [G : N ] = 2, entonces
G = N ∪· aN y G = N ∪· N a,
Ésto implica que
G \ N = aN y G \ N = N a.
Concluimos que aN = N a y por lo tanto N C G.
2. Suponga que G es un grupo y N C G es tal que [G : N ] = 4. Demuestre que
G/N ' Z4 ó G/N ' Z2 × Z2 .
Demostración: Si G/N es cı́clico, entonces no hay nada que demostrar, pues en
este caso G/N ' Z4 . Suponga que G/N no es cı́clico. Como G/N es de orden
4, entonces
G/N = {N, aN, bN, cN },
donde a, b, c ∈ G. Ahora, o(aN )| |G/N | = 4 (Lagrange). Como G/N no es
cı́clico y como aN 6= N (N es la identidad en G/N ), entonces o(aN ) = 2. O
sea aN · aN = N . Similarmente, bN · bN = N y cN · cN = N . También, puede
convencerse que
aN · bN = bN · aN = cN
aN · cN = cN · aN = bN
bN · cN = cN · bN = aN.
De todas formas, G/N tiene la propiedad que es de orden 4 y todo elemento es
su propia inversa. Este grupo es el grupo de Klein y es isomorfo a Z2 × Z2 . Un
posible isomorfismo de G/N a Z2 × Z2 es el siguiente:
N
aN
bN
cN
−→
−→
−→
−→
Muerto el Pollo.
(0, 0)
(1, 0)
(0, 1)
(1, 1).
1
3. Considere el mapa ϕ : Z20 → Z20 dado por ϕ(x) = 4x mod 20.
(a) Encuentre Ker(ϕ).
Respuesta: Por definición, Ker(ϕ)={g ∈ Z20 | 4g ≡ 0 mod 20}. Es evidente
que Ker(ϕ)={0, 5, 10, 15}.
(b) Encuentre Im(ϕ).
Respuesta: El lector puede verificar que
Im(ϕ) = {0, 4, 8, 12, 16}.
(c) Por el Primer Teorema de Isomorfismo (PTI) sabemos que
Z20 /Ker(ϕ) ' Im(ϕ).
Describa la imagen de cada elemento en Z20 /Ker(ϕ) bajo el ismorfismo
dado por PTI.
Respuesta: Note que
Z20 /Ker(ϕ) = {Ker(ϕ), 1 + Ker(ϕ), 2 + Ker(ϕ), 3 + Ker(ϕ), 4 + Ker(ϕ)}.
Recuerde que el isomorfismo ψ : Z20 /Ker(ϕ) → Im(ϕ) está dado por
ψ(a + Ker(ϕ)) = ϕ(a).
Por lo tanto, las imágenes de los elementos están dadas por
ψ(Ker(ϕ))
ψ(1 + Ker(ϕ))
ψ(2 + Ker(ϕ))
ψ(3 + Ker(ϕ))
ψ(4 + Ker(ϕ))
=
=
=
=
=
ϕ(0) = 0
ϕ(1) = 4
ϕ(2) = 8
ϕ(3) = 12
ϕ(4) = 16.
Muerto el Pollo.
(d) Demuestre que Z20 /Ker(ϕ) ' Z5 .
Demostración: Note que |Z20 /Ker(ϕ)| = 5. Como 5 es primo, entonces
Z20 /Ker(ϕ) ' Z5 . Muerto el Pollo.
2
4. Considere el mapa ϕ : D4 → D4 dado por
ϕ(e)
ϕ(r)
ϕ(t)
ϕ(rt)
=
=
=
=
ϕ(r2 ) = e
ϕ(r3 ) = t
ϕ(r2 t) = r2
ϕ(r3 t) = r2 t.
(a) Demuestre que ϕ es un homomorfismo.
Solución: Me da flojera.
(b) Encuentre Ker(ϕ).
Respuesta: Por definición, Ker(ϕ)={g ∈ D4 | ϕ(g) = e}. Por lo tanto,
Ker(ϕ) = {e, r2 }.
(c) Encuentre Im(ϕ).
Respuesta: Demasiado difı́cil, lo sé, pero bueno, hay que hacerlo. La
respuesta es
Im(ϕ) = {e, t, r2 , r2 t}.
(d) Describa D4 /Ker(ϕ).
Respuesta: Sabemos que |D4 | = 8 y |Ker(ϕ)| = 2, por lo tanto, la cardinalidad de D4 /Ker(ϕ) es 4. Sus elementos (clases laterales) son
Ker(ϕ)
rKer(ϕ)
tKer(ϕ)
rtKer(ϕ)
=
=
=
=
{e, r2 }
{r, r3 }
{t, r2 t}
{rt, r3 t}
(e) El Primer Teorema de Isomorfismo nos provee un isomorfismo ψ : D4 /Ker(ϕ) →
Im(ϕ). Provea la imagen de cada elemento de D4 /Ker(ϕ) bajo ψ.
Respuesta: Sabemos que el ismormofismo del Primer Teorema está dado
por
ψ(aKer(ϕ)) = ϕ(a).
Entonces, las imagenes de los elementos de D4 /Ker(ϕ) bajo ψ están dados
por
ψ (Ker(ϕ))
ψ (rKer(ϕ))
ψ (tKer(ϕ))
ψ (rtKer(ϕ))
Muerto el Pollo.
3
=
=
=
=
ϕ(e) = e
ϕ(r) = t
ϕ(t) = r2
ϕ(rt) = r2 t.
5. Considere el mapa ϕ : Z × Z → Z dado por ϕ((a, b)) = a.
(a) Demuestre que ϕ es un epimorfismo.
Demostración: Primero demostraremos que ϕ es un homomorfismo. Para
ésto, tome (a, b1 ), (a2 , b2 ) ∈ Z × Z. Note que
ϕ ((a1 , b1 ) + (a2 , b2 )) = ϕ ((a1 + a2 , b1 + b2 ))
= a1 + a2
= ϕ((a1 , b1 )) + ϕ((a2 , b2 )).
Por lo tanto, ϕ es homomorfismo. Ahora, note que también es sobre, pues
si m ∈ Z, entonces (m, 0) ∈ Z × Z y ϕ((m, 0)) = m. Concluimos que ϕ es
un epimorfismo.
(b) Encuentre Ker(ϕ)
Demostración: Suponga que (a, b) ∈ Ker(ϕ). Entonces, por definición
del kernel, ϕ((a, b)) = 0. Pero ϕ((a, b)) = a y por lo tanto a = 0. O sea,
(a, b) = (0, b) ∈ {0} × Z, i.e. Ker(ϕ) ⊆ {0} × Z.
Ahora, si (0, m) ∈ {0} × Z, entonces es claro que ϕ((0, m)) = 0 y por lo
tanto (0, m) ∈ Ker(ϕ), i.e. {0} × Z ⊆ Ker(ϕ). Concluimos que
Ker(ϕ) = {0} × Z.
Muerto el Pollo.
(c) Dado un subgrupo H 0 de Z, utilice el Teorema de Correspondencia para
encontrar el subgrupo H < Z × Z que contiene Ker(ϕ) y que corresponde
a H 0.
Respuesta: Note que si H 0 < Z, entonces existe m ∈ Z tal que H 0 = mZ.
Verifique que el subgrupo de Z × Z que le corresponde a mZ está dado por
H = {(a, b) ∈ Z × Z |, ϕ((a, b)) ∈ mZ} = mZ × Z.
Es claro que mZ × Z ⊇ {0} × Z.
6. En el grupo Z24 con H = h4i y N = h6i.
(a) Enliste los elementos H + N y H ∩ N .
Solución: Note que
H = h4i = {0, 4, 8, 12, 16, 20} y N = h6i = {0, 6, 12, 18}.
Los elementos de H + N son todas las combinaciones de la forma h + n
donde h ∈ H y n ∈ N . El lector puede verificar que H + N está dado por
H + N = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22} = h2i.
4
Mientras
H ∩ N = {0, 12} = h12i.
(b) Enliste todas las clases laterales de (H + N )/N .
Solución: Sabemos que |H + N | = 12 y |N | = 4, por lo tanto (H + N )/N
tiene 12/4 = 3 clases laterales. Las clases laterales están dadas por
N = {0, 6, 12, 18}
2 + N = {2, 8, 14, 20}
4 + N = {4, 10, 16, 22}.
(c) Enliste todas las clases laterales de H/(H ∩ N ).
Solución: Sabemos que |H| = 6 y |H ∩ N | = 2, por lo tanto H/(H ∩ N ).
tiene 6/2 = 3 clases laterales. Las clases laterales están dadas por
H ∩ N = {0, 12}
4 + H ∩ N = {4, 16}
8 + N = {8, 20}.
(d) Describa el ismorfismo que corresponde el Segundo Teorema de Isomorfismo.
Demostración: Si seguimos la demostración del Segundo Teorema de Isomorfismo (libro), notamos que el mapa ϕ : H → (H + N )/N definido por
ϕ(h) = h + N es un epimorfismo con kernel H ∩ N . Entonces, el primer
Toerema de Homomorfismo (al ϕ ser epimorfismo) nos dice que
H/(H ∩ N ) = H/Ker(ϕ) ' Im(ϕ) = (H + N )/N.
Por lo tanto, el isomorfismo en realidad está dado por aquel isomorfismo del
Primer Teorema de Isomorfismo con ϕ definido como arriba. Si nos vamos
a la demostración del Primer Toerema, entonces vemos que isomorfismo
está definido por
ψ : H/(H ∩ N ) → (H + N )/N dado por ψ(a + H ∩ N ) = φ(a) = a + N,
o sea,
ψ(0 + H ∩ N ) = 0 + N = N
ψ(4 + H ∩ N ) = 4 + N
ψ(8 + H ∩ N ) = 8 + N = 8 + {0, 6, 12, 18} = {8, 14, 20, 2} = 2 + N.
Muerto el Pollo.
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