Teor´ıa de Colas o Fenómenos de Espera

Teorı́a de Colas o Fenómenos de Espera
Área de Estadı́stica e Investigación Operativa
Licesio J. Rodrı́guez-Aragón
Febrero 2011
Introducción
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Colas o Lı́neas de Espera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Procesos Estocásticos, Conteo y Poisson
Proceso Estocástico. . . . . . . . . . . . . . .
Proceso de Conteo . . . . . . . . . . . . . . .
Proceso de Poisson . . . . . . . . . . . . . . .
Teorema 1:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Teorema 2:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Distribución Exponencial . . . . . . . . . . .
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Modelos de Nacimiento y Muerte
Procesos de Nacimiento y Muerte
Distribución de Probabildad . . . .
Ecuaciones de Balance . . . . . . . .
Proceso de Poisson . . . . . . . . . .
Proceso Estacionario . . . . . . . . .
Estado Estacionario . . . . . . . . . .
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Sistema de Colas
Descripción del Sistema .
Hipótesis Consideradas. .
Notación . . . . . . . . . . .
Notación de Kendall . . .
Fórmula de Little . . . . .
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Modelo M/M/1
M/M/1. . . . . . . . . .
Estado Estacionario . .
L..............
Lq . . . . . . . . . . . . .
Fórmulas de Little . . .
Espera de los clientes.
Costes . . . . . . . . . . .
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Modelo M/M/s
M/M/s. . . . . . . . . .
Estado Estacionario . .
Pn . . . . . . . . . . . . .
Cálculo Recursivo . . .
Lq . . . . . . . . . . . . .
Fórmulas de Little . . .
Espera de los Clientes
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Introducción
Introducción
Colas: Son muy cotidianos los fenómenos en los que entidades discretas: individuos, máquinas,
productos, que denominamos usualmente como clientes, utilizan adaptándose a unas normas
preestablecidas unos servicios de carácter limitado que hay a su disposición.
Inherente a cada fenómeno de espera está el número y la naturaleza de los servidores.
Centro de Servicio: Conjunto de todos los servidores.
Llegada de Clientes y Tiempo de Servicio pueden estar determinados o pueden quedar al libre albedrı́o
del azar.
Fenómenos Determinı́sticos.
Fenómenos Probabilı́sticos.
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Métodos Cuantitativos Org. Ind. – 3 / 43
Colas o Lı́neas de Espera
En algunos casos, los clientes son obligados a permanecer en el Centro de Servicio no sólo el tiempo
de servicio sino que han de soportar una espera, formando una cola.
En otros casos, el centro de servicio estará funcionando por debajo de su capacidad, con servidores
desocupados.
En la industria debemos tomar decisiones sin conocer:
¿Cuándo llegarán los clientes?
¿Cuánto tiempo será necesario para prestar servicio?
El compromiso con una estructura de servicio puede llevarnos a:
Servidores Desocupados: Demasiado servicio conlleva costes excesivos y pérdidas en forma de
tiempos de inactividad.
Colas o Esperas: Carecer de la capacidad adecuada de servicio ocasiona esperas demasiado
largas en algunos momentos y pérdidas de clientes, entre otros costes.
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3
Objetivo
El objetivo es lograr un balance entre costes y servicios.
La Teorı́a de Colas no resuelve el problema, sino que modeliza el fenómeno y nos proporciona
información vital para la toma de decisiones.
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Procesos Estocásticos, Conteo y Poisson
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Proceso Estocástico
Un fenómeno de espera suele ser modelado como un proceso estocástico, en tiempo continuo, con un
número discretos de estados, que evoluciona a saltos cuando aparecen nuevos clientes en el sistema o
cuando desaparecen de él.
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4
Proceso Estocástico
Proceso Estocástico: Se define como un conjunto de variables aleatorias {X(t)}t∈T con t tomando
valores en un conjunto dado.
T , con frecuencia, es el conjunto de enteros no negativos N.
X representa una caracterı́stica de interés medida usualmente en el instante de tiempo t.
Ejemplo: El proceso estocástico X(1), X(2), X(3), . . . puede representar los valores al cierre de
cotización de una acción, el dı́a 1 de cotización, 2, 3, . . .
Saldo de una cuenta.
Demanda de un producto.
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Proceso Estocástico
{X((t), t ∈ T } es un Proceso Estocástico, P.E., si X(t) es una Variable Aleatoria, V.A., para cada
t ∈ T , siendo T usualmente el tiempo.
Los procesos estocásticos, como conjunto de v.a. pueden ser:
Continuos.
Discretos.
X(t) = x, significará que el P. E. X toma el valor x en el instante t de tiempo.
Esto es equivalente a decir que el P.E. se encuentra en el estado x en el instante t.
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5
Proceso de Conteo
Recibe el nombre de Proceso de Conteo o Proceso de Llegadas, todo P. E. N (t) en tiempo continuo,
t ≥ 0, donde N (t) es el número de llegadas a un sistema, u ocurrencias de un suceso, durante el
intervalo de tiempo [0, t].
Matemáticamente:
Decimos que un P.E. {N (t), t ≥ 0} es un proceso de conteo, si y sólo si:
1. N (0) = 0 casi seguro, c.s.
2. N (t) sólo toma valores enteros y no negativos, c.s.
3. Si s < t entonces N (s) ≤ N (t).
4. N (t) − N (s) son el número de ocurrencias en el intervalo de tiempo (s, t].
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6
Proceso de Poisson
El Proceso de Poisson es un proceso de conteo que se utiliza en la modelización de fenómenos de
espera.
Un proceso de Poisson verificará:
El valor de N , V. A., en [t0 , t0 + t], es independiente de la historia anterior a t0 .
La probabilidad de “n” llegadas en un intervalo, sólo depende de su longitud.
La probabilidad de que tenga lugar un sólo suceso en un intervalo de tiempo de amplitud ∆t o dt
es proporcional a esa longitud. La probabilidad de dos o más sucesos es despreciable frente a ∆t.
El número de sucesos que ocurren en intervalos disjuntos, V. A., son independientes.
Matemáticamente:
Siendo Pn (t) = P (N (t) = n).
Dado un Proceso de Conteo, {N (t), t ≥ 0} se dice que es un Proceso de Poisson de parámetro o
intensidad λ > 0 si verifica las siguientes propiedades:
El proceso tiene incrementos independientes: Si se tiene instantes 0 ≤ t0 < t1 · · · < tn entonces
N (t1 ) − N (t0 ), N (t2 ) − N (t1 ), . . . , N (tn ) − N (tn−1 ) son independientes.
P (N (t) = 1) = λt + o(t).
P (N (t) ≥ 2) = o(t).
En un Proceso de Poisson de parámetro λ:
P (N (t) = 0) = 1 − λt + o(t)
P (N (t) = 1) = λt + o(t)
P (N (t) ≥ 2) = o(t)
El parámetro λ del Proceso de Poisson se interpreta como número de ocurrencias del fenómeno por
unidad de tiempo, INTENSIDAD:
lim
h→0+
E(N (t + h) − N (t))
=λ
h
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7
Teorema 1:
Sea {N (t), t > 0} un Proceso de Poisson de parámetro λ, entonces la variable aleatoria N (t) sigue
una distribución de Poisson de parámetro λt:
P (N (t) = n) =
(λt)n e−λt
n!
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Teorema 2:
Sea {N (t), t > 0} un Proceso de Poisson de parámetro λ, y sean 0 ≤ t0 < t1 < · · · < tn los tiempos
de ocurrencia de los sucesos.
Definamos:
τi = ti − ti−1
Entonces las variables aleatorias continuas τi , serán V. A. mutuamente independientes e
identicamente distribuidas siguiendo una distribución exponencial de parámetro λ.
f (τ ) = λe−λτ
Recı́procamente:
Si {N (t), t > 0}, es un Proceso de Conteo, y los tiempos entre ocurrencias del suceso, τi son V. A.
independientes e idénticamente distribuidas mediante la distribución exponencial de parámetro λ,
entonces {N (t), t > 0} es un Proceso de Poisson de parámetro λ.
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8
Propiedades de la Distribución Exponencial
Sea T una V. A. C. que representa el tiempo entre ocurrencias consecutivas, que sigue una
distribución exponencial de parámetro λ. Entonces su función de densidad será:
f (τ ) = λe−λτ
f (τ ) es estrictamente decreciente.
La distribución no tiene memoria.
P (T > t + ∆t|T > ∆t) = P (T > t)
Sea {X(t), t ∈ T } un proceso de Poisson, parámetro λ.
P (X(t) = n) =
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(λt)n · e−λt
n!
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Modelos de Nacimiento y Muerte
Procesos de Nacimiento y Muerte
El proceso de Poisson es útil para modelizar situaciones en las que se producen determinadas
ocurrencias de un suceso.
En otros procesos más generales, se contemplan no sólo llegadas sino también la partida de clientes.
Los procesos de Nacimiento y Muerte, son un caso general, y permiten que las tasas tanto de
nacimientos como de muertes varı́en según el número de individuos de la población.
Definición: Sea un P.E. {N (t), t ≥ 0} y un conjunto de estados E0 , E1 , E2 , . . . . Diremos que N (t)
en el instante t se encuentra en el estado i−ésimo, Ei , si N (t) = i.
Propiedades:
Existen λi , i = 1, 2, . . . y µi , i = 1, 2, . . . llamadas tasas de nacimiento y muerte
respectivamente.
Las probabilidades de transición de un estado a otro en un intervalo de tiempo (t, t + h) de
amplitud h:
P (Ei → Ei−1 ) = µi · h + o(h)
P (Ei → Ei+1 ) = λi · h + o(h)
La probabilidad de que ocurra más de un cambio de estado en un intervalo de tiempo de
amplitud h es del orden de o(h).
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Métodos Cuantitativos Org. Ind. – 16 / 43
10
Distribución de Probabildad
El proceso de Poisson es un caso particular en el que λi = λ y µi = 0.
Vamos a intentar expresar la probabilidad de encontrarnos en instante de tiempo t + h en el estado i
basándonos en las probabilidades de estar en el instante t en los diferentes posibles estados:
i, i + 1, i − 1.
Denotaremos,
Pi (t) = P (N (t) = i) ≡ Prob. que en el instante t estemos en Ei
Pi (t + h) =Pi−1 (t) · P (Ei−1 → Ei )+
Pi+1 (t) · P (Ei+1 → Ei )+
Pi (t) · P (Ei → Ei )
Pi (t + h) − Pi (t)
=Pi−1 (t) · λi−1 + Pi+1 (t) · µi+1 −
h
o(h)
Pi (t) · (λi + µi ) +
h
dPi (t)
Pi (t + h) − Pi (t)
=
= Pi′ (t) =
h→0
h
dt
Pi−1 (t) · λi−1 + Pi+1 (t) · µi+1 − Pi (t) · (λi + µi )
lim
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Ecuaciones de Balance
Llamaremos entonces al siguiente sistema de ecuaciones, el sistema de ecuaciones de balance:
(
Pi′ (t) = Pi−1 (t) · λi−1 + Pi+1 (t) · µi+1 − Pi (t) · (λi + µi )
(I)
P0′ (t) = P1 (t) · µ1 − P0 (t) · λ0
Con las siguientes condiciones iniciales:
(
P0 (0) = 1
Pi (0) = 0
∀i > 0
Este sistema da lugar a un sistema de ecuaciones diferenciales.
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11
Proceso de Poisson
Para el caso particular de un proceso de Poisson:
(
µi = 0
λ = λi
∀i
∀i
En este caso, el sistema de balance se corresponde con:
(
Pi′ (t) = Pi−1 (t)λ − λPi (t)
P0′ (t) = −λP0 (t)
Y su solución se puede comprobar que corresponde con:
Pi (t) =
e−λt (λt)i
i!
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Proceso Estacionario
Un proceso estocástico es estacionario cuando las funciones Pn (t) = P (N (t) = n) son constantes Pn ,
es decir, no depende de t.
Si el proceso es estacionario, el sistema de ecuaciones de balance se transforma en un sistema de
ecuaciones lineales:


0 = P1 · µ1 − P0 · λ0
i=0



0 = P · λ + P · µ − P · (λ + µ )
i=1
0
0
2
2
1
1
1

...



0 = P
n−2 · λn−2 + Pn · µn − Pn−1 · (λn−1 + µn−1 ) i=n-1


P1


P
2




P
n
Siendo,
cn =
= P0 λµ01
1
= P0 µλ01 ·λ
·µ2
...
1 ...λn−1
= P0 λµ0 ·λ
1 ·µ2 ...µn
λ0 · λ1 . . . λn−1
µ 1 · µ 2 . . . µn
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12
Estado Estacionario
Sabemos que Pn son probabilidades, luego:
1=
∞
X
Pn = P0 +
n=0
La condición
n=1 cn
cn P0 = P0 (1 +
n=1
P0 =
P∞
∞
X
1+
∞
X
cn )
n=1
1
P∞
n=1 cn
< ∞ es necesaria y suficiente para que exista el estado estacionario.
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22 / 43
Sistema de Colas
Descripción del Sistema
Todo fenómeno de colas se divide en cuatro secciones claramente diferenciadas:
Ingreso de clientes desde una fuente (finita o infinita).
Linea de espera o cola, puede constar de uno o más canales.
Centro de servicio donde los clientes reciben el servicio por parte de uno o más servidores.
Salida de los clientes, hacia la fuente original o hacia otro servicio.
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13
Hipótesis Consideradas
Sobre el tamaño de la población.
Sobre las llegadas: y siendo t0 < t1 < . . . los tiempos de llegadas de clientes consecutivos, y
definido τk = tk − tk−1 ,
– τk =cte. es el caso determinista.
– τk =aleatorio, Proceso de Poisson de parámetro λ.
Capacidad de la cola: finita o infinita.
Disciplina de la cola: FIFO, LIFO, RSS, RR, etc.
Mecanismo de Servicio: Determinista (mismo tiempo para cada cliente) o Aleatorio
(exponencial).
Número de servidores: 1, s o servidores en función de la demanda.
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14
Notación
Basándonos en los Procesos de Nacimiento y Muerte:
N (t): Número de clientes en el sistema en el instante t de tiempo.
Nq (t): Número de clientes en la cola en el instante t de tiempo.
Pn (t): Probabilidad de que en el instante t de tiempo se encuentren n clientes en el sistema.
s: Número de servidores operativos que forman parte del centro de servicio.
λn : Número medio de clientes que han llegado al sistema por unidad de tiempo cuando en el
sistema se encuentran n clientes.
Tasa de llegadas, si ésta no depende del número de clientes en el sistema entonces es constante
y se denota por λ.
µn : Número medio de clientes que han sido servidos en el centro de servicio por unidad de
tiempo cuando en el sistema se encuentran n clientes.
Tasa de servicio, si ésta no depende del número de clientes en el sistema representaremos por µ
el número medio de clientes que son servidos por cada servidor y por unidad de tiempo.
µn = nµ si n = 1, 2, . . . , s − 1 y µn = sµ si n ≥ s.
ρ: Intensidad de Tráfico,
ρ=
λ
.
sµ
N : Variable Aleatoria Discreta que representa el número de clientes en el sistema.
Nq : Variable Aleatoria Discreta que representa el número de clientes en la cola.
Pn : Probabilidad de que se encuentren n clientes en el sistema.
L: Número medio de clientes en el sistema, L = E(N ).
Lq : Número medio de clientes en la cola, Lq = E(Nq ).
W: Variable Aleatoria Continua que representa el tiempo que pasa un cliente en el sistema.
Wq : Variable Aleatoria Continua que representa el tiempo que pasa un cliente en la cola.
W : Tiempo medio que pasa un cliente en el sistema, W = E(W).
Wq : Tiempo medio que pasa un cliente en la cola, Wq = E(Wq ).
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15
Notación de Kendall
A/B/s
A indica la distribución del tiempo entre las llegadas consecutivas.
B indica la distribución del tiempo de servicio.
s indica el número de servidores.
M : Exponencial, Markov.
D: Determinista.
G: Genérica, normal.
Ek : Erlang.
U : Uniforme.
A/B/s/K/H/Z
K capacidad de la cola.
H tamaño de la población.
Z disciplina de la cola.
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Fórmula de Little
Para los modelos M/M/s, se verifica la siguiente relación conocida como formula de Little:
L=λ·W
Lq = λ · W q
Otra relación importante es:
W = Wq +
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1
µ
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16
Modelo M/M/1
28 / 43
M/M/1
Tiempos entre llegadas consecutivas, distribución exponencial λ.
Tiempos de servicio, distribución exponencial µ.
1 servidor.
Capacidad de la cola infinita.
Población infinita, sin restricciones.
Disciplina de la cola, FIFO.
(
λi =
µi =
λ
µ
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∀i
∀i
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17
Estado Estacionario
Tal y como hemos visto en los procesos de Nacimiento y Muerte:
λ0 . . . λn−1
P0 = cn · P0
∀n = 1, 2, . . .
µ 1 . . . µn
n
λ0 . . . λn−1
λn
λ
cn =
= n =
= ρn
∀n = 1, 2, . . .
µ 1 . . . µn
µ
µ
Pn =
1 = P0 + P1 + P2 + . . .
1 = P0 + c1 · P0 + c2 · P0 + . . .
1 = P0 + ρ · P0 + ρ2 · P0 + . . .
∞
X
1 = P0 (1 +
ρn )
n=1
P0 =
1+
1
P∞
n
n=1 ρ
La condición de proceso estacionario equivale a la convergencia de la serie geométrica:
∞
X
cn =
n=1
∞
X
ρn
n=1
Esta serie será convergente si y sólo si |ρ| < 1, al ser ρ > 0 esta condición equivale a:
ρ < 1
λ < µ
Entonces y bajo la condición de proceso estacionario, tendremos:
P0 =
Siendo entonces para n = 1, 2, . . . :
1+
1
P∞
n=1
ρn
=
1
ρ =1−ρ
1 + 1−ρ
Pn = cn · P0 = ρn · P0 = ρn (1 − ρ)
Obteniéndose entonces, una expresión general que nos determina la probabilidad de encontrar n
personas en el sistema:
Pn = ρn (1 − ρ)
∀n
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18
L
Número medio de clientes en el sistema, esperanza:
L=
∞
X
n · Pn =
n=0
(1 − ρ)ρ
∞
X
n · ρn (1 − ρ) = (1 − ρ)
n=1
∞
X
∞
X
n · ρn
n=1
n · ρn−1 =
n=1
(1 − ρ)ρ
ρ
λ
=
=
2
(1 − ρ)
1−ρ
µ−λ
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
0.2
0.4
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0.6
0.8
1
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Lq
Número medio de clientes en la cola, esperanza:
Lq =
∞
X
n · Pq n
n=0
Sabemos que si s = 1, entonces, Pq n = Pn+1 .
Lq =
∞
X
n · Pn+1 =
n=0
= L − (1 − P0 ) =
∞
X
(m − 1) · Pm =
m=1
∞
X
m · Pm −
m=1
∞
X
Pm
m=1
ρ
λ2
− (1 − (1 − ρ)) =
=
1−ρ
1−ρ
µ(µ − λ)
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ρ2
Métodos Cuantitativos Org. Ind. – 32 / 43
19
Fórmulas de Little
L=λ·W ⇒W =
Lq = λ · W q ⇒ W q =
L
1
=
λ
µ−λ
Lq
λ
=
λ
µ(µ − λ)
Además podemos comprobar que se verifica:
W = Wq +
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1
µ
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Espera de los clientes
Además si deseamos tener más información sobre la espera de los clientes en el sistema, deberemos
calcular la distribución de probabilidad de la V.A. W, tiempo pasado por un cliente en el sistema.
W ≡ exp(µ − λ)
f (t) = (µ − λ)e−(µ−λ)t
E[W] = W =
P (W < t) =
Z
1
µ−λ
t
(µ − λ)e−(µ−λ)x dx = 1 − e−(µ−λ)t
0
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Métodos Cuantitativos Org. Ind. – 34 / 43
20
Costes
Coste de Servicio Total= s · Cs .
Coste de Espera en Sistema= λ · W · CW .
Coste de Espera en Cola= λ · Wq · CW .
Coste Total= s · Cs + λ · W · CW .
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Modelo M/M/s
36 / 43
M/M/s
Tiempos entre llegadas, exponencial λ.
Tiempos de servicio, exponencial µ.
s servidores.
Capacidad de la cola infinita. Población infinita. Disciplina FIFO.
λi = λ
µi =
(
i·µ
s·µ
∀i
i = 1, 2, . . . , s − 1
i = s, s + 1, . . .
ρ=
λ
sµ
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21
Estado Estacionario
λ0 · λ1 . . . λn−1
cn =
=
µ 1 · µ 2 . . . µn
(
λn
n!µn
λn
s!sn−s µn
n = 1, 2, . . . , s − 1
n = s, s + 1, . . .
Para determinar el estado estacionario del sistema, basta con analizar la convergencia:
s−1
∞
s−1
∞
X
X
X
λs X n−s
λn
λn
λn
cn =
+
=
+
ρ
n!µn n=s s!sn−s µn n=1 n!µn s!µs n=s
n=1
n=1
∞
X
=
s−1
s−1
X
X
λn
λs
1
λn
λs
=
+
·
+
n!µn s!µs 1 − ρ
n!µn (s − 1)!µs−1 (sµ − λ)
n=1
n=1
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Métodos Cuantitativos Org. Ind. – 38 / 43
Pn
Entonces:
P0 =
Con lo que,
1+
1
P∞
n=1 cn
Pn = cn · P0 =
(
=
1
1+
Ps−1
λn
n!µn · P0
λs
n−s
s!µs · ρ
λn
n=1 n!µn
+
λs
(s−1)!µs−1 (sµ−λ)
.
n = 1, 2, . . . , s − 1
· P0
n = s, s + 1, . . .
Problemas en el cálculo de (s − 1)!.
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Métodos Cuantitativos Org. Ind. – 39 / 43
22
Cálculo Recursivo
Pn = cn · P0 =
(
λn
n!µn · P0
λs
n−s
s!µs · ρ
Definimos:
c0 =
n = 1, 2, . . . , s − 1
· P0
n = s, s + 1, . . .
λ0
= 1,
0!µ0
entonces tendremos de forma recursiva que,
cn = cn−1 ·
λ
nµ
n = 1, . . . , s − 1, y cn = cn−1 ·
λ
sµ
n = s, . . .
y por lo tanto,
∞
X
n=s
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cn = cs−1 ·
λ
1
y P0 = Ps−1
.
P
sµ − λ
cn + ∞
0
n=s cn
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Lq
Número medio de clientes en la cola, esperanza:
Lq = E(Nq ) = 0(P0 + P1 + · · · + Ps ) +
∞
X
(n − s) · Pn
n=s+1
=
∞
∞
X
X
λs
(n − s) · Pn =
(n − s) ·
· ρn−s · P0
s
s!µ
n=s
n=s
∞
∞
X
X
λs
λs
n−s
=
· P0 ·
(n − s) · ρ
=
· P0 ·
k · ρk
s
s!µs
s!µ
n=s
k=0
=
λs
ρ
λs+1 · P0
· P0 ·
=
.
s
2
s!µ
(1 − ρ)
(s − 1)!µs−1 (sµ − λ)2
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Métodos Cuantitativos Org. Ind. – 41 / 43
23
Fórmulas de Little
Wq =
Lq
λs · P0
⇒ Wq =
λ
(s − 1)!µs−1 (sµ − λ)2
W = Wq +
1
λs · P0
1
⇒W =
+
s−1
2
µ
(s − 1)!µ (sµ − λ)
µ
L=λ·W ⇒
λs+1 · P0
λ
+
s−1
2
(s − 1)!µ (sµ − λ)
µ
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Espera de los Clientes
Probabilidad de que un cliente esté en la cola o en el sistema:

λs P
−(sµ−λ)t si t ≥ 0
 1 − (s−1)!µs−10(sµ−λ) e
P (Wq ≤ t) =

0 si t < 0
P (W ≤ t) =

 1 − (1 +

λs P0 t
)e−µt
(s−1)!µs−2 (sµ−λ)
si t ≥ 0
0 si t < 0
Probabilidad de que un cliente no tenga que esperar:
P (Wq = 0) = P (Wq ≤ 0) = P (N ≤ s − 1) =
s−1
X
Pn
n=0
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Métodos Cuantitativos Org. Ind. – 43 / 43
24