regímenes financieros

REGÍMENES FINANCIEROS
Carmen Badía, Hortènsia Fontanals, Merche Galisteo, José Mª Lecina,
Mª Angels Pons, Teresa Preixens, Dídac Ramírez, F. Javier Sarrasí y
Anna Mª Sucarrats
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ECONÓMICA, FINANCIERA Y
ACTUARIAL
División de Ciencias Jurídicas, Económicas y Sociales
Universidad de Barcelona
Regímenes Financieros
1
2. REGÍMENES FINANCIEROS
2.1. DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN
Las operaciones de financiación se llevan a cabo en el mercado financiero y están sujetas a
sus condiciones de equilibrio. El mercado financiero se sirve de formas propias para definir sus
equilibrios, que se conocen como regímenes financieros.
Un régimen financiero es la expresión formal del conjunto de pactos o acuerdos que rigen una
operación de financiación en el mercado financiero. Estos acuerdos hacen referencia al precio,
a la cuantía sobre la que se calcula el precio y al momento de pago.
Los regímenes financieros se pueden clasificar según diferentes criterios. Atendiendo a su
contrastación empírica con las leyes financieras teóricas, los regímenes financieros se pueden
dividir en dos grandes grupos:
a. Regímenes financieros prácticos.
Se caracterizan por utilizar expresiones sencillas pero que presentan algunas limitaciones que
deben tenerse en cuenta en su aplicación práctica, para evitarlas suelen aplicarse en
operaciones de plazo inferior o igual a un año.
En este grupo se incluyen:
a.1. Régimen financiero de interés simple vencido. Formalmente coincide con el llamado
régimen de descuento matemático o racional.
a.2. Régimen financiero de descuento simple comercial. Formalmente coincide con el
llamado régimen financiero de interés simple anticipado.
b. Regímenes financieros racionales.
Estos regímenes cumplen todas las propiedades que desde el punto de vista teórico se exige a
la equivalencia financiera. Por este motivo se pueden aplicar en la práctica sin ningún tipo de
limitación.
Dentro de este grupo se distinguen:
Introducción a la Matemática Financiera
2
b.1. Régimen financiero de interés compuesto
b.2. Régimen financiero de descuento compuesto
En el estudio de los regímenes financieros se va a considerar una operación de financiación
elemental:
( C,T )
∼ ( C′,T ′ )
con
T′ > T
donde:
•
( C,T )
es el capital inicial de cuantía C unidades monetarias, que se hace efectiva en el
diferimiento T, expresado en años.
•
( C′,T ′)
es el capital final de cuantía C’ unidades monetarias que se hace efectiva en el
diferimiento T’, expresado en años.
•
t = T ′ − T > 0 es el plazo de la operación.
2.2. RÉGIMEN FINANCIERO DE INTERÉS SIMPLE VENCIDO
Los pactos que caracterizan al régimen financiero de interés simple vencido son:
a. El precio o interés total se paga al final de la operación conjuntamente con la devolución de
la cuantía inicial.
b. El precio o interés total es proporcional a la cuantía inicial y al plazo de la operación y se
calcula en base a una constante de proporcionalidad, i, que es el tanto nominal de interés.
Sea:
• C : Cuantía inicial
• C′ : Cuantía final
•
Y : Interés total
• i : Tanto nominal de interés (tanto anual).
•
t = T ′ − T : Plazo de la operación, expresado en años.
Regímenes Financieros
3
El esquema de la operación es:
C
C′ = C + Y
T
T′
Teniendo en cuenta los anteriores pactos resulta:
Y = i⋅C⋅t
C′ = C + Y = C + i ⋅ C ⋅ t
C′ = C ⋅ (1 + i ⋅ t )
El tanto nominal de interés es un precio unitario respecto a la cuantía inicial y medio respecto al
plazo, esto es, es un tanto anual, de modo que el plazo de la operación debe expresarse en
años.
La relación que caracteriza el régimen financiero de interés simple vencido, C′ = C ⋅ (1 + i ⋅ t ) , no
cumple las propiedades simétrica y transitiva de la equivalencia financiera. Esto tiene como
consecuencia que el factor financiero empírico que se deduce de este régimen no verifica las
propiedades de reciprocidad ni de escindibilidad que se han visto en el capítulo anterior para el
factor financiero teórico
El factor financiero empírico que se deduce de este régimen es:
f * ( T,T ′ ) = f * ( t ) =
C′ C ⋅ (1 + i ⋅ t )
=
= 1+ i ⋅ t
C
C
Se trata de una función lineal, cuya representación gráfica es:
4
Introducción a la Matemática Financiera
f *(t)
1+i⋅t
1
t
A partir de la expresión que caracteriza al régimen financiero de interés simple vencido,
C′ = C ⋅ (1 + i ⋅ t )
se deduce:
C = C′ ⋅ (1 + i ⋅ t )
i=
C′ − C
C⋅t
t=
C′ − C
C⋅i
−1
El régimen financiero de interés simple vencido también se denomina régimen financiero de
descuento matemático o racional cuando se centra el análisis en la figura del sujeto pasivo. Las
expresiones a utilizar son las mismas, únicamente se sustituye el tanto nominal de interés, i,
por el tanto nominal de descuento, d.
Ejemplo
Calcular la cuantía final que se obtiene de una imposición de 12.000 € colocados al 5% anual
en interés simple vencido durante 11 meses.
Los datos del ejemplo son:
• C = 12.000 €
• i = 0,05
•
t = 11/12 años
El esquema de la operación es:
Regímenes Financieros
12.000
0
5
C′ = C + Y
11/12 años
Aplicando directamente la expresión que caracteriza al régimen financiero de interés simple
vencido se obtiene:
11 

C′ = C ⋅ (1 + i ⋅ t ) = 12.000 ⋅  1 + 0,05 ⋅  = 12.550 €
12 

2.3. RÉGIMEN FINANCIERO DE DESCUENTO COMERCIAL
Los pactos que caracterizan el régimen financiero de descuento comercial son:
a. El precio o descuento total se hace efectivo al inicio de la operación.
b. El precio o descuento total es proporcional a la cuantía final y al plazo de la operación y se
calcula en base a una constante de proporcionalidad, d, que es el tanto nominal de descuento.
Sea:
• C : Cuantía inicial, líquido o valor descontado.
• C′ : Cuantía final o nominal.
• D : Descuento total.
• d : Tanto nominal de descuento (tanto anual).
•
t = T ′ − T : Plazo de la operación, expresado en años.
El esquema de la operación es:
C = C′ − D
T
C′
T′
6
Introducción a la Matemática Financiera
Teniendo en cuenta los anteriores pactos resulta:
D = d ⋅ C′ ⋅ t
C = C′ − D = C′ − d ⋅ C′ ⋅ t
C = C′ ⋅ (1 − d ⋅ t )
El tanto nominal de descuento es un precio unitario respecto a la cuantía final y medio respecto
al plazo, esto es, es un tanto anual, de modo que el plazo de la operación debe expresarse en
años.
Igual que en el régimen financiero de interés simple vencido, la expresión que caracteriza al
régimen financiero de descuento comercial, C = C′ ⋅ (1 − d ⋅ t ) , no cumple las propiedades
simétrica y transitiva de la equivalencia financiera, lo que tiene como consecuencia que el
factor financiero empírico que se deduce de este régimen no verifica ni la propiedad de
reciprocidad ni la de escindibilidad del factor financiero teórico.
El factor financiero empírico del régimen de descuento comercial es:
f * ( T,T ′ ) = f * ( t ) =
C′
C′
1
−1
=
=
= (1 − d ⋅ t )
′
C C ⋅ (1 − d ⋅ t ) 1 − d ⋅ t
Esta función es una hipérbola equilátera cuya representación gráfica es:
f*(t)
1
t
t=1/d
Regímenes Financieros
7
Dado que el factor financiero no puede ser negativo, la aplicabilidad de este régimen queda
limitada a operaciones cuyo plazo verifique:
0≤t< 1
d
A partir de la expresión que caracteriza al régimen financiero de descuento comercial,
C = C′ ⋅ (1 − d ⋅ t )
se deduce:
C′ = C ⋅ (1 − d ⋅ t )
d=
C′ − C
C '⋅ t
t=
C′ − C
C′ ⋅ d
−1
El régimen financiero de descuento comercial también se denomina régimen financiero de
interés simple anticipado cuando se centra el análisis en la figura del sujeto activo. Las
expresiones a utilizar son las mismas, únicamente se sustituye el tanto nominal de descuento,
d, por el tanto nominal de interés, i .
Ejemplo
Calcular el líquido resultante del descuento de un efecto comercial de nominal 14.000 €, que
vence dentro de nueve meses, y que se descuenta al 6% anual en descuento comercial.
Los datos del ejemplo son:
• C′ =14.000 €
• d = 0,06
•
t = 9/12 años
8
Introducción a la Matemática Financiera
El esquema de la operación es:
C = C’- D
14.000
0
0
9/12 años
Aplicando directamente la expresión que caracteriza al régimen financiero de descuento
comercial se obtiene:
9 

C = C '⋅ (1 − d ⋅ t ) = 14.000 ⋅  1 − 0,06 ⋅  = 13.370 €
12 

2.3.1. Tantos de interés simple vencido y de descuento comercial equivalentes
Dada la equivalencia:
( C,T )
∼
( C ',T ' )
si la operación se pacta en régimen financiero de interés simple vencido resulta:
C′ = C ⋅ (1 + i ⋅ t )
Por otra parte, si esta misma operación se pacta en régimen financiero de descuento comercial
resulta:
C = C′ ⋅ (1 − d ⋅ t )
o lo que es lo mismo,
C′ = C ⋅ (1 − d ⋅ t )
−1
Como la cuantía final, la cuantía inicial y el plazo de la operación son los mismos, para que se
verifique simultáneamente:
Regímenes Financieros
9
C′ = C ⋅ (1 + i ⋅ t )

−1 
C′ = C ⋅ (1 − d ⋅ t ) 
debe cumplirse:
(1 + i ⋅ t ) = (1 − d ⋅ t )
−1
de donde,
i=
d
1− d ⋅ t
o bien,
d=
i
1+ i ⋅ t
A los tantos i y d se les denomina tantos equivalentes y se simboliza por:
i ∼ d
Cabe destacar la dependencia del plazo de la operación de los tantos equivalentes.
Ejemplo
En el primer ejemplo se ha obtenido una cuantía final de 12.550 € como resultado de colocar
12.000 € en una cuenta al 5% anual de interés simple vencido, durante 11 meses.
El tanto anual de descuento comercial anual equivalente al 5% anual de interés simple vencido
es:
d=
0,05
1 + 0,05 ⋅
11
12
= 0,047808
El saldo final que se obtiene es el mismo tanto si se aplica un 5% anual de interés simple
vencido como si se aplica un 4,7808% anual de descuento comercial, ya que
i = 0,05 ∼ d = 0,047808 , esto es, si se aplica el tanto de descuento comercial resulta:
C′ = C ⋅ (1 − d ⋅ t )
−1
11 

= 12.000 ⋅  1 − 0,047808 ⋅ 
12 

−1
= 12.550 €
Introducción a la Matemática Financiera
10
2.4. RÉGIMEN FINANCIERO DE INTERÉS COMPUESTO A TANTO CONSTANTE Y
VENCIDO
Los pactos que caracterizan al régimen financiero de interés compuesto a tanto constante y
vencido son:
a. El precio o interés total se paga al final de la operación conjuntamente con la devolución de
la cuantía inicial.
b. El plazo total de la operación se divide en periodos de capitalización y el precio se calcula en
cada periodo aplicando una constante de proporcionalidad, i, que es el tanto nominal de
interés, a la cuantía acumulada al inicio del periodo considerado y a la extensión del mismo.
Sea:
• C : Cuantía inicial
• Cr : Cuantía acumulada al final del periodo r ( r = 1,2,...,n ) , siendo Cn = C ' .
• i : Tanto nominal de interés, (tanto anual).
•
t = T '− T : Plazo de la operación, expresado en años.
• p : Periodo de capitalización, expresado en años.
• m : Frecuencia de capitalización. Es el número de periodos de capitalización en un año. Se
cumple que m =
1
.
p
• n: Número de periodos de capitalización en que se divide el plazo de la operación. Se
cumple que n =
t
= m⋅t .
p
El esquema temporal correspondiente a este régimen es:
C
T
C1
C2
T+p
T+2p
C3
......................................
Cn-1
C’= Cn
T+3p ...................................... T+(n-1)p T’=T+np
y la evolución de la cuantía periodo a periodo:
Regímenes Financieros
DIFERIMIENTO
CUANTÍA
T
T+p
T + 2p
T + 3p
.............
T ′ = T + np
C
C1 = C + i ⋅ C ⋅ p = C ⋅ (1 + i ⋅ p)
C2 = C1 + i ⋅ C1 ⋅ p = C1 ⋅ (1 + i ⋅ p) = C ⋅ (1 + i ⋅ p)2
C3 = C2 + i ⋅ C2 ⋅ p = C2 ⋅ (1 + i ⋅ p) = C ⋅ (1 + i ⋅ p)3
.....
Cn = Cn−1 + i ⋅ Cn−1 ⋅ p = Cn−1 ⋅ (1 + i ⋅ p) = C ⋅ (1 + i ⋅ p)n
11
La relación entre la cuantía final y la cuantía inicial en el régimen financiero de interés
compuesto a tanto constante y vencido es:
C′ = C ⋅ (1 + i ⋅ p)n
o bien,
t
C′ = C ⋅ (1 + i ⋅ p)p = C ⋅ (1 + i ⋅ p) m ⋅ t
Esta ecuación cumple todas las propiedades de la equivalencia financiera, lo que implica que el
factor financiero empírico que se deduce de este régimen verifica a su vez todas las
propiedades del factor financiero teórico, siendo su expresión:
f * ( T,T ′ ) = f * ( t ) =
C′ C ⋅ (1 + i ⋅ p )
=
C
C
m⋅t
= (1 + i ⋅ p )
m⋅t
Se trata de una función exponencial cuya representación gráfica es:
f*(t)
(1+i⋅p)
m⋅t
1
t
12
Introducción a la Matemática Financiera
A partir de la expresión que caracteriza al régimen financiero de interés compuesto a tanto
constante,
C′ = C ⋅ (1 + i ⋅ p )
m⋅t
se deduce:
C = C′ ⋅ (1 + i ⋅ p )
−m⋅t
1 m⋅t
 C′ 
C
i=  
t=
−1
p
ln ( C′ C )
m ⋅ ln (1 + i ⋅ p )
Ejemplo
Se depositan 30.000 € en una cuenta durante 4 años, bajo régimen financiero de interés
compuesto a tanto constante del 3% anual capitalizable mensualmente. Hallar el saldo final.
Los datos del ejemplo son:
• C = 30.000 €
• i = 0,03
• p=
•
1
⇒ m = 12
12
t = 4
años
• n = t ⋅ m = 48
meses
El esquema de la operación es:
C
C1
C2
0
1/12
2/12
C3
.......................................
C47
3/12 .......................................... 47/12
C’= C48
4
años
Regímenes Financieros
13
Aplicando directamente la expresión que caracteriza al régimen financiero de interés
compuesto a tanto constante y vencido se obtiene:
C′ = C ⋅ (1 + i ⋅ p )
m⋅t
1

= 30.000 ⋅  1 + 0,03 ⋅ 
12 

48
= 33.819,84 €
2.4.1. Tantos de interés: tanto nominal y tanto efectivo
• Tanto nominal de interés
El tanto nominal de interés, que aparece en la expresión que caracteriza al régimen financiero
de interés compuesto, C′ = C ⋅ (1 + i ⋅ p)m⋅t , es un precio unitario respecto a la cuantía inicial de
cada periodo y medio respecto al periodo. Es un tanto anual aunque su frecuencia de
capitalización puede ser distinta a la anual. Para poner de manifiesto dicha frecuencia el tanto
nominal de interés se simboliza por im .
Ejemplo
i12 : Tanto nominal capitalizable mensualmente.
i4 : Tanto nominal capitalizable trimestralmente.
• Tanto efectivo de interés
Teniendo en cuenta que p =
1
, la relación entre cuantías:
m
C′ = C ⋅ (1 + i ⋅ p)m⋅t
puede escribirse también como:
C′ = C ⋅ (1 + im ⋅ p )
m⋅t
m⋅t
 i 
= C ⋅ 1 + m 
m

Se denomina tanto efectivo de interés con frecuencia de capitalización m, y se simboliza por
Im , al cociente entre el tanto nominal de interés y su frecuencia de capitalización:
14
Introducción a la Matemática Financiera
Im =
im
m
El tanto efectivo de interés, Im , está referido al periodo de capitalización. Es un precio unitario
respecto la cuantía inicial de cada periodo y total respecto al periodo.
En función del tanto efectivo de interés, la expresión que caracteriza al régimen financiero de
interés compuesto es:
C′ = C ⋅ (1 + Im )n = C ⋅ (1 + Im )m⋅t
Ejemplo
Si i12 = 0,03 es el tanto nominal de interés anual capitalizable mensualmente, el tanto efectivo
mensual es I12 =
0,03
= 0,0025
12
2.4.2. Tantos efectivos de interés equivalentes
Dados dos capitales financieros equivalentes:
( C,T ) ∼ ( C′,T ′)
Si la operación se pacta en régimen financiero de interés compuesto al tanto Im resulta:
C′ = C ⋅ (1 + Im )m⋅t
Si esta misma operación se pacta al tanto, Im′ , se tiene:
C′ = C ⋅ (1 + Im′ )m′⋅t
de modo que:
Regímenes Financieros
15
C′ = C ⋅ (1 + Im )



m ' ⋅t
C′ = C ⋅ (1 + Im ' ) 
m⋅t
de lo que resulta:
(1 + Im )m = (1 + Im′ )m′
siendo,
m
Im′ = (1 + Im )m′ − 1
Los tantos efectivos de interés, Im
y Im′ , reciben el nombre de tantos efectivos de interés
equivalentes, y se simboliza por:
Im ∼ Im′
Ejemplo
Dado el tanto efectivo trimestral de interés, I4 = 0,012 , hallar el tanto efectivo de interés anual
equivalente, I1 .
Para hallar I1 ∼ I4 = 0,012 se debe aplicar la siguiente fórmula:
m
Im′ = (1 + Im )m′ − 1
para el caso particular que m’ = 1 y m = 4, esto es:
4
I1 = (1 + I4 ) 1 − 1 = (1 + 0,012 ) − 1 = 0,048871
4
I4 = 0,012 ∼ I1 = 0,048871
16
Introducción a la Matemática Financiera
2.5. RÉGIMEN FINANCIERO DE INTERÉS COMPUESTO A TANTO VARIABLE Y VENCIDO
La única diferencia entre este régimen y el anterior es que el tanto nominal de interés puede
s
ser distinto en cada uno de los periodos de capitalización considerados, i( )
s = 1, 2,..., n .
El esquema de la operación es en este caso:
C
C1
T
T+p
i(1)
C2
C3
...................................... Cn-1
C’= Cn
T+2p T+3p .................................... T+(n-1)p T’=T+np
i( 2 )
i(n)
i(3)
y la evolución de la cuantía inicial:
DIFERIMIENTO
CUANTÍA
T
C
T+p
C1 = C + i( ) ⋅ C ⋅ p = C ⋅ (1 + i( ) ⋅ p)
1
1
(
)
T + 2p
2
2
1
2
C2 = C1 + i( ) ⋅ C1 ⋅ p = C1 ⋅ (1 + i( ) ⋅ p) = C ⋅ (1 + i( ) ⋅ p) ⋅ 1 + i( ) ⋅ p
T + 3p
3
3
1
2
3
C3 = C2 + i( ) ⋅ C2 ⋅ p = C2 ⋅ (1 + i( ) ⋅ p) = C ⋅ (1 + i( ) ⋅ p) ⋅ 1 + i( ) ⋅ p ⋅ 1 + i( ) ⋅ p
(
.............
T ′ = T + np
)(
)
.....
(
n
n
n
s
Cn = Cn−1 + i( ) ⋅ Cn−1 ⋅ p = Cn−1 ⋅ (1 + i( ) ⋅ p) = C ⋅ ∏ 1 + i( ) ⋅ p
s =1
)
La relación entre la cuantía final y la cuantía inicial en el régimen de interés compuesto a tanto
variable es:
(
n
s
C′ = C ⋅ ∏ 1 + i( ) ⋅ p
s =1
)
Regímenes Financieros
17
y el factor empírico que se deduce de este régimen:
f * ( T,T ' ) =
C′
=
C
(
n
s
C ⋅ ∏ 1 + i( ) ⋅ p
s =1
)
C
(
n
s
= ∏ 1 + i( ) ⋅ p
s =1
)
Teniendo en cuenta que:
( )
( )
im
⋅ p = Im
s
s
la expresión que caracteriza al régimen financiero de interés compuesto a tanto variable se
puede expresar también:
n
(
( )
C′ = C ⋅ ∏ 1 + Im
s =1
s
)
Ejemplo
Calcular la cuantía final resultante de la imposición de 12.000 € durante 4 años, bajo régimen
financiero de interés compuesto a tanto variable, si el tanto nominal de interés aplicado se
capitaliza mensualmente y para los dos primeros años es del 2,5%, para el siguiente año y
medio es del 2% y para el resto del plazo del 3%.
Los datos del ejemplo son:
• C = 12.000 €
• t = 4 años
• p=
1
⇒ m = 12
12
• n = t ⋅ m = 48
meses
'
'
= 0,025 ⇒ I12
=
• i12
'
i12
= 0,002833
12
''
''
• i12
= 0,02 ⇒ I12
=
''
i12
= 0,001667
12
'''
'''
• i12
= 0,03 ⇒ I12
=
'''
i12
= 0,0025
12
18
Introducción a la Matemática Financiera
El esquema de la operación es:
C
0
C1
C2 .................. C24
1/12 2/12 .............. 24/12
'
i12
C25 ................ C42
25/12 ............ 42/12
''
i12
= 0,025
'
I12
= 0,002833
C43 ...... C48
= 0,02
''
I12
= 0,001667
43/12 ...
'''
i12
4
años
= 0,03
'''
I12
= 0,0025
Aplicando la expresión que caracteriza al régimen financiero de interés compuesto a tanto
variable, se obtiene:
(
(
)
)
n
48
48

( s) 1 
( s)
( s)
⋅ p =12.000 ⋅ ∏  1 + i12
⋅  = 12.000 ⋅ ∏ 1 + I12
=
C′ = C ⋅ ∏ 1 + im
12 
s =1
s =1 
s =1
= 12.000 ⋅ (1 + 0,002833 )
24
⋅ (1 + 0,001667 ) ⋅ (1 + 0,0025 ) =
18
6
= 13.433,67 €
2.6. RÉGIMEN FINANCIERO DE DESCUENTO COMPUESTO A TANTO CONSTANTE
Los pactos que caracterizan al régimen financiero de descuento compuesto a tanto constante
son:
a. El precio o descuento total se paga al inicio de la operación.
b. El plazo total de la operación se divide en periodos de capitalización, y el precio se calcula
en cada periodo aplicando una constante de proporcionalidad, d, que es el tanto nominal de
descuento, a la cuantía disponible al final del periodo considerado y a la extensión del mismo.
En este régimen, la cuantía disponible se va reduciendo periódicamente como consecuencia de
la deducción del precio correspondiente a cada periodo.
El esquema temporal correspondiente a este régimen es:
Regímenes Financieros
C
C1
T
T+p
.................................... Cn-3
..............................
Cn-2
Cn-1
19
C’ = Cn
T+(n-3)p T+(n-2)p T+(n-1)p T’=T+np
Partiendo de T’, la evolución de la cuantía, periodo a periodo es:
DIFERIMIENTO
CUANTÍA
T ′ = T + np
C′ = Cn
T + (n − 1)p
Cn−1 = C '− d ⋅ C '⋅ p = C '⋅ (1 − d ⋅ p)
T + (n − 2)p
Cn−2 = Cn−1 − d ⋅ Cn−1 ⋅ p = Cn−1 ⋅ (1 − d ⋅ p) = C '⋅ (1 − d ⋅ p)2
T + (n − 3)p
Cn−3 = Cn−2 − d ⋅ Cn−2 ⋅ p = Cn−2 ⋅ (1 − d ⋅ p) = C '⋅ (1 − d ⋅ p)3
.......................
.........
T+p
C1 = C2 − d ⋅ C2 ⋅ p = C2 ⋅ (1 − d ⋅ p) = C '⋅ (1 − d ⋅ p)n−1
T
C = C1 − d ⋅ C1 ⋅ p = C1 ⋅ (1 − d ⋅ p) = C '⋅ (1 − d ⋅ p)n
siendo la expresión que caracteriza al régimen financiero de descuento compuesto:
C = C′ ⋅ (1 − d ⋅ p )
n
o bien,
t
p
C = C′ ⋅ (1 − d ⋅ p) = C′ ⋅ (1 − d ⋅ p)m⋅t
Esta ecuación cumple todas las propiedades de la equivalencia financiera, lo que implica que el
factor financiero empírico que se deduce de este régimen verifica a su vez todas las
propiedades del factor financiero teórico, siendo su expresión:
f * ( T,T ′ ) = f * ( t ) =
C′
C′
1
−m⋅t
=
=
= (1 − d ⋅ p )
m⋅t
m⋅t
C C′ ⋅ (1 − d ⋅ p )
(1 − d ⋅ p )
Se trata de una función exponencial, como la del factor financiero del interés compuesto, cuya
representación gráfica es:
20
Introducción a la Matemática Financiera
f*(t)
(1-d⋅p)
-m⋅t
1
t
A partir de la expresión que caracteriza al régimen financiero de descuento compuesto,
C = C′ ⋅ (1 − d ⋅ p )
m⋅t
se deduce:
C′ = C ⋅ (1 − d ⋅ p )
−m⋅t
1
 C  m⋅t
1−  
 C′ 
d=
p
C
ln  
 C′ 
t=
m ⋅ ln (1 − d ⋅ t )
Ejemplo
Calcular el valor descontado de un efecto comercial de nominal 20.000 € que vence dentro de
un año y medio, si se descuenta en régimen financiero de descuento compuesto a tanto
constante al 4,5% anual con periodificación semestral.
Los datos del ejemplo son:
• C′ = 20.000 €
• d = 0,045
• p=
•
1
⇒m=2
2
t = 1,5
años
• n = t ⋅m = 3
semestres
Regímenes Financieros
21
El esquema de la operación es:
C
C1
0
C2
1/2
C´=C3=20.000 €
1
1,5 años
Aplicando la expresión que caracteriza al régimen financiero de descuento compuesto se
obtiene:
C = C′ ⋅ (1 − d ⋅ p )
n
3
1

= 20.000 ⋅  1 − 0,045 ⋅  = 18.680,15 €
2

2.6.1. Tantos de descuento: tanto nominal y tanto efectivo
• Tanto nominal de descuento
El tanto nominal de descuento, que aparece en la expresión que caracteriza al régimen
financiero de descuento compuesto, C = C′ ⋅ (1 − d ⋅ p)m⋅t , es un precio unitario respecto a la
cuantía final de cada periodo y medio respecto al periodo. Es un tanto anual aunque su
frecuencia de descuento no tiene porqué ser anual. Igual que en el régimen financiero de
interés compuesto, para poner de manifiesto la frecuencia de descuento, el tanto nominal de
descuento, se simboliza por dm .
• Tanto efectivo de descuento
Teniendo en cuenta que p =
1
la relación entre cuantías:
m
C = C′ ⋅ (1 − d ⋅ p)m⋅t
puede escribirse también como:
C = C′ ⋅ (1 − dm ⋅ p )
m⋅t
m⋅t
d 

= C′ ⋅  1 − m 
m

22
Introducción a la Matemática Financiera
Se denomina tanto efectivo de descuento con frecuencia de descuento m, y se simboliza por
Dm , al cociente entre el tanto nominal de descuento y su frecuencia de descuento:
Dm =
dm
= dm ⋅ p
m
El tanto efectivo de descuento, Dm , está referido al periodo de descuento. Es un precio
unitario respecto a la cuantía final de cada periodo y total respecto al periodo.
En función del tanto efectivo de descuento, la expresión que caracteriza al régimen financiero
de descuento compuesto es:
C = C′ ⋅ (1 − Dm )n = C′ ⋅ (1 − Dm )m⋅t
Ejemplo
Si d6 = 0,15 es el tanto nominal de descuento con periodificación bimestral, el tanto efectivo
de descuento bimestral es: D6 =
d6
= 0,025 .
6
2.6.2. Tantos efectivos de descuento equivalentes
Dados dos capitales financieros equivalentes:
( C,T )
∼ ( C′,T ′ )
Si la operación se pacta en descuento compuesto al tanto Dm , resulta:
C = C′ ⋅ (1 − Dm )m⋅t
Si esta misma operación se pacta al tanto Dm′ , se tiene:
Regímenes Financieros
23
C = C′ ⋅ (1 − Dm′ )m′⋅t
de modo que:
C = C′ ⋅ (1 − Dm )



m '⋅ t
C = C′ ⋅ (1 − Dm ' ) 
m⋅t
de lo que resulta:
(1 − Dm )m = (1 − Dm′ )m′
siendo,
m
Dm′ = 1 − (1 − Dm )m′
Los tantos efectivos de descuento, Dm
y Dm′ , reciben el nombre de tantos efectivos de
descuento equivalentes y se simboliza por:
Dm ∼ Dm′
Ejemplo
Hallar el tanto efectivo de descuento semestral, D2 , equivalente al tanto efectivo de descuento
anual, D1 = 0,07 .
Para hallar D2
∼ D1 = 0,07 se debe aplicar la siguiente fórmula:
m
Dm′ = 1 − (1 − Dm )m′
para el caso particular que m’ = 2 y m = 1, esto es,
1
1
D2 = 1 − (1 − D1 ) 2 = 1 − (1 − 0,07 ) 2 = 0,03563
24
Introducción a la Matemática Financiera
2.6.3. Tantos efectivos de interés y de descuento equivalentes
Dados dos capitales financieros equivalentes:
( C,T )
∼ ( C′,T ′ )
Si la operación se pacta en régimen financiero de interés compuesto al tanto Im resulta:
C′ = C ⋅ (1 + Im )m⋅t
Si esta misma operación se pacta en régimen financiero de descuento compuesto al tanto
efectivo Dm′ , se tiene:
C = C′ ⋅ (1 − Dm′ )m′⋅t
o lo que es lo mismo,
C′ = C ⋅ (1 − Dm ' )
− m '⋅ t
de modo que:
C′ = C ⋅ (1 + Im )



− m ' ⋅t
C′ = C ⋅ (1 − Dm ' )

m⋅t
de lo que resulta:
(1 + Im )
m
= (1 − Dm′ )−m′
de donde,
Im = (1 − Dm′ )
−
m′
m
−1
o bien,
Dm′ = 1 − (1 + Im )
Los tantos efectivos de interés y de descuento, Im
−
m
m′
y
Dm′ , reciben el nombre de tantos
efectivos de interés y de descuento equivalentes y se simboliza por:
Im ∼ Dm′
Regímenes Financieros
25
Ejemplo
Hallar el tanto efectivo de interés trimestral, I4 , equivalente al tanto efectivo de descuento
anual, D1 = 0,06 .
Para hallar I4 ∼ D1 = 0,06 se debe aplicar la siguiente fórmula:
Im = (1 − Dm′ )
−
m′
m
−1
para el caso particular que m = 4 y m’ = 1, esto es,
I4 = (1 − D1 )
−
1
4
− 1 = (1 − 0,06)
−
1
4
− 1 = 0,015589
2.7. REGÍMENES FINANCIEROS INDIZADOS
2.7.1. Introducción
Todos los regímenes financieros que se han estudiado hasta
este punto del temario no
consideran explícitamente la inflación. Sin embargo, la inflación existe dentro del contexto
económico donde se desarrollan las operaciones financieras y, por lo tanto, afecta a los
mercados financieros aunque no se la explicite de una forma concreta. De hecho, no
contemplar la inflación de forma explícita dentro de la operación financiera, significa aceptar
que el precio de la misma no incluye únicamente el interés, sino que parte del precio esconde
la inflación. Expresado de forma más sencilla, dado que la inflación existe al margen de los
cálculos que se realizan para analizar una operación financiera, cuando no se considera
explícitamente, la inflación desvirtúa el cálculo del precio total de la operación, porque no se
puede precisar qué parte del precio corresponde al interés y qué parte recoge el crecimiento
general de precios de la economía.
Sea una operación financiera elemental definida en el esquema siguiente, donde f(T,T ') es el
factor financiero que recoge el interés y la inflación y m(T,T ') un factor corrector monetario que
incorpora únicamente la inflación:
26
Introducción a la Matemática Financiera
f(T ,T ’)
C
C’
T
T’
m (T ,T ’)
El siguiente ejemplo es una aplicación de los regímenes financieros sin explicitar la inflación, es
decir, tal como se utiliza hasta este punto del temario.
Ejemplo
Hallar la cuantía final a partir de una cuantía inicial de 100 € con un factor financiero de 1,10.
Datos:
• C =100
•
f(T,T ') =1,10
Se obtiene una cuantía final de:
C ' = C⋅f(T,T ') =100⋅1,10 =110
Se sabe que la cuantía final se compone de la cuantía inicial y de los intereses de la operación:
C ' = C+ Y
si C ' =110 y C =100 , entonces Y =10 .
Aparentemente el interés de la operación asciende a 10 €, pero en realidad, el interés de la
operación no es de 10 €, ya que una parte corresponde al crecimiento natural de precios.
Si la inflación acumulada durante el plazo (T,T ') es del 4%, el factor corrector monetario es
Regímenes Financieros
27
m(T,T ') =1,04 y se puede ver qué parte del interés corresponde a la inflación.
La composición real de C ' es:
C ' = C* + Y '
siendo:
C* : Cuantía inicial corregida por la inflación, es decir, expresada en unidades monetarias del
momento T ' .
Y ' : Interés resultante después de considerar la inflación.
En el ejemplo:
• C ' =110
• C* =100⋅1,04 =104
•
Y '=6
El interés calculado inicialmente, Y =10, queda reducido a Y ' = 6 ya que los 4 € restantes
corresponden a la inflación.
Existen dos formas de considerar la inflación, de forma implícita en el tipo de interés, que es la
que recoge el ejemplo anterior, y de forma explícita considerándola a parte del tipo de interés
de la operación. Cuando se considera la inflación al margen del tipo de interés se habla de
régimen financiero indizado. Para ello, es preciso definir el factor que recoge la inflación, el
factor corrector monetario.
Para una operación financiera elemental y para un plazo (T,T ') se define:
• m(T,T ') : Factor corrector monetario que recoge la inflación acumulada dentro del plazo
de T a T ' .
m(T,T ') =1+δ
• δ : Tasa de inflación en tanto unitario asociada al plazo (T,T ').
•
f R (T,T ') : Factor financiero real que recoge estrictamente la acumulación financiera del
28
Introducción a la Matemática Financiera
capital. Este factor únicamente contempla el aspecto financiero, no el crecimiento de precios
que queda explícito a través de m(T,T ') .
•
f N (T,T ') : Factor financiero nominal o indizado que recoge el aspecto financiero y el
corrector monetario. Este factor f N (T,T ') recoge la información que se atribuye al factor
financiero siempre que no se explicite la inflación separadamente, es decir, si no se utiliza un
régimen financiero indizado.
2.7.2. Factor corrector monetario
Se define m(T,T ') como un factor corrector monetario que recoge la inflación acumulada dentro
del plazo (T,T ') :
m(T,T ') =1+δ
Normalmente se cuantifica mediante un índice de precios. Es deseable que el factor corrector
monetario cumpla las mismas propiedades que el factor financiero. Esto permite una mayor
simplicidad del índice y facilita las expresiones matemáticas a utilizar. Las propiedades del
factor financiero aplicadas al factor corrector monetario son:
• Positividad
m(T,T ') > 0
• Relación entre T y T’
m(T,T ') ⋛ 1 según si T ' ⋛ T
• Existencia del recíproco
m(T,T ')⋅m(T ',T) =1
Regímenes Financieros
• Propiedad circular
m(T,T1 )⋅m(T1,T2 )⋅m(T2 ,T3 )⋅"⋅m(Tn−1,T ') = m(T,T ')
• Crecimiento del factor respecto a T ' y decrecimiento respecto a T
∆ T ' m(T,T ') > 0
∆ T m(T,T ') < 0
Aplicando las anteriores propiedades, si la inflación viene dada por periodos p, entonces:
C
C’
T +p
T
δ (m1)
T + 2p
...
T +(s −1)p T + sp
δ (m2 )
...
T +(n −1)p
δ (ms )
δ (mn )
Si δ(s)
m es la tasa de inflación asociada al periodo s, entonces:
m(T +(s −1)p,T + sp) =1+δ(s)
m
de donde se deduce que:
n
n
s=1
s=1
(
m(T,T ') = ∏ m(T +(s −1)p,T + sp) = ∏ 1+δ(s)
m
Siendo δ la tasa de inflación acumulada en todo el plazo:
n
δ= ∏ (1+δ(s)
m )−1
s=1
Ejemplo
Dada la inflación de los tres últimos trimestres:
δ(1)
4 = 0,0085
δ(2)
4 = 0,0091
δ(3)
4 = 0,0087
Calcular la inflación acumulada en los últimos 9 meses.
T ' = T +np
)
29
30
Introducción a la Matemática Financiera
0
1
0,0085
3
(
2
0,0091
3
trimestres
0,0087
)
δ= ∏ 1+δ(s)
−1= [(1+ 0,0085)⋅(1+ 0,0091)⋅(1+ 0,0087)]−1= 0,0265
4
s=1
Por lo tanto, 1,0265 es el factor corrector monetario para 9 meses.
Si la inflación es constante, el cálculo se simplifica.
Ejemplo
Si la inflación mensual constante es del 0,0032, calcular la inflación acumulada en 1 semestre.
δ12 = 0,0032
Para 1 semestre:
δ= (1+δ12 )6 −1= 0,0193
A continuación se estudian los regímenes indizados que incorporan la inflación explícitamente
separando el factor financiero real y el factor corrector monetario. Se realiza el estudio del
régimen financiero de interés simple y del régimen de interés compuesto a tanto constante.
2.7.3. Régimen indizado de interés simple vencido
En este apartado se obtienen las expresiones matemáticas a utilizar en operaciones con
régimen de interés simple cuando se incluye el factor de corrección monetaria en el cálculo.
La forma más intuitiva de incorporar la inflación dentro de la operación financiera, es realizar la
corrección de la cuantía final mediante el factor corrector monetario.
Regímenes Financieros
31
Sea:
• C'* : Cuantía del capital financiero (C ',T ') corregida por la inflación.
C'* = C '⋅m(T,T ') = (C + Y)⋅m(T,T ') = C⋅m(T,T ')+ Y⋅m(T,T ') = C* + Y *
• C* : Cuantía del capital financiero (C,T) corregida por la inflación.
C* = C⋅m(T,T ')
•
Y * : Interés de la operación (Y = C '−C) corregido por la inflación.
Y * = Y⋅m(T,T ') = (C '−C)⋅m(T,T ') = C '⋅m(T,T ')−C⋅m(T,T ') = C'* − C*
De las relaciones anteriores se desprende que si se aplica una corrección sobre la cuantía final
se están corrigiendo la cuantía y los intereses conjuntamente:
C'* = C* + Y *
siendo C* = C⋅m(T,T ')
Y * = Y⋅m(T,T ') = (C '−C)⋅m(T,T ') = C⋅f R (T,T ')−C⋅m(T,T ') = C⋅ f R (T,T ')−1⋅m(T,T ')
Así se comprueba que la corrección total de cuantía e intereses implica la utilización del factor
financiero nominal f N (T,T '), tal que:
C'* = C⋅f N (T,T ')
ya que,
C'* = C⋅m(T,T ')+ C⋅ f R (T,T ')−1⋅m(T,T ') = C⋅m(T,T ')+ C⋅f R (T,T ')⋅m(T,T ')−C⋅m(T,T ') =
= C⋅f R (T,T ')⋅m(T,T ') = C⋅f N (T,T ')
32
Introducción a la Matemática Financiera
Por lo tanto, el factor financiero nominal viene dado por el producto de:
f N (T,T ') = f R (T,T ')⋅m(T,T ')
Si en esta igualdad se tiene en cuenta que:
• T '− T = t
•
f R (T,T ') =1+iR ⋅(T '− T) siendo iR un tipo de interés real, se obtiene que:
f N (T,T ') = f R (T,T ')⋅m(T,T ')
(
)
(
f N (t) = 1+iR ⋅t ⋅(1+δ ) = 1+δ+iR ⋅t +δ⋅iR ⋅t
)
En la expresión del factor nominal se pueden ver cuatro términos que recogen,
respectivamente:
• 1 → reproduce la cuantía de la operación.
• δ→ recoge la inflación sobre la cuantía para todo el plazo.
• iR ⋅t → recoge el interés de la operación.
• δ⋅iR ⋅t → recoge la corrección inflacionaria del interés.
1
R
i ⋅t
1
δ
δ ⋅ iR ⋅ t
T
T’
f N (T,T ')
Regímenes Financieros
33
Ejemplo
• C =100
•
f R (T,T ') =1,06
• m(T,T ') =1,04
C'* = C⋅f R (T,T ')⋅m(T,T ') =100⋅1,06⋅1,04 =110,24
Se comprueba que a pesar de que los factores financiero f R (T,T ') y monetario m(T,T ')
coinciden con los del ejemplo de la introducción, el resultado C'* =110,24 difiere en 0,24 del
obtenido anteriormente. La diferencia está en la corrección monetaria sobre el interés (Y) que
(
)
aparece recogido en el cuarto término de la expresión anterior δ⋅iR ⋅t .
Si se considera corrección únicamente de la cuantía inicial, C, entonces C'*C es la cuantía final
corregida parcialmente (sólo se corrige la cuantía inicial C, no se corrige el interés).
C'*C = C* + Y
En el ejemplo
• C* =100⋅1,04 =104
•
Y = C '−C =100⋅1,06 −100 = 6
• C'*C = C* + Y =104 + 6 =110
resultado que coincide con el obtenido en el ejemplo anterior.
Matemáticamente, si no se corrige el interés, la cuantía final corregida C'*C se obtiene de:
C'*C = C* + Y = C⋅m(T,T ')+ C⋅ f R (T,T ')−1 = C⋅m(T,T ')+ f R (T,T ')−1
Efectivamente, en el ejemplo,
C'*C =100⋅[1,04 +1,06 −1] =110
34
Introducción a la Matemática Financiera
Teniendo en cuenta que el factor financiero de interés simple vencido es:
f R (t) =1+iR ⋅t
el factor financiero nominal obtenido de la corrección de cuantía inicial fC (T,T ') es:
fCN (T,T ') = m(T,T ')+ f R (T,T ')−1
fCN (T,T ') =1+δ+1+iR ⋅t −1=1+δ+ iR ⋅t
Al comparar este factor con el de indización total, previamente obtenido, se comprueba que ha
desaparecido el término correspondiente a la corrección inflacionaria del interés. En este factor
aparecen tres términos:
fCN (t) =1+δ+iR ⋅t
• 1 → reproduce la cuantía de la operación.
• δ→ recoge la inflación sobre la cuantía para todo el plazo.
• iR ⋅t → recoge el interés de la operación.
1
R
1
i ⋅t
δ
T
T’
fCN (T,T ')
Regímenes Financieros
35
2.7.4. Régimen indizado de interés compuesto
Tal como ya se ha indicado, las expresiones matemáticas del apartado anterior sólo son útiles
si se utiliza régimen financiero de interés simple. En este apartado se analiza la problemática
del
régimen de interés compuesto a tanto constante cuando se desea separar el efecto
inflacionario del factor financiero aplicado.
Se considera el siguiente esquema:
C
C’
T +p
T
δ (m1)
T + 2p
...
T +(s −1)p T + sp
δ (m2 )
...
δ (ms )
T +(n −1)p
T ' = T +np
δ (mn )
donde se refleja la inflación periodo a periodo. En general, para todo el plazo:
n
(
m(T,T ') = ∏ 1+δ(s)
m
s=1
)
y considerando un periodo s,
T + (s -1 )p
T +sp
δ (ms )
1+δ(s)
m = m(T + (s −1)p,T + sp)
Se analiza, en primer lugar, el efecto de una corrección total de cuantía e interés.
El factor financiero nominal con corrección total obtenido en el régimen financiero de interés
simple vencido para todo el plazo, es aplicable a un periodo de capitalización en el régimen
financiero de interés compuesto
36
Introducción a la Matemática Financiera
f N (T +(s −1)p,T + sp) = f R (T +(s −1)p,T + sp)⋅m(T + (s −1)p,T + sp)
Aplicando la escindibilidad,
n
f N (T,T ') = ∏ f N (T +(s −1)p,T + sp) =
s=1
n
= ∏  f R (T +(s −1)p,T + sp)⋅m(T +(s −1)p,T + sp) =
s=1
= f R (T,T ')⋅m(T,T ')
Por lo tanto, la cuantía final con corrección total se obtiene de:
C'* = C⋅f R (T,T ')⋅m(T,T ')
sustituyendo cada factor por su expresión correspondiente:
(
C'* = C⋅ 1+iRm ⋅p
)
t/p
n
s=1
n
(
)
n
(
s=1
(
R
(s)
= C⋅∏ 1+iRm ⋅p +δ(s)
m + im ⋅p⋅δm
s=1
)
R
(s)
⋅∏ 1+δ(s)
m = C⋅∏ 1+ im ⋅p ⋅1+δm =
)
iRm ⋅p =IRm , tanto de interés efectivo real por periodo.
n
(
R (s)
C'* = C⋅∏ 1+IRm +δ(s)
m +Im ⋅δm
s=1
)
Si se analiza cada término del factor, se tiene:
• 1→ representa la cuantía.
• IRm → tipo de interés real efectivo utilizado que recoge el precio financiero.
• δ(s)
m → tasa de inflación por periodo que realiza la corrección monetaria de la cuantía.
• IRm ⋅δ(s)
m → producto que añade la corrección monetaria del interés.
Este último término ( IRm ⋅δ(s)
m ) es el más discutible. Parece más lógico corregir únicamente el
interés que se haya acumulado hasta el inicio del periodo, y no el interés devengado durante
Regímenes Financieros
37
dicho periodo. Para corregir únicamente los intereses acumulados en periodos anteriores se
puede recurrir al siguiente esquema donde se realiza en cada periodo una corrección parcial de
cuantías:
C
T
δ(1)
m
C1
C2
T+p
T+2p
δ(2)
m
C3
......................................
C'*C
Cn-1
T+3p ...................................... T+(n-1)p T’=T+np
δ(3)
m
δ(n)
m
DIFERIMIENTO
CUANTÍA
T
C
(
)
(
)
T +p
(1)
R
+ C⋅IRm = C⋅ 1+δ(1)
C1 = C⋅ 1+δm
m +Im
T + 2p
(2)
(2) R
R
(2) R
+ C1⋅IRm = C1⋅ 1+δm
+Im = C⋅ 1+δ(1)
C2 = C1⋅ 1+δm
m +Im ⋅ 1+δm +Im
T + 3p
(
(
)
(
)
) (
)(
)
) = C⋅(1+δ +I )⋅(1+δ +I )⋅(1+δ
(
(3)
(3) R
+ C2 ⋅IRm = C2 ⋅ 1+δm
+Im
C3 = C2 ⋅ 1+δm
.............
(1)
m
R
m
(2)
m
R
m
(3) R
m +Im
)
.....
n
(
(s) R
Cn = C⋅∏ 1+δm
+Im
T′ = T +np
s=1
)
De donde se deduce:
n
(
(s) R
C'*C = C⋅∏ 1+δm
+Im
s=1
)
Esta expresión, como era de prever, es similar a la obtenida en el caso de corrección total, pero
no contiene el término ( IRm ⋅δ(s)
m ) que corrige monetariamente el interés del periodo s.
Ejemplo
Calcular el saldo de una imposición de 30.000 € si se aplica régimen financiero de interés
compuesto indizado respecto a cuantía. El tipo de interés real aplicado es el 2% anual, el plazo
de la operación 3 años y los factores correctores anuales han sido de:
38
Introducción a la Matemática Financiera
•
m(0,1)=1,025
•
m(1,2)=1,03
•
m(2,3)=1,032
Corrección parcial:
3
(
C'*C = C⋅∏ 1+δ1(s) +I1R
s=1
)
C'*C = 30.000⋅(1+ 0,025 + 0,02 )⋅(1+ 0,03 + 0,02 )⋅(1+ 0,032 + 0,02 ) = 34.629,21 €
Corrección total:
3
(
C'* = C⋅∏ 1+δ1(s) +I1R +δ1(s) ⋅I1R
s=1
)
C'* = 30.000⋅(1+ 0,025 + 0,02 + 0,025⋅0,02 )⋅(1+ 0,03 + 0,02+ 0,03⋅0,02 )⋅
⋅(1+ 0,032+ 0,02+ 0,032⋅0,02 ) = 34.686,66 €
La diferencia entre este resultado y el anterior se debe a la corrección del interés.
2.7.5. Tipo de interés real
Una problemática interesante es calcular el interés que realmente se ha aplicado en una
operación financiera cuando no se utilizan regímenes indizados en su cálculo, a pesar de la
existencia de la inflación dentro del plazo. Es decir, lo que ocurre habitualmente en el mercado.
2.7.5.1. Tipo de interés real en interés simple
En el caso particular del régimen de interés simple y bajo la hipótesis de corrección monetaria
total, de la relación
(
)
f N (T,T ') = 1+iR ⋅t ⋅(1+δ ) =1+iN ⋅t
se deduce que:
Regímenes Financieros
39
1+iN ⋅t
−1 N
i ⋅t −δ
iR = 1+δ
=
t
(1+δ)⋅t
Ejemplo
Dado un depósito a 6 meses retribuido al 5% anual en régimen de interés simple, sabiendo que
la inflación para los próximos 6 meses se estima en un 2%, calcular el tipo de interés real que
se obtendrá en el depósito, aplicando corrección total.
Datos:
•
1
t = años
2
• iN = 0,05
• m(0,1/ 2) =1,02
1
0,05⋅ −0,02
N
i
t
⋅
−δ
2
iR =
=
= 0,0098039 = 0,9%
1
(1+δ)⋅t
(1+ 0,02 )⋅
2
Se constata que el interés inicial del 5% anual se reduce a un interés real del 0,9% al
considerar una inflación del 2% semestral.
Comprobación para una imposición de 1.000 €, utilizando un factor nominal que incorpora la
inflación:
(
)
C⋅ 1+iN ⋅t = C'*
1

1.000⋅ 1+ 0,05⋅  =1.025 €
2

Explicitando inflación e interés:
(
)
C⋅ 1+iR ⋅t ⋅(1+δ ) = C'*
1

1.000⋅ 1+ 0,0098039⋅ ⋅1,02 =1.025 €
2


Se puede constatar que el interés realmente aplicado iR es 0,009.
40
Introducción a la Matemática Financiera
Si se considera corrección monetaria parcial, siguiendo el mismo razonamiento anterior y
partiendo de la expresión general,
fCN (T,T ') = f R (T,T ')+m(T,T ')−1
si se concreta para el régimen de interés simple:
fCN (T,T ') =1+iN ⋅t =1+iR ⋅t +δ
y despejando el interés real:
iR =
iN ⋅t −δ
t
Ejemplo
Siguiendo con el ejemplo anterior, el interés real con corrección únicamente de cuantía, es:
iN ⋅t −δ
i =
=
t
R
1
0,05⋅ −0,02
2
= 0,01=1%
1
2
Comprobación:
Si se utiliza régimen indizado con corrección parcial de cuantía:
(
)
C⋅ 1+iR ⋅t +δ = C'*C
1


1.000⋅ 1+ 0,01⋅ + 0,02  =1.025 €
2


41
Regímenes Financieros
2.7.5.2. Tipo de interés real en interés compuesto
En el caso del régimen de interés compuesto, los factores se definen:
(
- Factor financiero nominal, que incluye interés e inflación: f N (T,T ') = f N (t) = 1+INm
(
- Factor financiero, que sólo incluye el interés: f R (T,T ') = f R (t) = 1+IRm
)
n
n
(
- Factor corrector monetario, que recoge la inflación: m(T,T ') = m(t) = ∏ 1+δ(s)
m
s=1
donde:
• INm es el tipo de interés efectivo con inflación implícita.
• IRm es el tipo de interés efectivo real, que recoge únicamente el precio financiero.
• δ(s)
m es el tipo de inflación aplicado en cada periodo s .
Si se supone corrección total de cuantía e intereses el factor nominal es:
n
(
R (s)
f N (T,T ') = ∏ 1+IRm +δ(s)
m +Im ⋅δm
s=1
En el caso particular en que δ(s)
m =δm entonces
(
f N (T,T ') = 1+IRm +δm +IRm ⋅δm
Se cumple, por tanto, que
1+INm =1+IRm +δm +IRm ⋅δm
de donde:
IRm =
INm −δm
1+δm
)
n
)
)
)
n
42
Introducción a la Matemática Financiera
Ejemplo
Siguiendo con el ejemplo utilizado en el régimen de interés simple, pero aplicando régimen de
interés compuesto y para el plazo de 1 año, con tipo de interés nominal con capitalización
semestral, se tiene:
• C =1000 €
• iN2 = 0,05
• p=
•
1
2
t =1
• m(0,1/ 2) =1,02
• iN2 ⋅p =IN2 = 0,025
IR2 =
IN2 −δ2 0,025 −0,02
=
= 0,00490196
1+δ2
1,02
Comprobación:
Utilizando el factor financiero nominal,
(
C⋅ 1+INm
)
n
= C'*
1.000⋅(1+ 0,025 ) =1.050,62 €
2
Aplicando el factor financiero real y el corrector monetario,
(
C⋅ 1+IRm +δm +IRm ⋅δm
)
n
= C'*
1.000⋅(1+ 0,00490196 + 0,02 + 0,00490196⋅0,02 ) =1.050,62 €
2
Si la inflación es variable para cada periodo:
(
f N (T,T ') = 1+INm
)
n
n
(
R (s)
= ∏ 1+IRm +δ(s)
m +Im ⋅δm
s=1
)
Regímenes Financieros
43
de donde, para cada periodo:
IR(s)
m =
INm −δ(s)
m
(s)
1+δm
Ejemplo
Para una imposición de 1.000 € y para un plazo de 3 años, calcular el interés real aplicado en
cada periodo, sabiendo que el interés nominal del depósito es del 4,5% con capitalización
trimestral y que el IPC para cada uno de los años ha sido:
• Año 1 → 1,04
• Año 2 → 1,03
• Año 3 → 1,025
El tipo de interés efectivo anual equivalente es:
IN4 =
(
I1N = 1+IN4
)
4
iN4 0,045
=
= 0,01125
4
4
−1= (1+ 0,01125 ) −1= 0,04576508
4
Para el primer año, el tipo de interés real resultante:
IN −δ1(1)
I1R(1) = 1 (1)
= 0,005543346
1+δ1
para el segundo año:
IN −δ1(2)
I1R(2) = 1 (2)
= 0,01530590219
1+δ1
y para el tercer año:
IN −δ1(3)
I1R(3) = 1 (3)
= 0,020258614
1+δ1
44
Introducción a la Matemática Financiera
Comprobación:
• Factor nominal:
'*
(
C = C⋅
1+INm
)
n
12
1

=10.000⋅ 1+ 0,045⋅  =11.436,74 €
4

• Factor corregido con inflación:
n
(
)
(s) R(s) (s)
C'* = C⋅∏ 1+IR(s)
m +δm +Im ⋅δm =
s=1
=10.000⋅(1+ 0,0055433461+ 0,04 + 0,00554334610,04
⋅
)⋅
⋅ (1+ 0,01530590291+ 0,03 + 0,015305902910,03
⋅
)⋅
⋅ (1+ 0,020258614 + 0,025 + 0,020258614⋅0,025 ) =11.436,74 €
Para el caso de corrección parcial de cuantía, el factor nominal es:
n
(
R
fCN (T,T ') = ∏ 1+δ(s)
m +Im
s=1
)
Caso particular: Inflación constante para todo el plazo δ(s)
m =δ
(
1+INm
)
n
n
(
) (
R
R
= ∏ 1+δ(s)
m +Im = 1+δ+Im
s=1
)
n
IRm =1+INm −1−δ=INm −δ
Ejemplo
Siguiendo con el ejemplo utilizado en el régimen de interés simple, pero aplicando régimen de
interés compuesto y para el plazo de 1 año, con tipo de interés nominal con capitalización
semestral, se tiene:
• C =1000 €
• iN2 = 0,05
Regímenes Financieros
• p=
•
45
1
2
t =1
• m(0,1/ 2) =1,02
• iN2 ⋅p =IN2 = 0,025
IR2 = 0,025 −0,02 = 0,005
Comprobación:
Utilizando el factor financiero nominal,
(
C⋅ 1+INm
)
n
= C'*
1.000⋅(1+ 0,025 ) =1.050,62 €
2
Aplicando el factor financiero real y el corrector monetario,
(
)
n
C⋅ 1+IRm +δ = C'*C
1.000⋅(1+ 0,005 + 0,02 ) =1.050,62 €
2
Caso general: Inflación variable periodo a periodo
En este caso es necesario calcular el interés real resultante para cada periodo. Para un periodo
s determinado, se igualan los dos factores:
(s)
1+INm =1+IR(s)
m +δm
y el tipo de interés real resultante se obtiene de:
N
(s)
IR(s)
m =Im −δm
46
Introducción a la Matemática Financiera
Ejemplo
Para una imposición de 1.000 € y para un plazo de 3 años, calcular el interés real aplicado en
cada periodo, sabiendo que el interés nominal del depósito es del 4,5% con capitalización
trimestral y que el IPC para cada uno de los años ha sido:
• Año 1 → 1,04
• Año 2 → 1,03
• Año 3 → 1,025
El tipo de interés efectivo anual equivalente es:
IN4 =
(
I1N = 1+IN4
)
4
iN4 0,045
=
= 0,01125
4
4
−1= (1+ 0,01125)4 −1= 0,04576508
Para el primer año, el tipo de interés real resultante:
1+I1N =1+I1R(1) +δ1(1) → I1R(1) =I1N −δ1(1) = 0,04576508 −0,04 = 0,0576508
para el segundo año:
I1R(2) =I1N −δ1(2) = 0,04576508 −0,03 = 0,01576508
y para el tercer año:
I1R(3) =I1N −δ1(3) = 0,04576508 −0,025 = 0,02056508
Comprobación:
•
Factor nominal:
C'*C
(
= C⋅
1+INm
)
n
12
1

=10.000⋅ 1+ 0,045⋅  =11.436,74 €
4

Regímenes Financieros
•
47
Factor corregido con inflación
n
(
)
(s)
C'*C = C⋅∏ 1+IR(s)
m +δm =10.000⋅(1+ 0,00576508 + 0,04 )⋅(1+ 0,01576508 + 0,03)⋅
s=1
⋅ (1+ 0,02056508 + 0,025 ) =11.436,74 €
Ejercicio
En una libreta de ahorro se depositaron hace 2 años 5.000 €, bajo régimen financiero de
interés compuesto al 2% semestral en términos reales. Si se corrige la cuantía de acuerdo con
la inflación y sabiendo que el índice de precios al consumo fue del 102 para el primer año y de
105 para el segundo año, ambos base 100, calcular:
a. Cuantía final corregida parcialmente respecto a cuantía.
b. Cuantía final totalmente corregida por la inflación.
I.P.C.(0,1) =102; δ1(1) = 0,02; m(0,1) =1,02
I.P.C.(1,2) =105; δ1(2) = 0,05; m(1,2) =1,05
a. Cuantía final corregida parcialmente:
n
(
C'*C = C⋅∏ 1+IRm +δ(s)
m
s=1
)
R
δ(s)
m y Im han de tener la misma periodicidad. Siempre coincidirá con la periodicidad del tanto
inflacionista: IR2 = 0,02 → I1R = 0,0404.
2
(
)
C'*C = 5.000⋅∏ 1+I1R +δ1(s) = 5.000⋅(1+ 0,0404 + 0,02 )⋅(1+ 0,0404 + 0,05 ) = 5.781,30 €
s=1
b. Cuantía final totalmente corregida:
n
(
R (s)
C'* = C⋅∏ 1+IRm +δ(s)
m +Im ⋅δm
s=1
)
48
Introducción a la Matemática Financiera
2
(
)
(s) R (s)
C'* = C' ⋅m(0,2) = C⋅∏ 1+I1R +δm
+I1 ⋅δm =
s=1
= 5.000⋅(1+ 0,0404 + 0,02 + 0,0404⋅0,02 )⋅(1+ 0,0404 + 0,05 + 0,0404⋅0,05 ) = 5.796,42 €
También se obtiene el mismo resultado si:
C'* = 5.000⋅f ( 0,2 )⋅m ( 0,2 ) = 5.000⋅1,04042 ⋅1,02⋅1,05 = 5.796, 42 €