transparencias

Electrones libres
Electrones Bloch
Ec. Boltzmann
Cond. Eléctrica
Efectos termoeléctricos
Transporte con H̄
1.4 Conductividad Eléctrica DC
Mec. de dispersión
Cuantización
Electrones libres
Electrones Bloch
Ec. Boltzmann
Cond. Eléctrica
Efectos termoeléctricos
Transporte con H̄
Mec. de dispersión
Cuantización
Conductividad Eléctrica DC (Ohmica)
j̄(r̄, t) =
X
j̄n (r̄, t) =
n
X
n
Z
2(−e)
ZB
d k̄
v̄n (k̄)gn (r̄, k̄, t)
(2π)3
{n}: bandas parcialmente ocupadas
Suponiendo un sistema homogeneo, e introduciendo la distribucíón de portadores en
aproximación lineal:
j̄ =
X
j̄n =
n
X
Z
2(−e)
ZB
n
h
i
d k̄
e
v̄n (k̄) g0,n (k̄) + τn (k̄)Ē · ∇k̄ g0,n (k̄)
(2π)3
~
g0,n (k̄) ≡ f (εn (k̄)) ⇒ g0,n (k̄) = g0,n (−k̄) puesto que εn (k̄) = εn (−k̄)
El primer termino se anula (v̄n
(k̄) =−v̄n (−k̄)).
∂f
Usando ∇k̄ f (εn (k̄)) = ~v̄n (k̄)
∂ε ε=εn (k̄)
j̄ =
X
n
j̄n =
X
n
2e2
Z
ZB
d k̄
∂f
τn (k̄)v̄n (k̄) −
Ē · v̄n (k̄)
3
(2π)
∂ε ε=εn (k̄)
Electrones libres
Electrones Bloch
Ec. Boltzmann
Cond. Eléctrica
Efectos termoeléctricos
Transporte con H̄
Mec. de dispersión
Cuantización
Tensor Conductividad Eléctrica
¯ Ē, σ̄
¯=
j̄ = σ̄
X
¯n , {n}: bandas parcialmente ocupadas
σ̄
n
¯n = 2e2
σ̄
Z
ZB
I
I
d k̄
∂f
τ
(
k̄)
v̄
(
k̄)
v̄
(
k̄)
−
n
n
n
(2π)3
∂ε ε=εn (k̄)
¯n ]ij = 2e2
[σ̄
Z
. . . vn,i (k̄)vn,j (k̄) . . .
ZB
¯ ]ij = σδij j̄ k Ē (muchos metales y semiconduc.)
Cristal con simetría cúbica [σ̄
k T
∂f
∼ δ(ε − εF ) + o( εB )2 : Evaluamos τ en εF y sale fuera de la
En un metal − ∂ε
F
∂f
= − ~1 ∇k̄ f (εn (k̄)) para integrar por partes:
integral. Usamos v̄n (k̄) − ∂ε
ε=εn (k̄)
¯n = 2e2 τn (εF )
σ̄
Z
ZB
d k̄
∇ v̄n (k̄)f (εn (k̄)) = 2e2 τn (εF )
(2π)3 ~ k̄
Z
con Mn (k̄): tensor masa efectiva. Usando que
¯n = 2e2 τn (εF )
σ̄
Z
vacios
d k̄
(2π)3
−
1
Mn (k̄)
d k̄
3
ZB (2π)
= 2e2 τn (εF )
Z
occ
d k̄
M−1
n (k̄)
(2π)3
Mn (k̄) = 0
Z
vacios
d k̄ −M−1
n (k̄)
(2π)3
Electrones libres
Electrones Bloch
Ec. Boltzmann
Cond. Eléctrica
Efectos termoeléctricos
Transporte con H̄
Mec. de dispersión
Cuantización
Tensor Conductividad Eléctrica
I
Para materiales en los que los estados que contribuyen están cerca de extremos
de banda recuperamos el resultado de electrones "libres"
1
ne2 τ
¯n )ij =
electrones
M−1
= ∗ δij ⇒
(σ̄
δij
n (k̄)
ij
m
m∗
2τ
1
n
e
h
¯n )ij =
huecos
−M−1
= − ∗ δij ⇒
(σ̄
δij
n (k̄)
ij
m
m∗
Z
d k̄
densidad de electrones
n=2
3
occ (2π)
Z
d k̄
nh = p = 2
densidad de huecos
3
vacios (2π)