Desarrollo en serie de Taylor

Desarrollo en serie de Taylor
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Desarrollo en serie de Taylor para una función de una variable.
El desarrollo en serie de la función f (x) en el punto a es:
f ( x) = f (a ) +
f ' (a )( x − a )
f ' ' (a)( x − a) 2
f n (a)( x − a) n
+
+ ··· +
+ Rn
1!
2!
n!
Siendo Rn el resto de Lagrange: Rn =
f n +1 (θ )( x − a ) n +1
, donde θ es un valor entre a y x.
(n + 1) !
n ! se lee n factorial y corresponde a la multiplicación de todos los valores enteros desde n a 1:
n ! = n · (n–1) · (n–2) · (n–3) · .... · 4 · 3 · 2 · 1. Ejemplo: 6 ! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
Cuando el punto del desarrollo es a = 0, al desarrollo se la llama también desarrollo de Maclaurin.
Desarrollos en serie de algunas funciones.
x2
x3
x4
+
+
+ ···
2!
3!
4!
ex = 1 + x +
ln x = ( x − 1) −
( x − 1) 2
+
2
ln(1 + x) = x −
x2
x3
+
−
2
3
−∞< x< ∞
( x − 1)3
−
3
( x − 1) 4
+
4
x4
x5
+
− ···
4
5
1
= 1 − x + x 2 − x3 + x 4 − x5 + · · ·
1+ x
−1 < x < 1
1
1 2
1·3 3
x −
x +
x − ···
2
2·4
2·4·6
−1 < x < 1
−1 < x ≤ 1
x3
x5
x7
sen x = x −
+
−
+ ···
3!
5!
7!
−∞< x<∞
x2
x4
x6
+
−
+ ···
2!
4!
6!
−∞< x<∞
cos x = 1 −
senh x = x +
x3
x5
x7
+
+
+ ···
3!
5!
7!
−∞< x<∞
cosh x = 1 +
x2
x4
x6
+
+
+ ···
2!
4!
6!
−∞< x<∞
arcsen x = x +
arccos x =
−1 < x < 1
−1 < x < 1
x
= x + 2 x 2 + 3x3 + 4 x 4 + 5 x5 + · · ·
2
(1 − x)
1+ x = 1 +
0 < x ≤ 2
−1 < x ≤ 1
1
= 1 − 2 x + 3x 2 − 4 x3 + 5 x 4 − 6 x5 + · · ·
(1 + x) 2
1
= 1 + x + x 2 + x3 + x 4 + x5 + · · ·
1− x
( x − 1)5
− ···
5
1 x3
1·3 x5
1·3·5 x 7
+
+
+ ···
2 3
2·4 5
2·4·6 7
−1 < x < 1
⎞
1·3·5 x 7
1·3 x 5
1 x3
π ⎛
π
− arcsen x = − ⎜⎜ x +
+
+
+ · · · ⎟⎟
2·4·6 7
2·4 5
2 3
2 ⎝
2
⎠
1
1
⎧ π 1
⎪− 2 − x + 3 x 3 − 5 x 5 + · · · x ≤ −1
⎪
⎪
⎪
x3
x5
x7
−1 < x < 1
+
−
+ ···
⎪x −
arctan x = ⎨
3
5
7
⎪
⎪
⎪π − 1 + 1 − 1 + ···
x ≥1
⎪2 x
3x3
5 x5
⎪
⎩
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−1 < x < 1