T8-Pagina_169

8
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
PÁGINA 169
Pág. 1
1 Comprueba si R (2, 7), S (5, –1) y T (15, –25) están alineados.
Ä8
Ä8
Ä8
° 3
RS = (5 – 2, –1 – 7) = (3, –8)
8
Ä8
¢ 10 ? 24 8 RS no es paralelo a RT.
ST = (15 – 5, –25 + 1) = (10, –24) £
Los tres puntos, R, S y T, no están alineados.
2 Averigua el valor de a para que los puntos R (2, 7), S (5, –1) y Q (a, –25) estén alineados.
Ä8
°
RS = (3, –8)
Ä8
¢ Para que R, S y Q estén alineados, se ha de cumplir que:
SQ = (a – 5, –24) £
3 = –8 8 3 = 1 8 a – 5 = 9 8 Luego, a = 14.
a – 5 –24
a–5 3
3 Dados los puntos A(0, 1), B(2, 5), P (x, y), averigua qué relación deben cumplir x e
y para que P esté alineado con A y B.
Ä8
AB = (2 – 0, 5 – 1) = (2, 4) °
2
4
Ä8
¢ Para que P esté alineado con A y B 8 x = y – 1 8
AP = (x – 0, y – 1) = (x, y – 1) £
8 2 (y – 1) = 4x 8 y – 1 = 2x 8 y = 2x + 1
La relación buscada entre x e y es y = 2x + 1.
4 Averigua el valor de t para que A(1, 2), B (7, –11) y C (t, 2t) estén alineados.
Ä8
AB = (7 – 1, –11 – 2) = (6, –13) °
6
–13
Ä8
¢ A, B y C estarán alineados si t – 1 = 2t – 2 8
AC = (t – 1, 2t – 2)
£
8 6 (2t – 2) = –13(t – 1) 8 12t – 12 = –13t + 13 8 25t = 25 8 t = 1
5 En la figura de la derecha, ¿cómo es posible que el rectángulo, que tiene 5 Ò 13 = 65
cuadritos, se pueda descomponer en los mismos cuatro fragmentos que el cuadrado, que tiene 8 Ò 8 = 64 cuadritos?
El secreto está en que los puntos
O, A, B y C no están alineados.
C
II
I
Compruébalo tomando O (0, 0),
I
II
A(5, 2), B (8, 3), C (13, 5) y proB
8
II
A
II
bando que el vector OA no es paI
I
8
O
ralelo al vector AB .
8
8
8
OA(5, 2) y AB = (8 – 5, 3 – 2) = (3, 1); OC(13, 5)
8
8
OA y AB no son paralelos, pues 3 ? 1 .
5 2
8
8
OC y AB no son paralelos, pues 3 ? 1 .
13 5
Los puntos O, A, B y C no están alineados.
Unidad 8. Geometría analítica