Vectores, fuerzas y momentos.

Vectores, fuerzas y momentos.
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Las magnitudes físicas pueden ser escalares o vectoriales.
Las magnitudes escalares quedan definidas con un número y una unidad. (Masa,
temperatura...)
Las magnitudes vectoriales necesitan además la dirección y el sentido para quedar
perfectamente definidas. (Velocidad, fuerza…)
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Los vectores se suelen definir con sus componentes cartesianas:
r
r
v
v
a = axi + a y j + az k
También quedan determinados conociendo su módulo y sus cosenos directores:
Teniendo en cuenta que: cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1
Conociendo el módulo y dos cosenos directores es suficiente.
• Tipos de vectores
Decimos que un vector es fijo cuando tiene su origen en un punto concreto.
Decimos que es deslizante si conocemos la recta en la que está aplicado.
Decimos que es libre si solo especificamos su módulo dirección y sentido.
• Vectores axiales
Los vectores en física también se utilizan para representar la velocidad angular, para
ello se utiliza un vector cuyo módulo nos da el valor de la velocidad, su dirección es
perpendicular al plano del movimiento circular y su sentido viene determinado por la
regla del sacacorchos.
Del mismo modo se representan magnitudes como la aceleración angular y el momento
angular:
• Suma de vectores
Para sumar varios vectores gráficamente puede utilizarse la regla del polígono, se
colocan los vectores uno a continuación de otro y la resultante es el vector que va desde
el origen del primero al extremo del último:
Para calcular la resultante de dos vectores en los que conocemos su módulo y el ángulo
que forman podemos utilizar el teorema del coseno:
a + b = a 2 + b 2 + 2ab cos α
Siendo α el ángulo que forman a y b
• Producto escalar de dos vectores
Al multiplicar escalarmente dos vectores obtenemos como resultado un número que
equivale al producto de los módulos de los vectores por el coseno del ángulo que
forman
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Producto vectorial de dos vectores
El producto vectorial de dos vectores es otro vector cuyo módulo es igual al producto
de los módulos de los vectores por el seno del ángulo que forman, cuya dirección es
perpendicular al plano que forman los dos vectores y cuyo sentido viene dado por la
regla del sacacorchos
• Momento de un vector respecto a un punto
El momento de un vector respecto a un punto (O) es el producto vectorial del vector
que va desde O hasta el origen del vector por dicho vector.
En física es muy importante el momento del vector fuerza:
r r r
M =r×F
El momento de una fuerza se mide en N.m en el S.I:
M = F r senα = F d
Siendo d la distancia entre el punto y la recta en que está aplicada la fuerza.
Por tanto el momento de una fuerza respecto a un punto no cambia al deslizarse la
fuerza por su línea de acción.
• Teorema de Varignon
El momento de la resultante de varias fuerzas concurrentes respecto a un punto es
igual a la suma de los momentos de cada una de las fuerzas respecto a dicho punto.
• Resultante de dos fuerzas paralelas.
La resultante de dos fuerzas paralelas es otra fuerza cuyo módulo es la suma de los
módulos de las dos fuerzas y cuyo punto de aplicación podemos calcular buscando
un punto de la recta que une los dos puntos de aplicación tal que los momentos de
las dos fuerzas respecto a ese punto sean opuestos.
Se cumplirá por tanto que
F1 d1 = F2 d2 siendo d1 y d2 las distancias de cada
fuerza al punto de aplicación de la resultante
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Ejercicios de autoevaluación:
1. Dados dos vectores por sus componentes cartesianas A = (1, 2, 3) y B = (2, -1, 1)
Calcular
a) El vector 2 A – B
b) El módulo de A + B
c) El producto escalar de A·B
d) El producto vectorial de AxB
e) El ángulo que forman A y B
f) Un vector unitario de la dirección de A
g) El momento de A respecto al origen, suponiendo que A está
aplicado el punto (2, 2, 2)
Soluciones:
a) (0, 5, 5) b) 5,1
c) 3
d) (5, 5, -5)
2
3 
 1
e) 70,89 º f) 
,
,
 g) (2, -4, 2)
 14 14 14 
2. Calcula la resultante de dos fuerzas de 18 y 24 N aplicadas en el mismo cuerpo si
forman un ángulo de 30º
Solución: 40,6 N
3. Calcula el módulo y los cosenos directores del vector (6, 4, 10)
Soluciones: 12,3
0,487
0,324
y
0,811
4. Se coloca n cuerpo de 20 kg en un plano inclinado 30º respecto a la horizontal.
Calcula la fuerza normal que ejerce el plano sobre el cuerpo. (g = 9,8 en unidades del
S.I.)
Solución: 169,7 N
5 ¿Son perpendiculares los siguientes vectores: (2, 1, -2) y (3, 2 y 4)?
Solución: Si