Errores - Aprende Matemáticas

1
Errores
La arista de un cubo variable crece a razón de 3 cm/s. ¿Con qué rapidez está creciendo
el volumen cuando la arista tiene 10 cm de longitud?
Ejemplo
1
• Sabemos que el volumen de un cubo se calcula por medio de la fórmula: V = L3 . De aquí
podemos encontrar dV = 3L2 dL.
• Nosotros conocemos la rapidez con la que crece la arista, dL/dt, y queremos encontrar la
rapidez con la que crece el volumen, esto es, dV/dt.
• Entonces, requerimos encontrar dV/dt, conocidos dL/dt y L. Sustituyendo los valores conocidos obtenemos:
dV
dL
= 3 L2
= 3 (10)2 (3) = 900cm3 /seg.
dt
dt
Si se mide el radio de una esfera, se encuentra que es 20 cm., con un error máximo
de 0.05 cm. Aproxime el error máximo que puede cometerse al calcular el área de la
esfera con estos datos.
Ejemplo
2
• Sabemos que la superficie de una esfera se calcula por medio de la fórmula: A = 4 πr2 .
• Para encontrar el error máximo cometido al calcular la superficie de la esfera podemos
utilizar diferenciales.
• Encontramos la diferencial del área como función del radio de la esfera:
dA = 8 πr (dr )
• Ahora sustituimos los valores conocidos:
dA = 8 π (20)(0.05) = 8π cm2 ≈ 25.13274123 cm2
Las 6 caras de una caja cúbica metálica tienen 0.25 cm de espesor, y el volumen interior
de la caja es de 40 cm3 . Encuentre una aproximación del volumen del metal usado al
hacer la caja.
Ejemplo
3
• Sabemos que la caja es cúbica, luego, el volumen está dado por: V = L3 .
• La diferencial de volumen se encuentra por medio de la fórmula:
dV = 3 L2 (dL)
• El texto indica que el volumen
de la caja es 40 cm3 , luego, el lado debe ser igual a la raíz
√
3
cúbica de 40, esto es: L = 40, y dL = 0.25 cm.
• Pero cuando consideramos un incremento del volumen de la caja, suponemos que crece en
una sola dirección, por lo que estaríamos considerando tres de las 6 caras de la caja metálica
utilizadas en su construcción.
Efraín Soto A.
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2
• Así que realmente queremos calcular 2 dV = 6 L2 (dL)
• Sustituyendo los valores de las incógnitas en la fórmula obtenemos:
2 dV
=
=
Ejemplo 4
√
2
√ 2 1
3
40 (0.25) = 3 2 5
4
1
6 (4) 52/3
= 3 · 52/3
4
√
3
6 · 25
= 6
3
Encontrar el crecimiento aproximado de la superficie de una burbuja de jabón, si su
radio crece de 3 a 3.025 cm.
• Sabemos que el área de una esfera está dado por: A = 4 π r2 .
• Para este caso tenemos r = 3 cm y dr = 0.025 cm. La diferencial del área es:
dA
= 8πr
dr
⇒ dA = 8 π r (dr )
• Sustituimos los valores de las variables:
dA = 8 π r (dr ) = 8 π (3)(0.025) = 0.6 cm2
• Esto también puede expresarse de la siguiente manera:
24 π
6π
25
=
=
cm2
dA = 8 π r (dr ) = 8 π (3)
1 000
40
10
Ejemplo 5
Aceptando que una burbuja de jabón conserva su forma esférica cuando se expande,
¿con qué rapidez está creciendo su radio cuando éste mide 2 plg., si el aire que penetra
la infla a rapidez de 4 plg3 /s?
• Conocemos la fórmula para encontrar el volumen V de una esfera:
V=
4
π r3
3
• Como necesitamos encontrar la rapidez con la que crece el radio, derivamos la fórmula
respecto del tiempo de manera implícita:
dV
dr
= 4 π r2
dt
dt
• Ahora despejamos dr/dt, que es nuestra incógnita:
dV
dr
dt
=
dt
4 π r2
Efraín Soto A.
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3
• Sustituyendo los valores conocidos obtenemos:
dV
dr
4
1
dt
=
=
=
plg/s
2
2
dt
4π
4πr
4 π (2)
Ejemplo 6
Se estima que el radio de un balón de soccer es de 12 plg., con un máximo error en la
medición de 0.05 plg. Haga una estimación del máximo error que se puede cometer
al calcular el volumen del balón en estas condiciones.
• Sabemos que el volumen V de una esfera está dado por:
V=
4
π r3
3
• La diferencial que le corresponde a esta función es:
dV = 4 πr2 (dr )
• Para este problema, conocemos que r = 12 y dr = 0.05. Entonces
dV = 4 π (12)2 (0.05)
esto es igual a: dV =
144 π
plg3 .
5
Suponga que a lo largo del ecuador y por todo alrededor de la tierra se coloca una
cerca que tiene una altura de 1 m. Suponga que la tierra es esférica y que su radio es
de 40,000 Km. ¿Cuánto debe medir el área de la cerca?
Ejemplo
7
• Sabemos que el área de una circunferencia se encuentra por medio de la fórmula: A = π r2 .
De aquí que la diferencial de área sea:
dA = 2 π r (dr )
• Sustituyendo los valores conocidos encontramos que:
dA = 2 π (40 000 000)(1) = 80 000 000 π = 8 × 107 π m2
El diámetro exterior de una concha esférica delgada es de 2 m. Si el espesor de la
concha es de 3 cm., aproxime el volumen requerido de material para fabricar esa
concha esférica.
• El volumen de una esfera está dado por:
V=
Efraín Soto A.
4
π r3
3
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Ejemplo
8
4
• Podemos imaginar el espesor de la concha como una pequeña variación de volumen de una
esfera infinitamente delgada de radio 2 m. Entonces tendremos: r = 1 y dr = 0.03.
• Ahora encontramos la diferencial de volumen como función del radio:
dV = 4 π r2 (dr )
• Al sustituir los valores podemos encontrar la aproximación del volumen del material utilizado al fabricar la esfera:
3
3π
2
dV = 4 π (1) (0.03) = 4 π (0.03) = 4 π
=
100
25
Ejemplo 9
Se mide el diámetro de una esfera y con el resultado se calcula el valor de su
volumen. Si el máximo error posible al medir el diámetro es 0.02 cm y el error
máximo aceptable al medir el volumen es de 3 cm3 , ¿cuál es el diámetro aproximado
de la esfera en estas condiciones?
• Sabemos que el volumen de la esfera se encuentra por medio de la fórmula:
V=
4
π r3
3
• De aquí podemos fácilmente obtener la diferencial del volumen como una función del radio:
dV = 4 π r2 (dr )
• Esta igualdad es equivalente a la siguiente:
(dV )
4 π (dr )
r2 =
• Sabemos que el error máximo permisible en el volumen es de 3 cm3 , esto corresponde a dV,
mientras que el error máximo en la medición del radio es de 0.02 cm, que corresponde al
valor de dr.
• Sustituimos estos valores, y encontramos r2 .
r2 =
(dV )
3
300
75
=
=
=
4 π (dr )
4 π (0.02)
8π
2π
• Esto implica que:
r
r=
• El diámetro es el doble del radio, entonces:
r
D=2
Ejemplo
10
75
2π
75
=
2π
r
150
π
La altura de un cilindro circular recto es de 10 cm. Si el radio de la base cambia de 2
a 2.06 cm, calcule el cambio de volumen aproximado del cilindro.
Efraín Soto A.
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5
• El volumen del cilindro está dado por:
V = π r2 h
donde V es el volumen (en cm3 ), r es el radio del cilindro (en cm) y h es la altura (en cm)
del mismo.
• Como haremos una pequeña variación en el radio, debemos encontrar la diferencial del
volumen como una función del radio, esto resulta en:
dV = 2 π r h (dr )
• Ahora sustituimos los valores de las variables: de acuerdo al texto h = 10 cm, r = 2 cm,
dr = 0.06 cm.
dV = 2 π r h (dr ) = 2 π (2)(10)(0.06) = 2.4 π cm3
De un contenedor cae arena formando un cono circular cuya altura es siempre igual
al radio. Si en cierto instante, el radio es 10 cm., utilice diferenciales para encontrar
qué cambio en el radio ocasionará un aumento en el volumen de arena en 2 cm3 .
Ejemplo
11
• El volumen del cono de radio r y altura h está dado por:
V=
π r2 h
3
• Pero para este caso particular, la altura siempre es igual al radio, entonces el volumen de
este cono debe ser:
1
V = π r3
3
• La diferencial del volumen como función del radio es:
dV = π r2 (dr )
• Sabemos que r = 10 cm., y que dV = 2 cm3 .
• Nuestro problema consiste en encontrar el incremento en el radio que hará que el volumen
crezca en dV = 2 cm3 .
• Primero despejamos dr de la expresión que nos da la diferencial del volumen, y después
sustituimos estos valores en la nueva expresión, con lo que obtenemos:
dr =
(dV )
2
1
=
=
cm.
50 π
π r2
π (10)2
Un niño está elevando un papalote (una cometa). Si el papalote está a 9 metros de
altura y el viento está soplando a razón de 5 m/s., ¿con qué rapidez está soltando el
niño la cuerda en el momento que ha soltado 150 metros?
Ejemplo
12
• Para resolver este problema supondremos que la cometa es arrastrada por el viento a la
velocidad del mismo (5 m/s).
Efraín Soto A.
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6
• Entonces, la cometa viaja de manera horizontal a razón de 5 m/s, a una altura constante de
9 metros.
• Sea r la longitud de la cuerda que el niño ha soltado, x la distancia medida desde el pie del
niño hasta el punto donde toca el suelo la proyección vertical de la cometa.
r=
0m
15
9m
x
• De acuerdo al teorema de Pitágoras: x2 + (9)2 = r2
⇒
x2 + 81 = r2 .
• Encontramos la derivada implícita de esta expresión respecto al tiempo:
2x
dr
dx
= 2r
dt
dt
• Ahora despejamos la incógnita:
dx
x·
dr
dt
=
dt
r
• Para encontrar el valor de la incógnita, debemos conocer primero r (150 m), dx/dt (5 m/s) y
el valor de x.
• Para esto utilizamos el teorema de Pitágoras:
p
√
√
x = 1502 − 92 = 22 500 − 81 = 22 419
• Ahora, lo que falta es sustituir los valores conocidos para encontrar el valor de la incógnita:
dx
√
√
x
dr
22 419 · (5)
22 419
dt
=
=
=
≈ 4.99 metros por segundo.
dt
r
150
30
Créditos
Albert
Einstein
Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.
Este material se extrajo del libro Matemáticas VI escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es
compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho
más que el autor.
Efraín Soto A.
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7
Autor: Efraín Soto Apolinar.
Edición: Efraín Soto Apolinar.
Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar.
Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar.
Productor general: Efraín Soto Apolinar.
Año de edición: 2010
Año de publicación: Pendiente.
Última revisión: 07 de agosto de 2010.
Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010.
Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean
divulgados entre otros profesores y sus alumnos.
Este material es de distribución gratuita.
Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico:
[email protected]
Efraín Soto A.
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